控制原理4.ppt

《控制原理4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制原理4.ppt（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 l本讲要点介绍本讲要点介绍：1.根轨迹的概念 2.根轨迹方程 3.绘制根轨迹的规则l本讲教学目标与学习向导本讲教学目标与学习向导:本讲主要是要求同学们掌握根轨迹有关的基本概念及绘制的规则4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹法根轨迹法：在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布的影响的一种图解方法。特点：是一种图解方法；利用开环极点和开环零点确定闭环极点。1.开环零点、极点及根轨迹增益开环零点、极点及根轨迹增益开环传函开环传函控制系统方框图一般为：控制系统方框图一般为：K为系统的开环增益

2、为系统的开环增益k 为系统开环根迹增益为系统开环根迹增益2.闭环根与开环传递函数的关系闭环根与开环传递函数的关系 闭环特征方程为：闭环特征方程为：整理，得整理，得也即也即,nm所以：所以：闭环特征方程闭环特征方程=开环传函分母开环传函分母+开环传函分子开环传函分子=0上式的解就是闭环根，上式的解就是闭环根，闭环根也叫闭环极点闭环根也叫闭环极点。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:系统特征方程为系统特征方程为:解方程得闭环特征根解方程得闭环特征根:3.根轨迹绘制举例（解析法）根轨迹绘制举例（解析法）系统结构如图：系统结构如图：k1/4，为一对共轭复根。为一对共轭复根。k k取不同值对应的闭

3、环根取不同值对应的闭环根 s1,s2k 0 1/8 1/4 1/2 S1 0-0.146-0.5-0.5+j0.5-0.5+jS2-1-0.854-0.5-0.5-j0.5-0.5-jk=0k=0 k=0.25k=0.5k=0.5k=1.25k=1.25根轨迹：根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从 0 到+变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些轨迹。4-2 根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法一、根轨迹方程一、根轨迹方程 其特征方程为其特征方程为:向量形式表示为向量形式表示为:幅角条件：幅角条件：设系统结构如图：设系统结构如图：幅值条件：幅值条件：规定：幅角以逆时

4、针方向为正。规定：幅角以逆时针方向为正。幅角条件及幅值条件又可写成幅角条件及幅值条件又可写成：n幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。n用幅值条件确定相应的用幅值条件确定相应的 k 值。值。说明：说明：例例4-1 设系统的开环传函为设系统的开环传函为:1)利用幅角条件利用幅角条件-P1-P3-Z1-P2S126O79O45O120O解解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以所以检验点检验点s1=-1.5+j2.5是否是否在根轨迹上在根轨迹上;并确定与其相对应的并确定与其相对应的 k 值。值。2)由幅值条件求由幅值条件求s1相对应相对应

5、的的 k 值值 =12.15二、根轨迹的绘制规则二、根轨迹的绘制规则 结论结论:根轨迹的起点为系统的开环极点，根轨迹的起点为系统的开环极点，终点终点 是开环零点。若是开环零点。若mn，则有则有n-m条根轨条根轨 迹终止于无穷远处。迹终止于无穷远处。1.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 当当k=0时时,当当k时时,起点起点终点终点规定：根轨迹起始于规定：根轨迹起始于k=0的点，的点，终止于终止于k 的点。的点。由幅值条件由幅值条件开环极点开环极点开环零点开环零点2.根轨迹的分支数根轨迹的分支数 4.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹的分支数等于开环极点根轨迹的分支数等于开环极点数，也等于闭

6、环特征根的个数数，也等于闭环特征根的个数n。n试探点试探点S1满足幅角条件，是根轨迹满足幅角条件，是根轨迹上的点；上的点；S13.根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。由幅角条件：由幅角条件：结论：实轴上属于根轨迹的部分，结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边零、极点个数为奇数。其右边零、极点个数为奇数。S2nS2点不满足幅角条件，所在的线点不满足幅角条件，所在的线段不是根轨迹的部分。段不是根轨迹的部分。复数极、零点对实轴上复数极、零点对实轴上的根轨迹没有影响的根轨迹没有影响 5.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 结论：

7、如果结论：如果mn，则当则当k时，伸向无穷远处根轨时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是:60oS1123当s时，交角为：交角为：l例4-2 绘制开环传递函数 的根轨迹 解：此系统无开环零点，有三个开环极 点 系统根轨迹有三条分支，渐近线的相角为 渐近线与实轴的交点为会合点会合点Converging point分离点分离点Breakaway point(1)重根法重根法(2)用幅角条件用幅角条件一般情况下一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。两个零点间的根轨

