近世代数基础.ppt

《近世代数基础.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数基础.ppt（73页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、序：课序：课 程程 说说 明明 近世代数不仅在数学中占有及其重要的近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等如理论物理、计算机学科等.其研究的方法和其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。观点，对其他学科产生了越来越大的影响。群、环、域、模是本课程的基本内容群、环、域、模是本课程的基本内容.集合论初步与高等代数（线性代数）是学集合论初步与高等代数（线性代数）是学集合论初步与高等代数（线性代数）是学集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继习本课程的准备知识。

2、本课程学习以后可以继习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。计算机科学等。计算机科学等。计算机科学等。近世代数近世代数近世代数近世代数课程的讲授为一个学期课程的讲授为一个学期课程的讲授为一个学期课程的讲授为一个学期 ，共，共，共，共7272学学学学时，内容包括第时，内容包括第时，内容包括第时，内容包括第1 1章到第章到第章到第章到第4 4章的内容。章的内容。章的内容。章的内容。近世代

3、数近世代数近世代数近世代数是理论性较强的课程，由于教学是理论性较强的课程，由于教学是理论性较强的课程，由于教学是理论性较强的课程，由于教学时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须时数所限，本课程的理论推证体例较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知种公式和定理的运用，从

4、而达到消化、掌握所学知种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识、体会识、体会识、体会识、体会近世代数近世代数近世代数近世代数的思想和方法的思想和方法的思想和方法的思想和方法的目的的目的的目的的目的.由此可知，由此可知，由此可知，由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段独立完成作业是学好本课程的重要手段独立完成作业是学好本课程的重要手段独立完成作业是学好本课程的重要手段.近世代数是一门十分活跃又发展近世代数是一门十分活跃又发展迅速的学科，它的概念众多、内容丰富，迅速的学科，它的概念众多、内容丰富，作为一门基础课，又限于教学时数，教作为一门基础课，又限于教学时数，教学时只能择其最基础的概

5、念和基本的内学时只能择其最基础的概念和基本的内容。因此，有的课本就名曰容。因此，有的课本就名曰近世代数近世代数基础基础。高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例因此，在本课程的学习中，

6、大家要多注意实例,以加以加以加以加深对概念的正确理解。深对概念的正确理解。深对概念的正确理解。深对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意应适当做一

7、些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。教材内容和方法以及习题课内容。教材内容和方法以及习题课内容。教材内容和方法以及习题课内容。（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra 教材教材1：，张禾瑞，高等教育出版，1978年修订本。教材教材：,徐德余、唐再良等编著，川大出版社，年月主要参考书主要参考书1BL瓦德瓦尔登著：代数学瓦德瓦尔登著：代数学、卷，科卷，科 学出版社学出版社1964年版年版2N贾柯勃逊著：抽象代数贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学卷，科学 出版社出版社1987年出版年出版3刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社刘绍学著：近世代数基础，高

8、等教育出版社 1999年出版年出版4石生明著：近世代数初步、高等教育出版社石生明著：近世代数初步、高等教育出版社 2002年出版年出版 5.5.近世代数近世代数，吴品山，人民教育出版社，吴品山，人民教育出版社，19791979。6.6.抽象代数学抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，谢邦杰，上海科学技术出版社，19821982。7.抽象代数基础抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出版，刘云英，北京师范大学出版 社，社，1990年。年。8.,杨子胥杨子胥,高等教育出版社高等教育出版社,2003年年.在学习在学习近世代数近世代数这门课之前，这门课之前，有必要了解一下有关近世代数的由来，有必要了解一

9、下有关近世代数的由来，这有利于这门课程的学习。这有利于这门课程的学习。概概述述1 1 近世代数理近世代数理近世代数理近世代数理论论论论的三个来源的三个来源的三个来源的三个来源 (1)(1)(1)(1)代数方程的解代数方程的解代数方程的解代数方程的解 (2)(2)(2)(2)HamiltonHamiltonHamiltonHamilton四元数的四元数的四元数的四元数的发现发现发现发现 (3)(3)(3)(3)KummerKummerKummerKummer理想数的发现理想数的发现理想数的发现理想数的发现下一页（1 1）代数方程的解代数方程的解代数方程的解代数方程的解两千多年之前古希腊两千多年之

