离散数学课件-第1章-8(上).ppt
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1、1离散数学Discrete Mathematics 第一章第一章 逻辑与证明逻辑与证明&学习内容学习内容1.1 1.1 逻辑逻辑逻辑逻辑1.2 1.2 命题等价命题等价命题等价命题等价1.3 1.3 谓词和量词谓词和量词谓词和量词谓词和量词 1.4 1.4 对偶与范式对偶与范式对偶与范式对偶与范式1.5 1.5 推理规则推理规则推理规则推理规则1.6 1.6 证明导论证明导论证明导论证明导论1.7 1.7 证明的方法和策略证明的方法和策略证明的方法和策略证明的方法和策略1.8 1.8 数理逻辑的应用数理逻辑的应用数理逻辑的应用数理逻辑的应用&布布尔函数及其表示函数及其表示引入引入 计算机和其他
2、电子设备中的电路都有输入和输出,输入是计算机和其他电子设备中的电路都有输入和输出,输入是0或或1,输,输出也是出也是0或或1.电路可以用任何具有两个不同状态的基本元件来构造,开电路可以用任何具有两个不同状态的基本元件来构造,开关和光学装置都是这样的元件。关和光学装置都是这样的元件。1854年,乔治年,乔治.布尔第一次给出逻辑的基本规则。布尔第一次给出逻辑的基本规则。1938年,克劳德年,克劳德.香农揭示了怎么用逻辑的基本规则来设计电路,这些基本规则形成了香农揭示了怎么用逻辑的基本规则来设计电路,这些基本规则形成了布尔代数的基础。布尔代数的基础。在本章中我们对布尔代数的基本性质进行了讨论,并利用
3、布尔代在本章中我们对布尔代数的基本性质进行了讨论,并利用布尔代数的基本元素构造的表达式来表示布尔函数,以及介绍一个能产生这数的基本元素构造的表达式来表示布尔函数,以及介绍一个能产生这些表达式的算法。些表达式的算法。1.引言引言 布尔代数提供的是集合布尔代数提供的是集合0,1上的运算和规则,这个集合上的运算和规则,这个集合及布尔代数的规则还可以用来研究电子和光学开关。及布尔代数的规则还可以用来研究电子和光学开关。我们用的最多的三个布尔代数运算是我们用的最多的三个布尔代数运算是补、布尔和补、布尔和与与布尔积。布尔积。下面具体介绍一下这三种运算。下面具体介绍一下这三种运算。1)元素的补元素的补 用上
4、划线加以标记,其定义为:用上划线加以标记,其定义为:和和2.布尔和记为布尔和记为+或或OROR,它的值如下:,它的值如下:3.布尔积记为布尔积记为 或或AND AND ,它的值如下:,它的值如下:注意:注意:为了避免混淆可以删去为了避免混淆可以删去“”。就像在写代数积时一样。就像在写代数积时一样。除非使用括号布尔运算的优先级规则是:首先计算所有补,除非使用括号布尔运算的优先级规则是:首先计算所有补,然后是布尔积,然后是布尔和。然后是布尔积,然后是布尔和。【example 1】计算计算 的值。的值。Solution:根据补、布尔积与布尔和的定义得根据补、布尔积与布尔和的定义得注:注:补、布尔积和
5、布尔和分别对应于逻辑运算补、布尔积和布尔和分别对应于逻辑运算、和和,且,且0 0对应于对应于F(F(假假),1 1对应于对应于T(T(真真)。关于布尔代数的结果可以直接翻译。关于布尔代数的结果可以直接翻译成关于命题的结果。相反地,关于命题的结果也能翻译成关于布成关于命题的结果。相反地,关于命题的结果也能翻译成关于布尔代数的命题。尔代数的命题。布尔函数定义:布尔函数定义:设设B=0,1,则则Bn=(x1,x2,xn)|xi B,1in 是由是由0和和1所能构成的所有所能构成的所有n元有序列的集合。变元元有序列的集合。变元x如果仅从如果仅从B中取值,则中取值,则称该变元为称该变元为布尔变元布尔变元
