2008年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)（天津卷）.pdf

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1、20082008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）数学（文史类）本试卷分第本试卷分第 I I I I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II II II II 卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150150150 分，考试用时分，考试用时 121212120 0 0 0分钟第分钟第 I I I I 卷至卷至 2 2 2 2 页，第页，第 II II II II 卷卷 3 3 3 3至至 10101010 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！祝各位考生考

2、试顺利！第第 I I I I 卷卷注意事项：注意事项：1 1 1 1答第答第 I I I I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码置粘贴考试用条形码2 2 2 2每小题选出答案后每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动如需改动，用橡用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效3 3 3 3本卷共本卷共 10101010 小题，每小题小题，每小题 5 5 5 5 分，共分

3、，共 50505050分分参考公式：参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式24SR=()()()P ABP AP B+=+球的体积公式343VR=如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A BP A P B=gg一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合08Uxx=，的右焦点与抛物线28yx=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A2211216xy+=B2211612xy+=C2214864xy+=D2216448xy+=8已知函数20()20 xxf xxx+=

4、+，则不等式2()f xx的解集为（）A11，B2 2，C21，D12，9设5sin7a=，2cos7b=，2tan7c=，则（）AabcBacbCbcaDbac，若对于任意的2xa a，都有2yaa，满足方程loglog3aaxy+=，这时a的取值的集合为（）A12aaRRR，的最小正周期是2（）求的值；（）求函数()f x的最大值，并且求使()f x取得最大值的x的集合18（本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为116（）求乙投球的命中率p；（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投

5、球 2 次，求两人共命中 2 次的概率19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知3AB=，2AD=，2PA=，2 2PD=，60PAB=o（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角PBDA的大小20（本小题满分 12 分）已知数列 na中，11a=，22a=，且11(1)nnnaq aqa+=+(20)nq，（）设1()nnnbaa n+=*N N N N，证明 nb是等比数列；（）求数列 na的通项公式；（）若3a是6a与9a的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n*N N N N，na是3na+与6na+的等差中项21（

6、本小题满分 14 分）设函数432()2()f xxaxxb x=+R R R R，其中abR R R R，（）当103a=时，讨论函数()f x的单调性；（）若函数()f x仅在0 x=处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的2 2a ，不等式()1f x在11，上恒成立，求b的取值范围22（本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是1(3 0)F，一条渐近线的方程是520 xy=（）求双曲线C的方程；（）若以(0)k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点MN，且线段MN的ABCDP垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围20082008 年普

7、通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答数学（文史类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 5 5 分，满分分，满分 50505050 分分1A2D3A4B5C6C7B8A9D10B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 4 4 4 分，满分分，满分 24242424 分分111012101312148 21522(1)18xy+=16432三、解答题三、解答题17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角

8、的正弦和余弦、函数sin()yAx=+的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分（）解：1cos2()2sin212xf xx+=+sin2cos22xx=+2 sin2coscos2sin244xx=+2sin 224x=+由题设，函数()f x的最小正周期是2，可得222=，所以2=（）解：由（）知，()2sin 424f xx=+当4242xk+=+，即()162kxk=+Z Z Z Z时，sin 44x+取得最大值 1，所以函数()f x的最大值是22+，此时x的集合为162kx xk=+Z Z Z Z，18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用

9、概率知识解决实际问题的能力满分 12 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得221(1()(1)16P Bp=，解得34p=或54p=（舍去），所以乙投球的命中率为34解法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，由题意得1()()16P B P B=，于是1()4P B=或1()4P B=（舍去），故31()4pP B=所以乙投球的命中率为34（）解法一：由题设和（）知，1()2P A=，1()2P A=故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为31()4P A A=g解法二：由题设和（）知，1()2P A=，1()2P A=故甲投

10、球 2 次至少命中 1 次的概率为123C()()()()4P A P AP A P A+=（）解：由题设和（）知，1()2P A=，1()2P A=，3()4P B=，1()4P B=甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为11223C()()C()()16P A P AP B P B=，1()()64P A A P B B=gg，9()()64P A A P B B=gg所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为3191116646432+=19本小题主要考查直线和平面垂直、异面

11、直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分（）证明：在PAD中，由题设2PA=，2AD=，2 2PD=，可得222PAADPD+=，于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA=I，所以AD平面PAB（）解：由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得222cos7PBPAABPA ABPAB=+=gg由（）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故7tan2PBPCBBC=所以异面直线PC与AD所成的角的大小为7arctan2ABCDPHE（）解：

12、过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH 又ADABA=I，因而PH平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，sin603PHPA=og，cos601AHPA=og，2BHABAH=，2213BDABAD=+=，413ADHEBHBD=g于是在RtPHE中，39tan4PHPEHHE=所以二面角PBDA的大小为39arctan420本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 1

13、2 分（）证明：由题设11(1)(2)nnnaq aqan+=+，得11()nnnnaaq aa+=，即12nnbqbn=，又1211baa=，0q，所以 nb是首项为 1，公比为q的等比数列（）解：由（），211aa=，32aaq=，21(2)nnnaaqn=将以上各式相加，得211(2)nnaaqqn=+所以当2n时，111111.nnqqaqnq+=，上式对1n=显然成立（）解：由（），当1q=时，显然3a不是6a与9a的等差中项，故1q由3693aaaa=可得5228qqqq=，由0q得3611qq=，整理得323()20qq+=，解得32q=或31q=（舍去）于是32q=另一方面，2

14、1133(1)11nnnnnqqqaaqqq+=，15166(1)11nnnnnqqqaaqqq+=由可得36nnnnaaaan+=*N N N N，所以对任意的n*N N N N，na是3na+与6na+的等差中项21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分（）解：322()434(434)fxxaxxxxax=+=+当103a=时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx=+=令()0fx=，解得10 x=，212x=，32x=当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(0)，0102，1

15、2122，2(2)+，()fx0+00+()f x极小值极大值极小值所以()f x在102，(2)+，内是增函数，在(0)，122，内是减函数（）解：2()(434)fxxxax=+，显然0 x=不是方程24340 xax+=的根为使()f x仅在0 x=处有极值，必须24340 xax+恒成立，即有29640a=解此不等式，得8833a这时，(0)fb=是唯一极值因此满足条件的a的取值范围是8 83 3，（）解：由条件2 2a ，可知29640a=恒成立当0 x时，()0fx时，()0fx因此函数()f x在11，上的最大值是(1)f与(1)f两者中的较大者为使对任意的2 2a ，不等式()

16、1f x在11，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1ff，即22baba +，在2 2a ，上恒成立所以4b，因此满足条件的b的取值范围是(4，22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力满分 14 分（）解：设双曲线C的方程为22221(00)xyabab=，由题设得2295.2abba+=，解得2245.ab=，所以双曲线C的方程为22145xy=（）解：设直线l的方程为(0)ykxm k=+，点11()M xy，22()N xy，的坐标满足方程组221.45ykxmxy=+=

17、，将式代入式，得22()145xkxm+=，整理得222(54)84200kxkmxm=此方程有两个不等实根，于是2540k，且222(8)4(54)(420)0kmkm=+整理得22540mk+由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00()xy，满足12024254xxkmxk+=，002554mykxmk=+=从而线段MN的垂直平分线的方程为225145454mkmyxkkk=此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29054kmk，29054mk，由题设可得22199812 54542kmmkk=g整理得222(54)kmk=，0k将上式代入式得222(54)540kkk+，整理得22(45)(45)0kkk，0k解得502k所以k的取值范围是5555004224+UUU，