10、前古希腊两千多年之前古希腊两千多年之前古希腊时时时时代数学家就能代数学家就能代数学家就能代数学家就能够够够够利用开利用开利用开利用开 方法解二次方程方法解二次方程方法解二次方程方法解二次方程axax2 2+bx+c=+bx+c=0 0 。16161616世纪初欧洲文世纪初欧洲文世纪初欧洲文世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。学研究的一个中心问题。学研究的一个中心问题。学研究的一个中心问题。1545154515451545年意大利数学家年意

11、大利数学家年意大利数学家年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)G.Cardano(1501-1576)G.Cardano(1501-1576)G.Cardano(1501-1576)在他的著作在他的著作在他的著作在他的著作大术大术大术大术（ArsArsArsArs Magna Magna Magna Magna）中给出了三、四项多项式的求根）中给出了三、四项多项式的求根）中给出了三、四项多项式的求根）中给出了三、四项多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五公式，此后的将近三个世纪中人们

12、力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。次方程的一般求解方法，但是都失败了。次方程的一般求解方法，但是都失败了。次方程的一般求解方法，但是都失败了。直到直到直到直到1824182418241824年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家年一位年青的挪威数学家 N.AbelN.AbelN.AbelN.Abel (1802-1829)(1802-1829)(1802-1829)(1802-1829)才证明五次和五次以上的一般代数方才证明五次和五次以上的一般代数方才证明五次和五次以上的一般代数方才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件

13、之程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根算以及开方的方法求出它的所有根算以及开方的方法求出它的所有根算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不什么条件之下不什么条件之下不什么条件之下不能求根。能求根。能求根。能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家最终解决这一问题的是一位法国年青数学家最终

14、解决这一问题的是一位法国年青数学家最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(1811E.Galois(1811E.Galois(1811E.Galois(18111832)1832)1832)1832)，GaloisGaloisGaloisGalois引入了扩域以及群引入了扩域以及群引入了扩域以及群引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在代数方程可解的法则。在代数方程可解的法则。在代数方程可解的法则。在Gal

15、oisGaloisGaloisGalois之后群与域的理论之后群与域的理论之后群与域的理论之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。数产生的一个最重要的来源。加罗华加罗华阿贝尔阿贝尔返回(2)(2)HamiltonHamilton四元数的发现四元数的发现四元数的发现四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来

16、发长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数现可以把复数看成二元数现可以把复数看成二元数现可以把复数看成二元数(a,ba,b)=a+bia+bi，其中，其中，其中，其中i i2 2=-=-1 1。二元数按。二元数按。二元数按。二元数按(a,ba,b)()(c,dc,d)=()=(a a c,bc,b d d)，(a,ba,b)()(c,dc,d)=()=(ad+bc,ac-bdad+bc,ac-bd)的法则进行的法则进行的法则进行的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一代数运算，二元数具有直观的几

17、何意义；与平面上的点一一代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家力图寻求三元

18、数的努力失败了。但是爱尔兰数学家力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.HamiltonW.Hamilton(1805-1865)(1805-1865)于于于于18431843年成功地发现了四元数。四元年成功地发现了四元数。四元年成功地发现了四元数。四元年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点以前的数

19、系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。它

20、是近世代数的另一个重要理论来源。它是近世代数的另一个重要理论来源。它是近世代数的另一个重要理论来源。返回 （3 3 3 3）KummerKummerKummerKummer理想数的发现理想数的发现理想数的发现理想数的发现17171717世纪初法国数学家费马世纪初法国数学家费马世纪初法国数学家费马世纪初法国数学家费马(P.FermatP.FermatP.FermatP.Fermat 1601-1665 1601-1665 1601-1665 1601-1665）研究整数方程时发现研究整数方程时发现研究整数方程时发现研究整数方程时发现当当当当n n33时，方程时，方程时，方程时，方程 x xn n

21、+y+yn n=z zn n 没有正整数解没有正整数解没有正整数解没有正整数解，费马认为他能够证明这个，费马认为他能够证明这个，费马认为他能够证明这个，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到费马问题或费马大定理，此定理直到费马问题或

