全国高考理科数学试题word详解答案版天津卷.doc

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1、2015年全国高考理科数学试题word详解答案版-天津卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至3页，第卷4至6页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如

2、果事件 A，B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互独立，P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示柱体的高 h 表示锥体的高 第卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A=2,3,5,6 ，集合B=1,3,4,6,7 ，则集合 AC u B=（A）2,5 （B）3,6 （C）2,5,6 （D）2,3,5,6,8x+20（

3、2）设变量x,y 满足约束条件x-y+30 ，则目标函数z=x+6y的最大值为2x+y-30（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A）-10 （B）6 （C）142（D）18 （4）设xR ，则“x-20 ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若CM=2,MD=4,CN=3 ，则线段NE 的长为 （A）8 3 （B）3 （C）10 3（D）5 2x2y2（6）已知双曲线2-2=1(a0,b0) 的一条渐

4、近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛 ab(物线y2= 的准线上，则双曲线的方程为x2y2x2y2=1 -=1 （B）-（A）28212128x2y2x2y2-=1 （D）-=1 （C）3443（7）已知定义在R 上的函数f(x)=2x-m-1 （m 为实数）为偶函数，记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m) ，则a,b,c 的大小关系为（A）abc （B）acb（C）cab （D）cb2,y=f(x)-g(x) 恰有4个零点，则b的取值范围是（A）77,+ （B）-, 44747,2 4（C）0, （D）第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

5、2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i) 是纯虚数，则实数a的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m . 3 （11）曲线y=x2 与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为12x（12）在x- 的展开式中， 的系数为4x（13）在DABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知D ABC的面积为 ，61b-c=2,cosA=-, 则a 的值为4（14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB/DC,AB=2,BC=1,ABC=60 ,动点E 和F 分别在线段

6、BC 和DC 上, 且BE=lBC,DF=1DC，EAF的最小值为 . 则A9l三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分13分）已知函数f(x)=sinx-sinx-22p，xR 6(I)求f(x)最小正周期；(II)求f(x)在区间- pp,上的最大值和最小值. 3416. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子

7、选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1= 2，AD=CD=且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(I)求证： MN平面ABCD(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长 3 18. （本小题满分13分）已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且q1)，nN*,a1=1,a2=2，且a2+a3,a

8、3+a4,a4+a5成等差数列.(I)求q的值和an的通项公式；(II)设bn=log2a2n的前n项和. ,nN*，求数列bna2n-1x2y219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(ab0)的左焦点为F（-c,0）, 离心率为，点ab3b4M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c ，. 422(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP OP（O为原点）的斜率的取值范围. 20. （本小题满分14分）已知函数f(x)=nx-x,xR，其中nN,n2. n*(I)讨论f(x)的单调性；(II)设曲线y=f(x)与x轴正半

9、轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证： |x2-x1|a+2. 1-n 绝密启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。（1）A （2）C （3）B （4）A（5）A （6）D （7）C （8）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。（9）-2 （10）p （11）831 6（12）1529 （13）8 （14） 1618三、解答题（1

10、5）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。（I）解：由已知，有1-cos(2x-)1-cos2x=11cos2x+2x-1cos2x f(x)=- 22222=p11p2x-cos2x=sin2x- 4426 所以，f(x)的最小正周期T=2p=p 2pppp,-上是减函数，在区间-,上是增函数，366411ppppp所以，f(x)在区间-,，f-=-，f-=-，f=34623444 1最小值为-. 2(II)解：因为f(x)在区间-（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离

11、散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（I）解：由已知，有22C2C3+C32C326P(A)= 4C835所以，事件A发生的概率为6. 35（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.C5kC34-kP(X=k)=(k=1,2,3,4). C84所以，随见变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=113315+2+3+4= 1477142（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.如图，以A为

12、原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点， 得M1,1,N(1,-2,1).1252可得MNn=0，又因为直线MN平面ABCD，所以MNMN平面ABCD.(I)证明：依题意，可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量. MN=0,-,0.由此（II）解：AD1=(1,-2,2)，AC=(2,0,0).设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量，则n1AD1=0,x-2y+2z=0,即不妨设z=1，可得n

