2013春中央电大经济数学基础形成性考核册及参考答案.doc

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1、2021春中央电大经济数学根底形成性考核册及参考答案作业一一填空题 1.limx0x-sinx=_.答案：0 xx2+1,x02.设f(x)=，在x=0处连续，那么k=_.答案：1 k,x=03.曲线y=x在(1,1)的切线方程是 .答案：y=11x+ 224.设函数f(x+1)=x2+2x+5，那么f(x)=_.答案：2x5.设f(x)=xsinx，那么f()=_.答案：-二单项选择题1. 函数y=2 2x-1的连续区间是 答案：D 2x+x-2A(-,1)(1,+) B(-,-2)(-2,+)C(-,-2)(-2,1)(1,+) D(-,-2)(-2,+)或(-,1)(1,+)2. 以下极

2、限计算正确的选项是 答案：B A.limx0xx=1 B.lim+x0xx=1 C.limxsinx01sinx=1 D.lim=1 xxx3. 设y=l答案：B g2x，那么dy= A11ln101dx Bdx Cdx Ddx 2xxln10xx4. 假设函数f (x)在点x0处可导，那么( )是错误的答案：BA函数f (x)在点x0处有定义 Blimf(x)=A，但Af(x0) xx0C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微5.当x0时，以下变量是无穷小量的是 . 答案：CA2 B(三)解答题1计算极限 xsinx1+x) Dcosx Cln(xx2-3x+21(x-

3、2)(x-1)x-21lim = lim = - = limx1x1(x-1)(x+1)x1(x+1)2x2-11x2-5x+61(x-2)(x-3)x-32lim2=lim = lim = x2x-6x+8x2(x-2)(x-4)x2(x-4)23limx0(-x-1)(-x+1)-x-1=lim x0xx(-x+1)=limx0-x-11=lim=- 2x(-x+1)x0(-x+1)1-35+2x2-3x+5=1 lim4lim=xx3x2+2x+42433+2xx5limsin3x5xsin3x33=lim= x0sin5xx03xsin5x55x2-4(x-2)(x+2)6lim=li

4、m=4 x2sin(x-2)x2sin(x-2) 1xsin+b,x0x问：1当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在？2当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续.答案：1当b=1，a任意时，f(x)在x=0处有极限存在；2当a=b=1时，f(x)在x=0处连续。3计算以下函数的导数或微分：1y=x+2+log2x-2，求y 答案：y=2x+2ln2+2y=x2x21 xln2ax+b，求y cx+d答案：y=a(cx+d)-c(ax+b)ad-cb =22(cx+d)(cx+d)23y=13x-5，求y 11答案：y=23x-5=(3x-5)- y=-32(3x-5)34y=x-xex

5、，求y 答案：y=12x-(x+1)ex5y=eaxsinbx，求dy答案：y=(eax)sinbx+eax(sinbx)=aeaxsinbx+eaxcosbxb=eax(asinbx+bcosbx) dy=eax(asinbx+bcosbx)dx16y=ex+xx，求dy311答案：dy=(2x-x2ex)dx7y=cosx-e-x2，求dy答案：dy=(2xe-x2-sinx2x)dx8y=sinnx+sinnx，求y答案：y=nsinn-1xcosx+cosnxn=n(sinn-1xcosx+cosnx)9y=ln(x+x2)，求y答案y=121x+x2(x+x)=12-12x+x2(1

6、+2(1+x)2x)=1+x210y=2cot1x+1+x2-2xx，求y3 ：=1xx+x2(1+x2)ln21-21-6-x+x 答案：y=126x2sinx4.以下各方程中y是x的隐函数，试求y或dy1x2+y2-xy+3x=1，求dy答案：解：方程两边关于X求导：2x2cot1x35+2yy-y-xy+3=0y-3-2xdx 2y-x(2y-x)y=y-2x-3 ， dy=2sin(x+y)+exy=4x，求y答案：解：方程两边关于X求导cos(x+y)(1+y)+exy(y+xy)=4(cos(x+y)+exyx)y=4-yexy-cos(x+y)4-yexy-cos(x+y) y=

7、xexy+cos(x+y)5求以下函数的二阶导数：1y=ln(1+x)，求y 22-2x2答案：y= (1+x2)22y=1-xx，求y及y(1) 3-1-答案：y=x2+x2，y(1)=1 44作业二一填空题1.假设53xf(x)dx=2x+2x+c，那么f(x)=_.答案：2ln2+22. (sinx)dx=_.答案：sinx+c3. 假设f(x)dx=F(x)+c，那么xf(1-x2)dx= .答案：-1F(1-x2)+c 24.设函数de2ln(1+x)dx=_.答案：0 1dx45. 假设P(x)=0x1+t2.答案：-t，那么P(x)=_1+x2二单项选择题21. 以下函数中， 是