22、费马大定理，此定理直到费马问题或费马大定理，此定理直到1995199519951995年才被英年才被英年才被英年才被英国数学家国数学家国数学家国数学家A.WilesA.WilesA.WilesA.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半证明。对费马问题的研究在三个半证明。对费马问题的研究在三个半证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由此作出过重要贡献。

23、但最重大的一个进展是由此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.KummerE.KummerE.KummerE.Kummer作出的。作出的。作出的。作出的。KummerKummer的想法是：如果上面的方程有的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定正整数解，假定是一个是一个n次本原单位根，那次本原单位根，那么么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+y)(x+n-1y),象整数中的因子分象整数中的因子分解一样，如果等式右边的解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个那么每个因子都应是另外一个“复整数复整

24、数”的的n次方幂次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小进行适当的变换之后有可能得到更小的整数的整数x1,y1,z1使使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。KummerKummer方法的前提是形如方法的前提是形如a+b的复整数也象的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与与b是通是通常整数。并不是对于每个整数常整数。并不是对于每个整数n,复整数复整数a+b都具都具有唯一分解性，有唯

25、一分解性，KummerKummer把这种复整数的因子分解把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。称为理想数的分解。用这种方法用这种方法 KummerKummer证明了证明了n100时费马大定时费马大定理成立理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研理想数的方法不但能用于费马问题研,实实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家家R.Dedekind(1831-1916)R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。研究领域。

26、理想数的诞生库麦尔库麦尔 Ernst Edward Ernst Edward KummerKummer (1810(1810-1893)1893)德国人1845至1847年间，提出了理想数的概念。又提出正规质数的概念，并证明当n为正规质数时，费尔马最后定理成立。返回 近世代数是在近世代数是在19世纪末至世纪末至20世纪初发展起来的世纪初发展起来的数学分支。数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996）根据该学科领域几位创始根据该学科领域几位创始人的演讲报告人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果综合了当时近世代数的

27、研究成果,编编著了著了近世代数学近世代数学(Moderne Algebra）一书）一书,这是这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。的教科书。代数学（代数学（Algebra）简介）简介 代数学包括：代数学包括：抽象代数抽象代数、布尔代数、关系代数、布尔代数、关系代数、计算机代数计算机代数。下一页 （1 1）抽象代数（）抽象代数（Abstract AlgebraAbstract Algebra），也叫近世代数，研），也叫近世代数，研究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象的本

28、质提炼出来，加以高度概括，来描述其形象。的本质提炼出来，加以高度概括，来描述其形象。“欧式欧式环环”就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据。问题时所需使用的一些性质提供了依据。返回 （2）布尔代数（BooleanAlgebra）是代数系统中最为基础的部分，也是最核心的基本理论。主要包括了集合的基本概念与运算，自对偶的公理系统。是数据表示的重要基础。相信大家都很清楚它的在计算机科学中有很重要地位。（3）关系代数

29、（RelationalAlgebra）应用也是极为广泛，比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论。返回 （4）计算机代数（ComputerAlgebra）大家可能比较生疏，其实它研究的主要内容即是围绕符号计算与公式演算展开的。是研究代数算法的设计、分析、实现及其应用的学科。主要求解非数值计算，输入输出用代数符号表示。计算机代数的开发语言主要有：ALTRAN,CAMAL,FORMAL。主要应用于：射影几何，工业设计，机器人手臂运动设计等。返回课后作业：简述近世代数的起源和发展概况简述本课程的基本内容和逻辑结构第第 1 讲讲 13 集合、映射及代数运算（2课时）（Sets ma

30、pping and algebra operation）第一章第一章 基本概念基本概念一、集合一、集合 定义定义1：若干个（有限或无限多个）固定事物若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。例例1：师院级数学与应用数学专业的全体师院级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。而每个学生就称为这个集学生组成一个集。而每个学生就称为这个集中的元素。中的元素。定义定义定义定义2 2：没有元素的集合叫做空集，记为没有元素的集合叫做空集，记为没有元素的集合叫做空集，