6、,即它的值只可能为,即它的值只可能为0或或1.从从Bn到到B的函数的函数称为称为n n度布尔函数。度布尔函数。【example 2】从布尔变元有序对之取值集合到集合从布尔变元有序对之取值集合到集合0,1的函数的函数 就是一个就是一个2度布尔函数,且度布尔函数,且F的值如下表所示。的值如下表所示。布尔函数也可用由变元和布尔运算构成的表达式来表示。关布尔函数也可用由变元和布尔运算构成的表达式来表示。关于变元于变元x1,x2,xn的布尔表达式递归定义如下:的布尔表达式递归定义如下:1)0,1,x1,x2,xn是布尔表达式;是布尔表达式;2)如果)如果E1和和E2是布尔表达式,则是布尔表达式,则也是布
7、尔表达式。也是布尔表达式。每个布尔表达式都表示一个布尔函数,此函数的值是通过在每个布尔表达式都表示一个布尔函数,此函数的值是通过在表达式中用表达式中用0和和1替换变元得到的。替换变元得到的。【example 3】求由求由 表示的布尔函数的值。表示的布尔函数的值。Solution:这个函数的值由下表所示。这个函数的值由下表所示。布尔函数还可以用图形来表示,方法是布尔函数还可以用图形来表示,方法是:将将n元二进制数组与元二进制数组与n方体的顶点一一对应,再标出那些函数值为的顶点。方体的顶点一一对应,再标出那些函数值为的顶点。【example 4】例例3中从中从B3到到B的函数的函数可如下表示:标出
8、满足可如下表示:标出满足 的五个的五个3元组元组 所对应的顶点。如下图所对应的顶点。如下图所示,这些顶点用实心的黑圈标出。所示,这些顶点用实心的黑圈标出。n个变元的布尔函数个变元的布尔函数F和和G是相等的,当且仅当是相等的,当且仅当F(b1,b2,bn)=G(b1,b2,.bn),其中其中b1,b2,bn 属于属于B.表示表示同一个函数的不同的布尔表达式称为是同一个函数的不同的布尔表达式称为是等价的等价的。例如,布尔表达式例如,布尔表达式 都是等价的。布尔函都是等价的。布尔函数数F的的补函数补函数是是 此处此处 设设F和和G是是n度的布尔函数,函数的度的布尔函数,函数的布尔和布尔和F+G与与布
9、尔积布尔积FG分分别为别为2度布尔函数是从一个度布尔函数是从一个4个元素的集合到个元素的集合到B的函数,这的函数,这4个元素个元素是是B=0,1中元素构成的元素对,中元素构成的元素对,B是有是有2个元素的集合,因而有个元素的集合,因而有16个不同的个不同的2度布尔函数。在下表中我们列出了这度布尔函数。在下表中我们列出了这16个个2度布尔度布尔函数的值,这函数的值,这16个不同的个不同的2度布尔函数被记为度布尔函数被记为F1,F2,F16.【example 5】有多少个不同的有多少个不同的n度布尔函数?度布尔函数?Solution:由计数的乘积规则知:有由计数的乘积规则知:有2n个由个由0和和1
10、构成的不同的构成的不同的n元组。元组。因为布尔函数就是对这因为布尔函数就是对这2n个个n元组中的每一个进行赋值,故乘元组中的每一个进行赋值,故乘积规则表明有积规则表明有 个不同的个不同的n度布尔函数。度布尔函数。下表列出了下表列出了16度不同布尔函数的个数。度不同布尔函数的个数。3.布尔代数恒等式布尔代数恒等式布尔代数有许多恒等式,下表中列出了其中最重要的恒等式布尔代数有许多恒等式,下表中列出了其中最重要的恒等式。这些恒等式对于电路设计的简化特别有用,下表中的每一个恒。这些恒等式对于电路设计的简化特别有用,下表中的每一个恒等式都可以用表来证明。等式都可以用表来证明。【example 6】证明分