13、1=(0,1,1). 2x=0.n1AC=0,n1AB1=0,设n2=(x,y,z)为平面ACB1DE 法向量，则又AB1=(0,1,2)，得n1AC=0,y+2z=0,2x=0.不妨设z=1，可得n2=(0,-2,1). 因此有cosn1,n2= n1n 2，于是sinn1,n2=. =n1n2 。 10从而NE=(-1,l+2,1)。)，所以，二面角D1-AC-B1的正弦值为（III）解：依题意，可设A其中l0,1，则E(0,l,21E=lA1B1,，又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cosNE,n =NEnNEn=1，整理得l2+4l-3=0，又因为l 0,1，解

14、得l=2. 3 所以，线段A1E2.(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.（I）解：由已知，有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即a4-a2=a5-a3，所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1，故a3=a2=2，由a3=a1q，得q=2.当n=2k-1(kN)时，an=a2k-1=2*k*k-1=2n-12；当n=2k(kN)时，an=a2k=2=2n2.-1n22,n为奇数，所以，an的通项公式为an=n22，n为偶数.（II）解：由（I）得bn=log2a2n

15、n=n-1.设bn的前n项和为Sn，则 a2n-12Sn=111111+2+3+.+n-1+n ， ()2021222n-22n-1111111Sn=11+22+33+.+(n-1)n-1+nn， 222222上述两式相减，得1n1111nn2n Sn=1+2+.n-1-n=-n=2-n-n， 222222221-21-整理得，Sn=4-n+2. n-12n+2，nN*. n-12所以，数列bn的前n项和为4-（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解

16、决问题的能力。满分14分.c212222222（I）解：由已知有2=，又由a=b+c，可得a=3c,b=2c.a3设直线FM的斜率为k(k20)，则直线FM的方程为y=k(x+c). 由已知，有c2b2. +=，解得k=322 x2y2（II）解：由（I）得椭圆方程为2+2=1，直线FM 的方程为y=x+c)，两个方3c2c522程联立，消去y，整理得3x+2cx-5c=0，解得x=-c，或x=c.因为点M在第一象限，可3得M 的坐标为c. 有，解得c=1，所以椭圆的方FM=3x2y2程为+=1.32（III）解：设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t=y，即y=tx (+1)(x

17、-1)，x+1y=t(x+1),与椭圆方程联立x2y2消去y，整理得2x2+3t2(x+1)2=6. 又由已知，得=1,+32t=，解得-32x-1，或-1x0.设直线OP的斜率为m，得m=y，即y=mx(x0)，与椭圆方程联立，整理可得xm2=22-. 2x3当x-,-1时，有y=t(x+1)m32. 330，因此m ，于是m= ，得 当x(-1,0)时，有y=t(x+1)0，因此m ，于是m= m-,. OP 综上，直线的斜率的取值范围是-, . （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查

18、综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.（I）解：由f(x)=nx-xn，可得f(x)=n-nxn-1=n1-xn-1，其中nN*，且n2. 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时.令f(x)=0，解得x=1，或x=-1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： () 所以，f(x)在(-,-1)，(1,+)上单调递减，在(-1,1)内单调递增。（2）当n为偶数时. 当f(x) 当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增； 0，即x1时，函数f(x)单调递减.所以，f(x)在(-,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减. （II）证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0=1n处的

19、切线方程为y=f(x0)(x-x0)，即g(x)=f(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x)，即2，.曲线y=f(x)在点Pf(x)=n-n0n-1F(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)，则F(x)=f(x)-f(x0).由于f(x)=-nxn-1+n在(0,+)上单调递减，故F(x)在(0,+)上单调递减.又因为所以当x(0,x0)时，F(x)F(x0)=0，当x(x0,+)时，F(x)0，所以F(x)在(0,x0)0，内单调递增，在(x0,+)上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F(x)F(x0)=0，即对于任意的正实数x，都有f(x)g(x).（III）证明：不妨设x

20、1x2.由（II）知g(x)=n-n2(x-x0).设方程g(x)=a的根为x2，可得x2=()a+x0，当n2时，在(-,+)上单调递减.又由（II）知2n-ng(x2)f(x2)=a=g(x2)，可得x1x2.类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x(0,+)，f(x)-h(x)=-xn0，即对于任意的x(0,+)，f(x)h(x).a.因为h(x)=nx在(-,+)上单调递增，且n设方程h(x)=a的根为x1，可得x1=h(x1)=a=f(x1)h(x1)，因此x1x1.由此可得x2-x1x2-x1=n-1a+x0. 1-nn-111+Cn-1=1+n-1=n，故2因为n2，所以2=(1+1)1nn-1=x0.所以，x2-x1a+2. 1-n