31、记为没有元素的集合叫做空集，记为，且是任，且是任，且是任，且是任一集合的子集。一集合的子集。一集合的子集。一集合的子集。例例例例2 2：一切满足方程：一切满足方程：一切满足方程：一切满足方程x x2 2+1 1=0 0的实数组成的集合是空的实数组成的集合是空的实数组成的集合是空的实数组成的集合是空集。集。集。集。（1 1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。）集合的要素：确定性、相异性、无序性。）集合的要素：确定性、相异性、无序性。）集合的要素：确定性、相异性、无序性。例例例例3 3：“由我院胖子组成的集合由我院胖子组成的集合由我院胖子组成的集合由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集这不能组成

32、一个集这不能组成一个集这不能组成一个集合。（违反了确定性）合。（违反了确定性）合。（违反了确定性）合。（违反了确定性）例例4：集合中的元素要求两两互异。即：集合中的元素要求两两互异。即：1，2，2，3=1，2，3。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合；习惯上用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为表示集合通常有三种方法表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：、枚举法（列举法）：例5：A=1，2，3，4，B=1，2，3，,100。2、描述法：、描述法：元素具有的性质。元素具有的性质。例例例例6 6：A=a|aZ且1a4。显然例。显然例6中中的

33、的A就是例就是例5的的A。3 3、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征及、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征及、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征及、绘图法：用文氏图可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系集合之间的关系集合之间的关系集合之间的关系。例例例例7 7：利用例：利用例：利用例：利用例5 5的的的的A A和和和和B B，可构制出文氏图：，可构制出文氏图：，可构制出文氏图：，可构制出文氏图：（3）集合的蕴含（包含）集合的蕴含（包含）定义定义3：若集：若集B中每个元素都属于集中每个元素都属于集A，则称则称B是是A的子集的子集 记为，记为，记为，记为.思考题思考题1：如何用

34、语言陈述“”？，否则说否则说B不是不是A的子集的子集设，且存在 ，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。思考题思考题2：若若 ，但，但B不是不是A的真子集，这的真子集，这意味着什么？意味着什么？定义定义4：真子集若集合若集合A和和B含有完全一样的元素，含有完全一样的元素，那么称那么称A与与B相等，记为相等，记为A=B.显然，显然，.定义5：集合的相等（4）集合的运算）集合的运算 集合的并集合的并：集合的交：集合的交：集合的差：集合的差：集合在全集内的补：集合在全集内的补：集合的布尔和（对称差）：集合的布尔和（对称差）：集合的卡氏积：集合的卡氏积：注注：卡氏积的推广卡氏积的推广：中的元素

35、可看成由中的元素可看成由A和和B坐标轴所坐标轴所张成的平面上的点。张成的平面上的点。问题：回忆数的四则运算，由此猜测集问题：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。合的运算应该具有什么性质。（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）对上述集合运算，可以得到一批基本公式：（7 7）（8 8）（9 9）（1010）（1111）（1212）。上述基本性质都是常上述基本性质都是常用的，其中（用的，其中（9),(10)9),(10)两式通常称为德摩根两式通常称为德摩根（De Morgan De Morgan）法则，法则，它们的证明也是容易的。它们的证明也是容易的。思考题3

36、：（1）；（2）证明等式：）证明等式：（3）设有集合）设有集合A，B：若，则若，则A与与B有什么关系有什么关系？若，则若，则A与与B有什么关系有什么关系？定义定义6：二、映映 射射 是集合是集合A到到B的一个对应法则：如果对的一个对应法则：如果对A中任中任一元素一元素a，关于，关于 都有都有B中的元素中的元素b与其对应，那么称与其对应，那么称法则法则是由是由A到到B的一个映射。的一个映射。，b是是a关于关于的象，的象，a是是b在在下的逆象。下的逆象。设设其中，记其中，记设映射的分类：映射的分类：（1）单射（一对一映射）单射（一对一映射）:（2）满射（映上的）：）满射（映上的）：若 f 既是单射

