江西省九江市2023届高三高考二模数学（理）试题含答案.pdf

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1、九江市九江市 2023 年第二次高考模拟统一考试年第二次高考模拟统一考试数学试题（理科）数学试题（理科）本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分全卷满分卷（非选择题）两部分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分分钟钟考生注意：考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上2第第卷每小题选出答案后，用卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第橡皮

2、擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效作答，答案无效第第卷（选择题卷（选择题 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1已知复数 z 满足31ii22z，则2z（）A13i22B13i22C13i22D13i222已知集合|0Ax x，1lnBx yxx，则AB R（）A1,0B(0),C2,1D(),1 3已知实数 x，y

3、满足条件21110 xyxyy，则34zxy的最大值为（）A7B1C2D34已知命题 p:x R，2220 xxa，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围为（）A(1,)B1,)C(1),D(1,5已知6sincos223，(0,)，则cos（）A2 23B2 23C13D136执行下边的程序框图，如果输入的是1n，0S，输出的结果为40954096，则判断框中“”应填入的是（）A13n B12n C12n D11n7已知变量的关系可以用模型emxyk拟合，设lnzy，其变换后得到一组数据如下由上表可得线性回归方程3zxa，则k（）x12345z2451014A3eB2eC2eD3e8如图，

4、正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M 是面11BCC B内一动点，且1DMAC，则DMMC的最小值为（）A22B2 22C26D29青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm，则该抛物线的通径长为（）A16B18C20D2210在ABC中，三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知coscoscosacbACB，3

5、a 当 B取最小值时，ABC的面积为（）A12B1C2D2 211 已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左右焦点分别为12,F F，M 双曲线 C 左支上一点，且1230FMF，点 F 关于直线2MF对称的点在 y 轴上，则 C 的离心率为（）A312B312C31D312设1sin4a，4e1b，5ln4c，则 a，b，c 的大小关系为（）AabcBbacCbcaDcba第第卷（非选择题卷（非选择题 90 分）分）本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 13-21 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22-23 题题为选考

6、题，学生根据要求作答为选考题，学生根据要求作答二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1362xx的展开式中，常数项为_14已知非零向量a，b满足2ab，且23baba，则a，b的夹角为_15函数()4sin|1|2f xxx的所有零点之和为_16根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等如图 1 所示，一个容器是半径为 R 的半球，另一个容器是底面半径和高均为 R 的圆柱内嵌一个底面半径和高均为 R 的圆锥，这两个容器的容积相等若将这两容器置于同

7、一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同如图 2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为_cm（注：321.26）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）已知公差不为零的等差数列 na中，158aa，且2511,a a a成等比数列，记1123(1)nnnnnba a（1）求 na的通项公式；（2）求 nb前 n 项和的最值18（本小题满分 12 分

8、）如图，在三棱柱111ABCABC中，AC 平面11AAB B，13ABB，1AB，12ACAA，D 为棱1BB的中点（1）求证：AD 平面11AC D；（2）在棱 BC 上是否存在异于点 B 的一点 E，使得 DE 与平面11AC D所成的角为6？若存在，求出BEBC的值若存在，请说明理由19（本小题满分 12 分）现有编号为 2 至 5 号的黑色、红色卡片各一张从这 8 张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于 10 且颜色均相同，得 2 分；若抽取的三张卡片的编号和等于 10 但颜色不全相同，得 1 分；若抽取的三张卡片的编号和不等于 10，得 0 分（1）求随机抽取三张卡片得

9、 0 分的概率；（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色 3 号卡片和红色 5 号卡片，乙抽到了黑色 2 号卡片，求两人的得分和 X 的分布列和数学期望20（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线 l 与圆2221:Cxyb相切于第一象限，与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与圆2222:Cxya相交于 M，N 两点，|2 3MN（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）当OAB的面积取最大值时（O 为坐标原点），求直线 l 的方程21（本小题满分 12 分）已知函数2()e()xf xaxaR，1g xx（1）若直线 yg x与曲线 y

