高等数学4-1.ppt

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1、第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四四章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)例如,的原函数.所以,都是目录 上页 下页 返回 结束 问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.存在原函数.(下章证

2、明下章证明)目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.另一个原函数，则(C 为任意常数).证证:是故由题意得(C 为任意常数).任意一个原函数.因此，当 C 为任意常数时，可以表示目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如,记作目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求 解解:1)当 x 0 时,2)当 x 0 时,综上所述，目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线

3、斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.目录 上页 下页 返回 结束 从不定积分定义可知:记作目录 上页 下页 返回 结束 二、二、基本积分表基本积分表(P188)注注：例例7.求求解解:原式 目录 上页 下页 返回 结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质说明说明:性质2可推广到有限个函数的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求解解:原式 例例9.求求解解:原式 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.求求解解:原式=例例12.求解解:原式=例例13.求解解:原式=目录 上页 下页 返回 结束 例例14.求求解解:原式=例例15.求解解:原式=目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,积分性质积分性质