37、又是满射，则 f 是双射。思考题思考题4：试说一说：当试说一说：当 f 不是单射；不是单射；不是满射不是满射时该怎样叙述？时该怎样叙述？（3）双射（一一对应）或（4）说明）说明:1 1、映射是两个集合之间的映射是两个集合之间的。特别的，若这两个集。特别的，若这两个集合是同一集合，这时的映射叫该集合的一个变换。合是同一集合，这时的映射叫该集合的一个变换。2 2、区分变换和恒等变换：区分变换和恒等变换：变换是集合变换是集合X X到自身的到自身的映射，而恒等变换是指集合映射，而恒等变换是指集合X X中每个元素与自身对中每个元素与自身对应的变换。应的变换。（5）映射的相等：）映射的相等：设给定 如果n

38、=2时，f 就叫做代数运算。一般地有定义定义8：任一个事实上，我们都接触过代数运算。三、代数运算：三、代数运算：的映射都叫做的一个代数运算。例例13：为方便起见，以后凡是代数运算都不用为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号映射符号 等。等。每一个代数运算都可以用运算表来表示。每一个代数运算都可以用运算表来表示。设设代数运算表代数运算表代数运算表代数运算表：当当都是有限集时，那么都是有限集时，那么的的 ，则运算表，则运算表为：为：0 0b b1 1b b2 2b bn na a1 1d d1111d d1212d d1n1na a2 2d d2121d d2222d d2n2na ammd

39、dm1m1d dm2m2d dmnmn其中其中dij=aibj。这个表通常称为运算表或凯莱（这个表通常称为运算表或凯莱（Cayley）表。）表。定义定义定义定义9.9.把集合把集合把集合把集合A A上的二元映射上的二元映射上的二元映射上的二元映射AAAAAA也称为也称为也称为也称为A A上的代数运算或上的代数运算或上的代数运算或上的代数运算或A A上的二元运算上的二元运算上的二元运算上的二元运算 。此时我们也说。此时我们也说。此时我们也说。此时我们也说集合集合集合集合A A对于代数运算对于代数运算对于代数运算对于代数运算 来说是封闭的。如果来说是封闭的。如果来说是封闭的。如果来说是封闭的。如果

40、A A上的运上的运上的运上的运算用算用算用算用 来表示，则来表示，则来表示，则来表示，则A也称为代数系统。也称为代数系统。也称为代数系统。也称为代数系统。一个代数运算可以用“例14一个 ”来表示（当然也可用其它运算符号，如 “”,“”，“”，“”等表示）。：是 ，这就是普通数的除法。例15 普通加法，减法与乘法都是Z、Q、R、C的代数运算。例16 法则 例17 设A是一个非空集合，则集合的并与交是幂集是的代数运算。的两个代数运算。1.设 ，问下列各命题是否正确？（1）；(2）；（3）；(4）；（5）;（6）;习 题 12判定下列法则“”是否为有理数域Q的代数运算？（1）（2）（3）（4）（5）

41、1 (3)，(4)，（5）都正确；（1），（2），（5）都不正确。2（1），（3），（5）是;（2），（4）不是。练习1参考答案 原来住在距离都柏林差不多20英里的一个小乡村，哈密尔顿的叔叔杰姆哈密顿是那里的副牧师，这叔叔是语言专家，懂许多欧洲语言、方言以及近东的语言。小哈密尔顿从岁就受叔叔的教养，很快就一个语言学会后又飞到另一种语言去。他在13岁时遇见一位来自美国计算神速的儿童，这时引起他对数学的兴趣。哈密尔顿从小到进入大学之前沒有进过学校读书，他的教育是靠叔父传授以及自学。哈密尔顿本身很喜欢文学，而且也能写相当不错的诗歌，可惜他的诗歌赢不到非常现实的少女的心。他结婚后，吃饭不定时，有时候连饭也沒吃，而哈密尔顿习惯工作 12 14 小时，有时沒有饭吃，就以酒当作饮料来喝，长久下去哈密尔顿对酒上瘾，酒精中毒而变成了酒鬼。他的工作房间就像一个猪窝，坑里坑脏。哈密尔顿 只会生 活在 抽象的数学天地，不懂得要把自己的研究环境弄得清洁些，而他的佣人也从没进入他的工作房间收拾，外人很难想像他是怎样工作的。他的儿子回忆他有时走路想到问题沒有带纸，就写在手指甲上，吃早餐时写在鸡蛋壳上。返回