11、配律证明分配律 是正确。是正确。下表表示此恒等式的验证。这个恒等式成立是因为此表的最下表表示此恒等式的验证。这个恒等式成立是因为此表的最后两列相同。后两列相同。布尔代数恒等式也可以被用来进一步证明其他的恒等式。布尔代数恒等式也可以被用来进一步证明其他的恒等式。【example 7】用表用表5所示的布尔代数的其他恒等式证明所示的布尔代数的其他恒等式证明吸收律吸收律(称为吸收律是因为将(称为吸收律是因为将x+y吸收进吸收进x而保持而保持x不变。)不变。)Solution:推导此恒等式的步骤及没不使用的定律如下:推导此恒等式的步骤及没不使用的定律如下:布尔和的同一律布尔和的同一律 布尔和对布尔积的分
12、配律布尔和对布尔积的分配律 布尔积的交换律布尔积的交换律 布尔积的支配律布尔积的支配律 布尔和的同一律布尔和的同一律4.对偶性对偶性表表5中的恒等式都是成对出现的(除了双重补律、单位元性质中的恒等式都是成对出现的(除了双重补律、单位元性质及零元性质),为解释每一对恒等式中的两个式子的关系,我们及零元性质),为解释每一对恒等式中的两个式子的关系,我们使用使用“对偶对偶”这个概念。这个概念。一个布尔表达式的对偶可如下得到一个布尔表达式的对偶可如下得到:交换布尔和与布尔积,且交换交换布尔和与布尔积,且交换0 0与与1.1.【example 8】写出写出 和和 的对偶。的对偶。Solution:在这两
13、个表达式中交换符号在这两个表达式中交换符号+和和 、0和和1就产生它们的对偶就产生它们的对偶,这两个对偶分别是,这两个对偶分别是 和和 对偶性原理对偶性原理 布尔表达式所表示的布尔函数布尔表达式所表示的布尔函数F的那个特定的布尔表达式。对的那个特定的布尔表达式。对于由布尔表达式表示的函数的恒等式,当取恒等式两边的函数的于由布尔表达式表示的函数的恒等式,当取恒等式两边的函数的对偶时,等式仍然成立,此结果叫做对偶时,等式仍然成立,此结果叫做对偶原理对偶原理。它对于获得新的恒等式十分有用。它对于获得新的恒等式十分有用。【example 9】通过取对偶的方法,由吸收律通过取对偶的方法,由吸收律 构造一
14、个恒等式。构造一个恒等式。Solution:取此恒等式两边的对偶,得到恒等式取此恒等式两边的对偶,得到恒等式它也被称为吸收律,见表它也被称为吸收律,见表5.5.布尔代数的抽象定义布尔代数的抽象定义所有关于布尔函数和表达式的结论都可以翻译成成关于命所有关于布尔函数和表达式的结论都可以翻译成成关于命题的结论,也可以翻译成关于集合的结论。因此,抽象地题的结论,也可以翻译成关于集合的结论。因此,抽象地定义布尔代数十分有用。定义布尔代数十分有用。当一个特定的结构被证明是布尔代数,则所有关于布尔代当一个特定的结构被证明是布尔代数,则所有关于布尔代数的一般结果都可应用于这个特定的结构。数的一般结果都可应用于
15、这个特定的结构。对布尔代数的定义最常用的方法是指明运算所必须满足的对布尔代数的定义最常用的方法是指明运算所必须满足的性质,如以下定义所示。性质,如以下定义所示。定义定义1:一个:一个布尔代数布尔代数是一个集合是一个集合B,他有两个二元运算,他有两个二元运算和和,元素,元素0和和1,以及一个一元运算,以及一个一元运算,且对,且对B中的所有元素中的所有元素x、y和和z,下列性质成立:,下列性质成立:注:注:使用定义使用定义1所给的定律可以证明许多其他的定律,例如幂等律所给的定律可以证明许多其他的定律,例如幂等律、支配律等。、支配律等。以前讨论过,以前讨论过,B=0,1连同连同OR、AND运算及运算
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