高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1~必修5及选修21)_0.doc

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1、 必修1 集 合 1.集合的基本运算； 2. .集合的包含关系:；3.识记重要结论： AIB=AAB;AUB=AAB;CU(AUB)=CUAICUB;CU(AIB)=CUAUCUB4对常用集合的元素的认识 B=xx+x-60中的元素是不等式x+x-60的解，B即不等式的解集； C=yy=x+2x-1,0x5中的元素是函数y=x+2x-1,0x5的函数值，2A=xx+3x-4=0中的元素是方程x+3x-4=0的解，A即方程的解集； 22222C即函数的值域； 22D=xy=log2(x+2x-1)中的元素是函数y=log2(x+2x-1)的自变量，D即函数的定义域；M=(x,y)y=2x-3中的

2、元素可看成是关于x,y的方程的解集，也可看成以方程ny=2x-3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。 nnn5. 集合a1,a2,L,an的子集个数共有2 个；真子集有21个；非空子集有21个；非空的真子集有22个.6.方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax+bx+c=0(a0)有且只有一个实根在2(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)=0且k1-k1+k2b-k2. 22a7.闭区间上的二次函数的最值问题： bk1+k2,或f(k2)=0且0f(x)在a,b上是增函

3、数； x1-x2f(x1)-f(x2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)00,m,nN，且n1）; (2)a-mnmn*=1amn（a0,m,nN，且n1）.n*13根式的性质：（1）=a;（2）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，a,a0=|a|=.-a,a0,r,sR);(2)(ar)s=ars(a0,r,sR); (3)(ab)=ab(a0,b0,rR).15.指数式与对数式的互化式： logaN=bab=N(a0,a1,N0).16.对数的换底公式 ：logaN=推论 logamb=nlogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0). logmanlogab(a0,且a1,m,n0,

4、且m1,n1, N0). m17对数有关性质：logab的符号有口诀“同正异负”记忆；logaa=1；loga1=0；对数恒等式：amlogaN=N(a0,a1,N0)2logab=mlogab； 2设函数f(x)=logm(ax+bx+c)(a0),记D=b-4ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且D0，且D0.对于a=0的情形,需要单独检验.；18. 对数函数y=logax(a0,a1)的图像和性质分析： 第 4 页 共 26 页 指数函数y=aa0,a1的图像和性质分析：19. 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N(1+p)x. 必修 1.常用公理

5、和定理 第 5 页 共 26 页2 立体几何初步 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直一条直线与一个平面平行，则过该直线

6、的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 /图S3. 面积射影定理平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平S=cosq面所成锐二面角的为q).如图。4. a、b、g，因此有cos2a+cos2b+cos2g=1线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为a、b、g，则有 Acos2a+cos2b+cos2g=2。（线线面12） 图 5棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面

7、积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比）43pR,其表面积 3，截面圆半径（r），球 S=4pR2；球的半径（R）心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关 6球的半径是R，则其体积V=系：r=.7.球的组合体 第 6 页 共 26 页 图 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的8柱体、锥体的体积11V柱体=Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）;V锥体=Sh（S是锥体的底面积、33h是锥体的高）. 解析几何初步 1.斜率公式 k=y2-y1pP(x,y),xx(x,y

8、)（P、）=tanaa22212111；直线y=kx+b的x2-x12一个方向向量为(1,k)2.直线的五种方程（1）点斜式 y-y1=k(x-x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式 y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).y-y1x-x1(y1y2)(P=1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2).y2-y1x2-x1xy(4)截距式 +=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab（5）一般式 Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).（3）两点式3.两条直线的平行和垂直(1)若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则有 l1|l2k1=

9、k2,b1b2; l1l2k1k2=-1.(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,且A1、A2、B1、B2都不为零,A1B1C1；l1l2A1A2+B1B2=0； =A2B2C2（3）直线l:Ax+By+C=0中，若A=0,B0,则l垂直于y轴；若A0,B=0,则l垂直于x轴。l1|l24四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(除直线x=x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中A,B是待定的系数(2)

10、共点直线系方程：经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+l(A2x+B2y+C2)=0(除l2)，其中是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+l=0(l0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 (A0，B0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+l=0,是参变量5.点到直线的距离 第 7 页 共 26 页 d=点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0).2226. 圆的三种方程（1）圆的标准