8、xsinx的原函数A112222cosx B2cosx C-2cosx D-cosx 22答案：D2. 以下等式成立的是 Asinxdx=d(cosx) Blnxdx=d()C2dx=x1x11d(2x) dx=dx Dln2x答案：C3. 以下不定积分中，常用分部积分法计算的是 2Acos(2x+1)dx， Bx-xdx Cxsin2xdx Dx1+x2dx答案：C4. 以下定积分计算正确的选项是 AC1-12xdx=2 B16-1dx=15 p-pp-p(x2+x3)dx=0 Dsinxdx=0答案：D5. 以下无穷积分中收敛的是 A+1+1+1xdx Bdx C Dedx01sinxdx

9、 1xx2答案：B(三)解答题1.计算以下不定积分3x1xdx e3xx3x3xe答案：xdx=()dx=+c 3eelne2(1+x)2xdx 113-(1+x)2(1+2x+x2)答案：dx=dx=(x2+2x2+x2)dx xx542=2x+x2+x2+c 35x2-4dx 3x+21x2-4dx=(x-2)dx=x2-2x+c 答案：2x+243511-2xdx 答案：1111dx-ln-2x+c -d(1-2x)=1-2x221-2x25x2+xdx 3211222答案：x2+xdx=2+xd(2+x)=(2+x)2+c 326sinxxdx 答案：sinxxdx=2xdx=-2co

10、sx+c7xsinxdx 2答案：xsinxxdx=-2xdcosdx 22xxxx+2cosdx=-2xcos+4sin+c 2222=-2xcos8ln(x+1)dx答案：ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)-2.计算以下定积分1ln(x+1)d(x+1) (x+1)dln(x+1)=(x+1)ln(x+1)-x+c 2-1-xx -xx=答案：2-11-1(1-x)dx+21(x-1)dx=(x-6 121152x)-1+(x2-x)1= 222221ex 2x21x答案：1121exx=-ex-ed21xx1x1121=e-e 3e31x+lnxx e311+lnx)=21+l

11、nx)2+lnx答案：e31x+lnx1x=1e31=2p420xcos2xdx pppp11112-02sin2xdx=- 答案：2xcos2xdx=2xdsin2x=xsin2x00222205e1xlnxdxee21e1212exlnxdx=1lnxdx=xlnx1-1xdlnx=(e2+1) 422答案：0164(1+xe-x)dx4-x0答案：(1+xe)dx=x-0xde=3-xe414-x-x40+0e-xdx=5+5e-4 4作业三一填空题104-51.设矩阵A=3-232，那么A的元素a23=_.答案：3 _216-1T2.设A,B均为3阶矩阵，且=B=-3，那么-2AB=_

12、. 答案：-723. 设A,B均为n阶矩阵，那么等式(A-B)=A-2AB+B成立的充分必要条件是 .答案：222AB=BA_. 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I-B)可逆，那么矩阵A+BX=X的解X=_答案：(I-B)A -171100-15. 设矩阵A=020，那么A=_.答案：A=000-30012000 1-3二单项选择题1. 以下结论或等式正确的选项是 A假设A,B均为零矩阵，那么有A=BB假设AB=AC，且AO，那么B=CC对角矩阵是对称矩阵D假设AO,BO，那么ABO答案C2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACBT有意义，那么CT为A24 B42C35 D53 答案A

13、3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，那么以下等式成立的是 A(A+B)-1=A-1+B-1， B(AB)-1=A-1B-1CAB= DAB=BA 答案C4. 以下矩阵可逆的是 A123023B-10-1101300123C111100 D 答案22A 2225. 矩阵A=333的秩是 444A0 B1 C2 D3 答案B 三、解答题1计算1-21011-25310=358 矩阵202110-300=000033-12540=0-1223-124242计算1-122-32143-561023-113-27解 123-122-124245719721-32143-610=7120-62723-13-0

14、-4-73=51521110-3-2-143设矩阵A=23-1111123，B=112，求。-110011解 因为AB=AB23-1232A=111=112=(-1)2+3(-1)2220-110-1012=123123B=112=0-1-=0 011011所以AB=AB=20=01244设矩阵A=2l1，确定l的值，使r(A)最小。101答案9 4510-27 ：124A=2l1110241(2)+(1)(-2)0l-4-7(3)+(1)(-1)0-1-44-4 0241(2)(3)0-1-40l-4-7127(3)+(2)(-)0-190l-4当l=9时，r(A)=2到达最小值。 42-5