10、f x相切，求 a 的值；（2）用min,m n表示 m，n 中的最小值，讨论函数()min(),()h xf xg x的零点个数请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2210 xy，曲线C的参数方程为1costanxy（为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）设直线0ykx k与曲线 C 相交于点 A，B，与直线 l 相交于点 C，求222111|OAOBOC的最大值23（本小题满分 10

11、 分）选修 45：不等式选讲已知函数()2|1|()f xxxaaR（1）若 f x的最小值为 1，求 a 的值；（2）若()|6f xa x恒成立，求 a 的取值范围九江市九江市 2023 年第二次高考模拟统一考试年第二次高考模拟统一考试数学试题（理科）参考答案数学试题（理科）参考答案第第卷（选择题卷（选择题 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1C解:13i22z，213i22z ，故选 C2A解：0Ax x

12、R，10Bxx 或1x，10ABxx R，故选 A3D解：作出不等式组21110 xyxyy 表示的平面区域，如图所示，平移直线0:340lxy，当过点1,0A时，max3z，故选 D4D解：依题意，得44(2)0a，1a，故选 D5B解：6sincos0223，且0()0,，22sincos223，1sin3，,2，2 2cos3，故选 B6C解：执行循环体后，当12n 时，12122121112211114095112222409612S，故选 C7B解：由表格数据知：3x，7z 由3zxa，得73 32a ，32zx，lnln32zykmxx，ln2k ，2ek，故选 B8C解：连接 B

13、D，1BC，1DC，易知1AC 平面1BDC，1DMAC，DM 平面1BDC，即 M在线段1BC上将1BDC沿着1BC展开，使得 D，B，C，1C四点共面，则26DMMCCD，故选 C9C解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为22(0)xpy p，焦点0,2pF，设11,A x y，22,B xy，22AB，ABAFBF，1222yyp，设线段 AB 中点为 M，则222Myp，由题意可知，My的最小值为 6，1222p，10p，该抛物线的通径长为220p，故选 C10 C解：由正弦定理得sinsinsincoscoscosACBACB，即tantantanACB，tantantan(

14、)ACAC，tantantantan1tantanACACAC tantan0AC，tantan2AC，A，C 为锐角又tantantan2 tantan2 2BACAC，即 B 取最小值时，tan B取最小值2 2，此时tantan2AC，ABC为等腰三角形，3ca，2 2sin3B，112 2sin332223ABCSacB，故选 C11A解：设点1F关于直线2MF对称的点为 P，连接2PF，则12PFF为正三角形，2130MF F又1230FMF，12MFc，22 3MFc，由双曲线的定义知22 32acc，解得131231cea，故选 A12 B解：将14用变量 x 替代，则sinax

15、，e1xb，ln(1)cx，其中0,1x，易证e1sinxxx，ba令()sinln(1)f xxx，则1()cos1fxxx，21()sin(1)fxxx，易知()fx在0,1上单调递减，且(0)10f，1(1)sin104f，0(0,1)x，使得00fx，当00,xx时，()0fx，()fx单调递增；当0,1xx时，()0fx，()fx单调递减又(0)0f，1(1)cos102f，()0fx，f x在0,1上单调递增，00f xf，即sinln(1)xx，ac，综上，bac，故选 B第第卷（非选择题卷（非选择题 90 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，

16、每小题 5 分，共分，共 20 分分1360解：62xx展开式的通项为63662662C()2Crrrrrrxxx，令3602r，得4r，故62xx的展开式中，常数项为6 446260C1423解：设向量a，b的夹角为，22(3)3babbaba，222|6|cos4bbb，即1cos2，23156解：令 0f x，得4sin|1|2xx，问题等价于函数4sin2yx与1yx图象的所有交点的横坐标之和两函数的图象关于直线1x 对称，且有且仅有 6 个交点 112266,x yxyxy，613 26iix 161.48解：设铁球沉到容器底端时，水面的高度为 h由图 2 知，容器内水的体积加上球在

17、水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图 1 知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积容器内水的体积为241 16V 水，相应圆台的体积为3221164(4)44(4)(4)3333hhh，364(4)1633h，解得3341642 242 1.261.48cmh 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 解：（1）158aa，124ad2 分2a，5a，11a成等比数列，25211aaa，即 2111410adadad，化简得2