11、方程 (x-a)+(y-b)=r；（2）圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).（3）圆的直径式方程 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).7.点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆(x-a)+(y-b)=r在圆内.8.直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆(x-a)+(y-b)=r的位置关系有三种:dr相离D0;d=r相切D=0;d0.其中222222的位置关系有三种若d=则dr点P在圆外;d=r点P在圆上;dr1+r2外离4条公切线;d=r1+r2外切3条公切线r1-r2dr1+r2相交

12、2条公切线;d=r1-r2内切1条公切线; 0dr1-r2内含无公切线.10.圆的切线方程：已知圆x+y=r过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为222x0x+y0y=r2;11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式：3.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 AB=AB= =.必修 三计 统1. 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的

13、概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：每部分抽取的个体数样本容量=该部分的个体总数总体中的个体数 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较或者nkn= NkN 第 8 页 共 26 页 样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.4. 用样本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。 （ 如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数 ； 如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数）众数： 一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例

14、如：1，2，3，3，4的众数是3。但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3。还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。例如：1，2，3，4，5没有众数。x1+x2+x3+.+xn； n222212样本方差：s=x1-x+x2-x+x3-x+.+xn-x； n样本平均数：x=()()()()样本数据x1,x2, xn的标准差 S=bx+a必过样本平均点x,y，其中b为斜率，如b0，则变量x每增加5. 回归直线y=bx+a系数公式: 1个单位时，变量y平均减少1个单位；线性回归方程方程为y()b=x

15、y-nxgyiii=1nnxi=12i-nx2, a=y-bx。 第 9 页 共 26 页 算2222法 初步1. 画出计算2+4+6+100的程序框图，如图； 对图，若输入1，则执行程序后输出y的值为:_ 2 某城市缺水问题比较 突出，为了制定节水管 理办法，对全市居民某 年的月均用水量进 行了抽样调查，其中4 位居民的月均用水量 分别为:x1,x4(单位： 吨)。根据如图所示 的程序框图，若x1,x2,x3,x4分别为1， 1.5，1.5，2，则输出 的结果s为_. 如果执行下面的程序 框图，如图，输入N=5,则输出的数等于_； 阅读下面的程序框图 ，运行相应的程序后， 则输出S的值为_.

16、图 图 概 第 10 页 共 26 页率 1.等可能性事件的概率：P(A)= 2. P（A）=m事件A包含的基本事件数mn试验的基本事件总数n构成事件A的区域长度（面积或体积）（几何概率公式）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）必修 4三角函数1终边相同的角的集合：bb=a+2kp,kZ; 角度与弧度的换算：180180o=prad,1o=(rad),1rad=；180p弧长与扇形的面积公式：弧长l=ar，扇形面积S=常见三角不等式 若x(0,po11lr=r2. 222 ；x)，则sinxxtanx；若x(0,)，则1cosx的x集合是3pp+2kp,kZ； x+2kpx44sinx

17、=cosx的x集合是pxx=+kp,kZ；4sinxcosx的x集合是3pp+2kpxcosx的x集合 3pp+kp,kZ； 是x+kpx44sinx=cosx的x集合是p3pxx=+kp,orx=+kp,kZ；44ppsinxcosx的x集合是x-+kpxb0)A的参数计算：振幅A=ymax-y2min， 第 12 页 共 26 页 注意：对于类余弦函数y=Acos(wx+j)也有以上相应的结论。 7. 第 13 页 共 26 页 平面向量1.向量的加减法的代数结构：uuuruuuruuur OB-OA=AB 2.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

18、内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）3向量平行与垂直的坐标表示rrrrrrrr设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab (b0)x1y2-x2y1=0；rrabx1x2+y1y2=0.4. a与b的数量积(或内积)：ab=|a|b|cos其几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积 5.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)；(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则uuuruuuruu

19、ura-b=(x1-x2,y1-y2)；(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)；(4)设a=(x,y),lR，则la=(lx(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2. ,l)y；6.两向量的夹角公式：cosq=7.平面两点间的距离公式：dA,B=|AB|=(x1,y1)，B(x2,y2).8.线段的定比分公式： 第 14 页 共 26 页(a=(x1,y1),b=(x2,y2). uuuruuur=lPP2，则 设P112的分点,l是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPx1