15、325-8545求矩阵A=1-7424-112答13的秩。 03案：2-5325-854A=1-7424-1121303(1)(3)1-7425-8542-5324-1120201-74(2)+(1)(-5)027-15-633(3)+(1)(-2)091-5-21(4)+(1)(-4)3027-15-6321-741027-15-6(3)+(2)(-)00300(4)+(2)(-1)00006求以下矩阵的逆矩阵： 03r(A)=2。 001-32 11A=-301-11答案1-32100(AI)=-3010101-1001121001-3(2)+(3)20-1111204-3-1012100

16、1-3(2)+(1)30-97310(3)+(1)(-1)04-3-1011-32100(3)+(2)40-11112001349101-30-5-8-18(2)+(3)(-1)0-10-2-3-7(1)+(3)(-2)349001A-1113 =2373491-30113(2)(-1)010237(1)+(2)(3)001349-13-6-32A =-4-2-1 112答案-13-6-3100(AI)=-4-2-1010110012-1001-300010120112-61(2)+(3)2)3)+(1)2-101)+(2)(-3)(-4-21201-30-10101001-1001-302)

17、(3)(0112-61001012100100(2)+(3)(-1)(1)(-1)0-1300-13-1 A =2-7-1 02-7-1120012012127设矩阵A=,B=23，求解矩阵方程XA=B 35案：答2101210110-5210-52AI)=(2)+(1)(-3)(1)+(2)2(2)(-1)0-1-310-1-31013-13501-1A=-52 X=BA-1 X = -13-110 1四、证明题1试证：假设B1,B2都与A可交换，那么B1+B2，B1B2也与A可交换。证明：(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)，B1B2A=B1AB2=AB1B2

18、TT2试证：对于任意方阵A，A+A，AA,AA是对称矩阵。 T11提示：证明(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT，(AAT)T=(AT)TAT=AAT,(ATA)T=AT(AT)T=ATA3设A,B均为n阶对称矩阵，那么AB对称的充分必要条件是：AB=BA。提示：充分性：证明：因为AB=BA(AB)T=BTAT=BA=ABT 必要性：证明：因为AB对称，AB=(AB)4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证明：(B-1-1=BTAT=BA，所以AB=BA =BT，证明B-1AB是对称矩阵。 AB)T=BTAT(B-1)T=B-1A(BT)T=B-1AB作业四一填空题1.函

19、数f(x)=x+1在区间_Asinx Be Cx D3 x答案：B2. 需求函数q(p)=1002A42-4p-0.4p，当p=10时，需求弹性为 ln2 B4ln2 C-4ln2 D-42-4pln2答案：C 3. 以下积分计算正确的选项是 x-x1e+eex-e-xdx=0 Bdx=0 A-1-122112C1-1xsinxdx=0 D1-1(x2+x3)dx=0答案：A4. 设线性方程组AmnX=b有无穷多解的充分必要条件是 Ar(A)=r(A)m Br(A)n Cmn Dr(A)=r(A)n 答案：Dx1+x2=a5. 设线性方程组1x2+x3=a2，那么方程组有解的充分必要条件是 x

20、1+2x2+x3=a3Aa1+a2+a3=0 Ba1-a2+a3=0Ca1+a2-a3=0 D-a1+a2+a3=0答案：C三、解答题1求解以下可别离变量的微分方程：(1) y=ex+y 答案：dy=exey e-ydy=exdx -e-y=exdx+c2dydx=xex3y2答案：3y2dy=xexdx y3=xex-ex+c2. 求解以下一阶线性微分方程：1y-2x+1y=(x+1)3答案：p(x)=-2+1,q(x)=(x+1)3x，代入公式22y=ex+1dx(x+1)3e-x+1dxdx+c=2ln(x+1)e(x+1)3e-2ln(x+1)dx+ce2ln(x+1)(x+1)3(x

21、+1)-2dx+c y=(x+1)2(12x2+x+c)2y-yx=2xsin2x 答案：p(x)=-11-1dxx,q(x)=2xsin2x ，代入公式锝y=exdxx2xsin2xedx+c=elnx2xsin2xe-lnxdx+c 13 锝=1x2xsin2xdx+c=xsin2xd2x+c xy=x(-cos2x+c)3.求解以下微分方程的初值问题：(1) y=e2x-y,y(0)=0 答案：dy111=e2xe-y eydy=e2xdx，ey=e2x+c，把y(0)=0代入e0=e0+c，C=，dx222ey=1x1e+ 22(2)xy+y-ex=0,y(1)=0答案1：1exy+y