18、120a dd4 分由12124,20,ada dd解得12,1ad或14,0.ad（舍去）5 分2(1)11nann 6 分（2）由（1）可知1111232311(1)(1)(1)(1)(2)12nnnnnnnnbaannnn 7 分设 nb的前 n 项和为nS，11111111111111(1)(1)(1)23344511222nnnnSnnnnn 8 分当 n 为奇数时，1122nSn，nS单调递减，112nSS9 分当 n 为偶数时，1122nSn，nS单调递增，212nSS10 分 nb前 n 项和的最大值为11152126S，最值为21112224S 12 分18 证明：（1）AC

19、 平面11AAB B，AD平面11AAB B，ACAD，1 分11ACAC，11ADAC2 分由已知得1ABBD，3ABD，3ADB，同理可得116ADB3 分1112ADAADBADB，即1ADAD4 分又1111ADACA，111,AD AC 平面11AC D，AD 平面11AC D5 分解：（2）连接1AB，13ABB，1AB，12BB，1ABAB，AC 平面11AAB B，ACAB，1ACAB6 分以 A 为 原 点，AB，AC，1AB所 在 的 直 线 分 别 为 x，y，z 轴，建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系，则13(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),0,2

20、2ABCD7 分设BEBC ，则(1,2,0)E，13,2,22DE8 分由（1）知平面11AC D的一个法向量为13,0,22AD9 分2221|1|12|cos,|213(2)22DE AD 10 分化简得2430，解得34或0（舍去）11 分故在棱 BC 上存在异于点 B 的一点 E，使得 DE 与平面11AC D所成的角为6，且34BEBC12 分19解：（1）三张卡片编号和等于 10 有 3 种可能，分别为：235，334，2441 分其中，三张卡片编号均不同的情况共有：3128N 种2 分有两张卡片编号相同的情况共有：22 24N 种3 分设“随机抽取三张卡片得分为 0 分”为事件

21、 A，388412311()1()111561414P AP AC ，即随机抽取三张卡片得 0 分的概率为11144 分（2）得分和 X 的可能值为 0，1，2，3，45 分若4X，则甲乙各得 2 分即甲为 2（红）+3（红）+5（红），乙为 2（黑）+3（黑）+5（黑），有 1 种情况125411(4)30P XC C6 分若3X，则甲得 2 分乙得 1 分即甲为 2（红）+3（红）+5（红），乙为 2（黑）+4（红）+4（黑）有 1 种情况125411(3)30P XC C7 分若2X，则甲得 2 分乙得 0 分或乙得 2 分甲得 0 分若甲得 2 分乙得 0 分，则甲为 2（红）+3（红

22、）+5（红），对应乙有 4 种情况；若乙得 2 分甲得 0 分，则乙为 2（黑）+3（黑）+5（黑），对应甲有 2 种情况12544261(2)305P XC C8 分若1X，则乙得 1 分甲得 0 分即乙为 2（黑）+4（红）+4（黑），对应甲有 2 种情况1254221(1)3015P XC C9 分若0X，则甲和乙均得 0 分11112(0)130305153P X 10 分得分和 X 的分布列为：X01234P2311515130130211117012343155303010EX 12 分20解：（1）依题意得22|22 3MNab，223ab1 分又222abc，23c，3c 2

23、分32cea，2a，1b 3 分椭圆 C 的标准方程为2214xy4 分（2）解法一：依题意可设直线 l 的方程为(0,0)ykxm km，11,A x y，22,B xy，直线 l 与圆 C 相切，2|11mk，即221mk 5 分联立方程组22,1,4ykxmxy消去 y 整理得222148440kxkmxm6 分122814kmxxk，21224414mx xk7 分2221212121111|114222OABSABkxxkxxx x 2222222222222 3118442 11414214141414kkkmmkmkkkkkk 9 分2222312 31kkkk，2222 311