20、+lx2uuuruuuruuuruuuruuuruuurOP11+l1+lOP2OP=tOP+(1-t)OP（）. t=OP=12y1+ly21+l1+l1+l中点的向量形式：平面内，设线段AB的中点为C，O为直线AB外任意一点，则有uuuruuuruuurOA+OBOC=;2x1+x2x=2Ax,y,Bx,yCx,y设此时(11)(22)，则中点的坐标公式： ()y+y2y=12x=y=9.三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心的坐标是G(x1+x2+x3y1+y2+y3,). 3310. 三角形四“心”向量形式的

21、充要条件 设O为DABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则uuur2uuur2uuur2（1）O为DABC的外心OA=OB=OC.uuuruuuruuurr（2）O为DABC的重心OA+OB+OC=0.uuuruuuruuuruuuruuuruuur（3）O为DABC的垂心OAOB=OBOC=OCOA.uuuruuuruuurr（4）O为DABC的内心aOA+bOB+cOC=0. 三角恒等变换 1.同角三角函数的基本关系式：sinq+cosq=1，tanq=22sinqcosq推论：cos2a=112cosa=tana=；tana=-11+tan2acos2a（正负号取决

22、于a所在的象限）2.和角与差角公式;sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtanatanbtan(ab)=；1mtanatanbsin(a+b)sin(a-b)=sin2a-sin2b(正弦平方差公式;);asina+bcosaa+j)(辅助角j所在象限由点(a,b)所在的象限来决定,b且tanj= ).a 第 15 页 共 26 页 3.二倍角公式：sin2a=sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；2tana； tan2a=1-tan2a1-tan2a； cos2a=21+tana

23、2tanasin2a=1+tan2a 4.半角公式（降幂公式）：1+cosaa1-cosaa1-cosa；sin2=；tan2=222221+cosaasina1-cosatan= =21+cosasinacos2a= 必修 5 数 列1.自然数和公式： 1+2+n=333n(n+1)2；1+2+n=2222n(n+1)(2n+1)6；1+2+n=n2(n+1)4 常见的拆项公式： 1111111=-=-；nn+1nn+12n-12n+122n-12n+111111=-=nn+1n+22nn+1n+1n+2a-ban=Sn-Sn-1(n2).数列的通项公式与前n项的和的关系 an=；n=1s1

24、,Sn=Sn-1+an(n2) （注：该公式对任意数列都适用）sn-sn-1,n2Sn=a1+a2+L+an （注：该公式对任意数列都适用）2. 等差数列的通项公式：一般式：an=a1+(n-1)d(nN)；推广形式：*an=am+(n-m)d；d=an-am前n项和形式an=Sn-Sn-1(n2)（注：该公式对任n-m意数列都适用）前n项和公式为： 第 16 页 共 26 页 sn=n(n-1)n(a1+an)n(n-1)d1d=n2+(a1-d)n. =na1+d=nan-22222 数列an为等差数列an+1-an=d（nN*，d为常数）2an=an+1+an-1(n2,nN*)an=a

25、n+bAn2+Bn 常用性质：若m+n=p+q ，则有 am+an=ap+aq ；特别地：若am是an,ap的等差中项，则有2am=an+apn、m、p成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9，）仍是等差数列；an为等差数列，Sn为其前，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m，S4m-S3m，也成等差数列；n项和ap=q,aq=p,则ap+q=0 ； 1+2+3+n=n(n+1) 2n-13. 等比数列的通项公式：一般形式：an=a1q=a1nq(nN*)；推广形式：qan=amqn-m，qn-m=an（视n-m的奇数或偶数等

26、来开方得到q的值） am前n项和形式an=Sn-Sn-1(n2)（注：该公式对任意数列都适用）a1(1-qn)a1-anq,q1,q1前n项的和公式为：sn=1-q，或sn=1-q.na,q=1na,q=111数列an为等比数列an+1=q(nN+,q0)an2=an-1an+10(n2,nN+)an=a1qn-1an(a1、q0，nN*)Sn=Aqn+B 常用性质：若m+n=p+q ，则有 aman=apaq ；特别地：若am是an,ap的等比中项，则有 am=anapn、m、p成等比数列;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9，）

