2013届新课标高中数学（理）第一轮总复习第2章第8讲函数的奇偶性与周期性.ppt

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1、1.函数f(x)=ax2+bx+3a+b是区间a-1,2a上 的偶函数，则a=_，b=_.0解析：x0，所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2+(-x)+1=-x2+x-1；x=0时，f(-0)=-f(0)得f(0)=0，所以x0时，函数f(x)的解析式为函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立，这

2、样能简化运算 如本题中(4)，判断f(x)f(x)0是否成立，要方便得多本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0)，则一定是周期函数因为图象关于xa(a0)对称，则f(ax)f(ax)成立，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)f(x)，所以周期为2a.【变式练习4】f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x3)f(3x)若x(0,3)时，其解析式为yx21，求x(6，3)时，函数f(x)的解析式【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6x)f3(3x)f3(3x)f(x)f(x)，所以f(x)f(x6

3、)当x(6，3)时，x6(0,3)，所以f(x6)(x6)21，则f(x)x212x37(x(6，3)1.若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a_【解析】由f(1)f(1)，得02(1a)，所以a1.12.(2011安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=_.解析：f(1)=-f(-1)=-2(-1)2-(-1)=-3.-23.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.方法2：因为f(x4)f(x2

4、)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数又因为f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，所以f(6)f(2)f(0)0.04.已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xlog2x，求函数f(x)的解析式 5.已知函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，用a表示f(12)1函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f(x)与f(x)的关系 2判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法 3奇函数f(x)如果在x0处有意义，则必有f(0)0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点 4如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称 5函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期注意以下几个常用结论：