24、14kkk，即1OABS10 分当日仅当22k 时取等号11 分直线 l 的方程为2622yx，即230 xy12 分解法二：依题意知直线 l 的斜率存在，设切点 P 的坐标为0000,0,1xyxy，11,A x y，22,B xy，直线 OP 的斜率为00yx，OPl，直线 l 的方程为0000 xyyxxy，又22001xy，001x xy y5 分联立方程00221,1,4x xy yxy消去 y 整理得2222000048440 xyxx xy6 分012220084xxxxy，20122200444yx xxy7 分22222200000021212122220006416 144

25、 314431xyxyxxxxxxx xxyx，22220000012222200004 312 31111|112223131OABxxxxxSABxxyyxx 9 分22000312 32 3xxx，0202 3131xx，1OABS10 分当且仅当033x，063y 时取等号11 分直线 l 的方程为36133xy，即230 xy12 分21 解：（1）设切点为00,xy，()e2xfxax，000e2xfxax1 分000200e21,e1,xxaxaxx（*）2 分消去 a 整理，得00e120 xx，02x 3 分2e14a4 分（2）当),(1x 时，0g x，()min(),(

26、)()0h xf x g xg x，h x在(1),上无零点5分当1x 时，10g，1efa 若ea，10f，此时 10h xg，1x 是 h x的一个零点，若ea，10f，此时 10h xf，1x 不是 h x的零点6 分当,()1x时，0g x，此时 h x的零点即为 f x的零点令2()e0 xf xax，得2exax，令2e()xxx，则3(2)e()xxxx，当12x时，()0 x；当2x 时，()0 x，x在1,2上单调递减，在(2,)上单调递增，且当x时，x7 分（i）若 2a，即2e4a 时，f x在(1,)上无零点，即 h x在(1,)上无零点8 分（ii）若 2a，即2e4

27、a 时，f x在(1,)上有一个零点，即 h x在(1,)上有一个零点9 分（iii）若 21a，即2ee4a时，f x在(1,)上有两个零点，即 h x在(1,)上有两个零点10 分（iv）若 1a，即ea 时，f x在(1,)上有一个零点，即 h x在(1,)上有一个零点11 分综上所述，当2e4a 或ea 时，h x在R上有唯一零点；当2e4a 或ea 时，h x在R上有两个零点；当2ee4a时，h x在R上有三个零点12 分22 解：（1）令cosx，siny，得2cos2 sin10，即直线 l 的极坐标方程为22(sincos)，即12sin4 2 分2222211sintan1c

28、oscoscos，221xy，即曲线 C 的普通方程为221xy5 分（2）解法一：直线0ykx k的极坐标方程为026 分设1,A，则2,B，3,02C，曲线 C 的极坐标方程为21cos2，22121cos2，22221211112cos2|OAOB7 分又322(sincos)，2223112(sincos)22sin2|OC8 分22211122cos22sin222 2sin 2|4OAOBOC9 分222111|OAOBOC的最大值为22 210 分解法二：联立方程组22,1,ykxxy解得222221,1,1xkkyk其中11k 6 分2222221|1kOAOBxyk7 分联立

29、方程组,2210,ykxxy 解得1,2(1),2(1)xkkyk 2221|2(1)kOCk8 分222222222 11112(1)4(1)|111kkkOAOBOCkkk9 分令1012tk ，则22221114422 22|222tOAOBOCtttt，当且仅当2t，即21k 时取等号，即222111|OAOBOC的最大值为22 210 分23解：（1）|1|(1)()|1|xxaxxaa，当且仅当10 xxa时，等号成立，2分 21111f xxxaxaa ，当且仅当1x 时，等号成立4 分|1|1a，解得0a 或2a 5 分（2）令 216g xxxaa x，依题意 0g x 恒成立当|1xx x且xa时，21638g xxxaaxa xa6 分要使 0g x 恒成立，则必须30a，即3a 7 分当3a 时，(3)4,0,(3)4,01,()(1)8,1,(3)8,.axaxaxaxg xa xaxaa xaxa8 分 040g xga，4a 9 分综上所述，a 的取值范围是3,410 分