27、仍是等比数列；an为等比数列，2Sn为其前n项和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m，S4m-S3m，也成等比数列（当q-1或者q=-1且m不是偶数时候成立）；设等比数列bn的前为Tn，则Tk，n项积T2kT3k,，TkT2k 第 17 页 共 26 页 T4k，成等比数列 T3k解三角形 abc1.正弦定理：=2R.（R为DABC外接圆的半径，也是外接圆半径sinAsinBsinC的一种算法。）. a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC sinAsinCsinBabc，c=a，b=c=2Ra=bsinBsinAsinCsinAsinBs

28、inCabcacb =2RsinA=sinB，sinC=sinA，sinB=sinC等；sinAsinBsinCbac余弦定理 b2+c2-a2; a=b+c-2bccosAcosA=2bca2+c2-b2222; b=c+a-2cacosBcosB=2aca2+b2-c2222. c=a+b-2abcosCcosC=2ab222正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系：在DABC中，给定角A、B的正弦或余弦值，则角C的正弦或余弦有解（即存在）cosA+cosB02. 三角形内角和定理：在ABC中，有A+B+C=pC=p-(A+B)3. 面积定理 CpA+B

29、2C=2p-2(A+B) =-222111aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S=absinC=bcsinA=casinB 222222(3)SDABC=2RsinAsinB=2RsinAsinC=2RsinCsinB (其中R为DABC的外接（1）S=圆的半径)SDABC=SDABC=abc（R为DABC外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。） 4R1也能导出内切圆半径的一种r(a+b+c)(其中r为DABC的内切圆的半径，2a+b-c，其中a、b为两条直角边，c为2算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径r=斜边。) 第 18 页 共

30、 26 页 SDABC=SDOAB其中p=的三角=O为一个顶点a+b+c，海伦公式) 2形的面积公式）；设A(x1,y1),B(x2,y2)，则SDAOB=1x1y2-x2y1 2 不 等 式 1.常用不等式：重要不等式：a,bRa2+b22ab(当且仅当ab时取“=”号)；a+b(当且仅当ab时取“=”号)； 2三角形不等式：a-ba+ba+b（对于ab0时，当ab同号时右边取等号，均值不等式：a,bR+当ab异号时左边取等号；对于ab=0时，易判断等号成立的条件）；a-ba-ba+b（对于ab0时，当ab同号时左边取等号，当ab异号时右边取等号；对于ab=0时，易判断等号成立的条件+）2.

31、极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y12s. 422推广形式：已知x,yR，则有(x+y)=(x-y)+2xy （2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值（1）若积xy是定值,则当|x-y|最大时,|x+y|最大；当|x-y|最小时,|x+y|最小.（2）若和|x+y|是定值,则当|x-y|最大时, |xy|最小；当|x-y|最小时, |xy|最大.3.一元二次不等式ax+bx+c0(或0)，如果a与22ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根外，异号两根间. 线小线段”x1x

32、x2(x-x1)(x-x2)0(x10的情形“大射xx2(x-x1)(x-x2)0(x1x2).简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。例如： 23 从(x+3)(x+1)(x-1)(x-5)0，如图 图中易知解集为(-,-3)U(-3,-1)U(1,5)4.含有绝对值的不等式，当a> 0时，有2大射线 小线段 xax2a-axax2a2xa或x0或0或0所表示的平面区域是： 若C0,则用原点O(0,0)试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；若C=0，则用点(1,0)或者(0,1)试，方法

33、同上。选修 常用逻 2-1辑用语 1.真值表（表 12.四种命题的相互关系如下图所示 13.（1）若 第 20 页 共 26 页 （2）充要条件：若pq，且qp，则p是q的充要条件.另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设A=xp(x)，B=xq(x)， 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若BA,则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件。 空间向量与立体几 何1.空间向量的直角坐标运算律rrrr（1）若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，a/ba1=lb1,a2=lb2,a3=lb3(lR)；=0x1x2+y1y2+z1z2=0。rrrrab=夹角：cosab=(规定：0p)|a|b|rr模长公式： |a|=，|b|=uuur2.若A(