22、=Xx1，1exP(X)=,Q(X)=Xx，代入公式锝y=e-xxdxexdxxdx+c=e-lnxexlnx1exdx+c=xdx+cxxx，把y(1)=0代入11y=(ex+c)，C= -e , y=(ex-e) xx4.求解以下线性方程组的一般解：+2x3-x4=0x11-x1+x2-3x3+2x4=02x-x+5x-3x=02341答案：x1=-2x3+x4其中x1,x2是自由未知量 x2=x3-x402-12-1110102-101-1101-11 A=-11-3202-15-30-11-1000所以，方程的一般解为x1=-2x3+x4其中x1,x2是自由未知量 x=x-x342 1

23、42x1-x2+x3+x4=12x1+2x2-x3+4x4=2x+7x-4x+11x=52341答案：1142-1112-14212-1(1),(2)2-11(2)+(1)(-2)0-53-7(Ab)=12-14211(3)+(1)(-1)717-411517-411505-32-3312-14212-1421(3)+(2)0-53-7-337300000(2)(-1)01-555(1)+000000(2)(-2)0x1=-1x643-x+35545其中x1,x2是自由未知量x732=5x3-5x4+55.当l为何值时，线性方程组x1-x2-5x3+4x4=22x1-x2+3x3-x4=13x

24、1-2x2-2x 3+3x4=37x1-5x2-9x3+10x4=l有解，并求一般解。1-1-542-1-542(Ab)=2-13-11(2)+(1)(-2)1113-9-33-2-233(3)+(1)(-3)0113-9-37-5-910l(4)+(1)(-7)00226-18l-141-1-5421 8-5-1答案：(3)+(2)(-1)0113-9-3(1)+(0113-9-3(4)+(2)(-2)000002)0000 00000l-8000 l-8.当l=8有解,x1=-8x3+5x4-1x2=-13x3+9x其中x1,x2是自由未知量4-35a,b为何值时，方程组150151-30

25、056457535005x1-x2-x3=1x1+x2-2x3=2x+3x+ax=b231答案：111-1-111-1-11-1-1(2)+(1)(-1)02A=11-2202-11-11(3)+(2)(-2)(3)+(1)(-1)ab1304a+1b-100a+3b-3当a=-3且b3时，方程组无解；当a-3时，方程组有唯一解；当a=-3且b=3时，方程组无穷多解。6求解以下经济应用问题：1设生产某种产品q个单位时的本钱函数为：C(q)=100+0.25q2+6q万元,求：当q=10时的总本钱、平均本钱和边际本钱；当产量q为多少时，平均本钱最小？ 答案：C(10)=185万元 c(q)100

26、c(q)=q=q+0.25q+6q, C(10)=18.5万元/单位c(q)=0.5q+6,C(10)=11万元/单位 -100c(q)100c(q)=+0.25q+6,c(q)=-2+0.25=0,当产量为20个单位时可使平均本钱qqq-到达最低。2.某厂生产某种产品q件时的总本钱函数为C(q)=20+4q+0.01q元，单位销售价格为2p=14-0.01q元/件，问产量为多少时可使利润到达最大？最大利润是多少答案： R(q)= 14q-0.01q, L(q)=R(q)-c(q)=10q-0.02q22-20,L(q)=10-0.04q=0当产量为250个单位时可使利润到达最大，且最大利润为

27、L(250)=1230元。3投产某产品的固定本钱为36(万元)，且边际本钱为C(q)=2q+40(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低解：当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为答案： DC=C(6)-C(4)=4(2q+40)dq=(q2+40q)64=100万元16 6c(q)=0(2q+40)dq+36=q+40q+36,c(q)=2q_c(q)36=q+40+, qq361-c(q)=q=0, 当x=6百台时可使平均本钱到达最低. 2_ 4某产品的边际本钱C(q)=2元/件，固定本钱为0，边际收益 R(q)=12-0.02q，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的根底上再生产50件，利润将会发生什么变化？答案：L(q)=R(q)-c(q)=10-0.02q=0, 当产量为500件时，利润最大. DL=2550(10-0.02q)dq=(10q-0.01q)500=-25元 500550即利润将减少25元. 17