134最短路径问题(教育精品).ppt

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1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏爱护草坪爱护草坪爱护草坪爱护草坪两点之间，线段最短两点之间，线段最短复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。依据：两点之间，线段最短。复习回顾如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短依据：垂线段最短。将军饮马问题：将军饮马问题：两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就两点之间线段最短这个问题早在古罗马

2、时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而广为流传的问题。而广为流传的问题。P两点之间线段最短两点之间线段最短.根据：根据：BA(一一)两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧例例1.1

3、.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A-P-B.例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？程最短？AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：新知探究追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A A，B B 两地抽象为两个点，将河l

4、l 抽象为一条直 线BAl新知探究追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？如图，在直线如图，在直线l上找一点上找一点C，使，使AC+BC最短最短。BAlC新知探究问题转化 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？BlA新知探究如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？BlABC作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接）连接AB，与直，与直线线l 相交于点相交于点C 则点则点C 即为所求即为

5、所求例例2 2变式：已知：变式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水，最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两

6、相交直线内部一点在两相交直线内部例例3 3变式：已知变式：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点，你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部例例4 4：如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天要某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。路线。（四）二次轴

7、对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部.AABBCDMON例4变式：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部两点在一条河两侧两点在一条河两侧例例5.5.如如图图：古古希希腊腊一一位位将将军军骑骑马马从从城城堡堡A A到到城城堡堡B B，A A

8、和和B B两两地地在在一一条条河河的的两两岸岸，现现要要在在河河上上造造一一座座桥桥MN.MN.桥桥建建在在何何处处才才能能使使将将军军从从A A到到B B的的路路径径AMNBAMNB最最短短？（假假定定河河的的两两岸岸是是平行的直线，桥要与河垂直）平行的直线，桥要与河垂直）BA(五五)造造桥选址问题桥选址问题思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥、如图假定任选位置造桥，连接和，从，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么，那么怎样确定什么情况下最短呢？怎样确定什么情况下最短呢？问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A A到到A A1 1，使，使A A1 1等

9、等于河宽，连接于河宽，连接A A1 1交河岸于交河岸于作桥，此时路径作桥，此时路径最短最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN问题问题延伸延伸如图，如图，A和和B两地两地之间有两之间有两条河，现要在条河，现要在两条两条河上河上各各造一造一座桥座桥MN和和PQ.桥分别建桥分别建在何处才能使从在何处才能使从A到到B的路径最短的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸岸垂直）垂直

10、）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+思维方法思维方法 沿垂直于第一条河岸方沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移直于第二条河岸方向平移点至点，连接点至点，连接A1B1 分分别交别交A、B的对岸于的对岸于N、P两两点，建桥点，建桥MN和和PQ.最短路径最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为转化为AA1+A1B1+BB1.（2）把）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，在直线的两侧，化折线为直线，将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决。加以解决。（1）求最短路线问题）求最短路线问题-通过几何变换找对称图形。通过几何变换找对称图形。（4）“选桥选址问题选桥选址问题”移动桥宽后还是可移动桥宽后还是可利用利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决。加以解决。反思是进步的阶梯我的收获；我的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？