8、迹上必有一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。特殊情况下两者同时存在。计算方法：计算方法：6.根轨迹的分离点及会合点根轨迹的分离点及会合点 3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。5.渐近线渐近线6.分离点和会合点分离点和会合点4.实轴上的根轨迹分布实轴上的根轨迹分布解解 按照绘制根轨迹的基本规则按照绘制根轨迹的基本规则,有有 1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图.-1-2-32.根轨迹有两条分支根轨迹有两条分支。画极点画极点画零点分离点会合点例例4-3已知一系统的开环传递函数为已知一系统的开

9、环传递函数为:试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。=0.172 =5.8187.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点(1)(1)用用s=js=j代入求代入求 例例4-4系统的特征方程为系统的特征方程为 以以s=jw w代入代入 -j3.74j3.74=0=0因此因此,与虚轴交点的坐标为与虚轴交点的坐标为j3.74(2)(2)用劳斯判据求用劳斯判据求 将系统特征方程展开为将系统特征方程展开为:=0 K=60 10+K 劳斯阵列表为劳斯阵列表为:1 14 5 10+K 例例4-5 若一控制系统的开环传递函数为若一控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。解:1.画出开环零、极点分布

10、图画出开环零、极点分布图 -1-22.实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3.渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。4.分离点和会合点分离点和会合点。-0.425.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。=0k=6j1.414k=6k=6-j1.4148.复数极零点的出射角和入射角复数极零点的出射角和入射角(1)出射角出射角The angle of locus departure from a pole(2)入射角入射角The angle of locus awival at complex zeros33.5o63.5o135o90o例例4-6 已知已知，试求出射角。，试求出射角。解：

11、系统满足系统满足n-m2时，闭环极点之积可表示为：时，闭环极点之积可表示为：系统满足系统满足n-m2时时系统闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之和等于开环极点之和。9.闭环极点之和闭环极点之和 10.闭环极点之积闭环极点之积 若有极点在原点，则若有极点在原点，则若没有开环零点，则若没有开环零点，则三、根轨迹绘制举例三、根轨迹绘制举例例例4-7 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。5.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:=8.16,k=8.65104。2.实轴上根轨迹分布。实轴上根轨迹分布。4.分离点和会合点分离点和会合点

12、。1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 3.渐近线渐近线:-18.7,45，135（1）略去远离原点的极点）略去远离原点的极点 ：分离点分离点0 ；会合点；会合点-0.25（2）求远离原点的分离点：）求远离原点的分离点：-2.26,-40.31.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 2.根轨迹有四条分支。根轨迹有四条分支。3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。例例4-8 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为解解:-1分分离离点点，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。484-4 =0得 =121 =121-j11.24.实轴上没有根轨迹分布。实轴上没有

13、根轨迹分布。j11.2 =1215.渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。例例4-9 若一正反馈控制系统的开环传递函数为若一正反馈控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。解:-1.58正反馈正反馈 此时为零度根轨迹此时为零度根轨迹 渐近线和实轴方向渐近线和实轴方向的夹角为的夹角为2l/（n-m)，即即 0,2/3 实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及及线段及(0,+)线段线段.故故-1.58为分离点。为分离点。-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.414与负反

14、馈比较与负反馈比较4-3其它形式的根轨迹其它形式的根轨迹例例4-10设一随动系统如图所示。图设一随动系统如图所示。图中参数中参数Ks为速度反馈系数。试绘制为速度反馈系数。试绘制以以Ks为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。解解:1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 2.实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3.分离点和会合点分离点和会合点。4求复数极点的出射角求复数极点的出射角 90o108o198o4-4 增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响一、增加零点对根轨迹的影响一、增加零点对根轨迹的影响例例4-11 一控制系统的开环传递函数为：一控制系统的开环传递函数为

15、：解解:60o1=0.17Kc=0.7782=-0.17Kc=0.7783=0Kc=0.278-0.027试问采取何种措施可使系统的稳定性提高。试问采取何种措施可使系统的稳定性提高。应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，即增加开环零点。即增加开环零点。1=0Kc=0.278-0.0660o1=0.17Kc=0.7782=-0.17Kc=0.7783=0Kc=0.278-0.027二、增加极点对根轨迹的影响二、增加极点对根轨迹的影响K=0K=0K4-5 闭环零极点分布与系统性能指标闭环零极点分布与系统性能指标一、从闭环零极点求过渡过程一、从闭环零极点

16、求过渡过程典型系统的闭环传函为典型系统的闭环传函为 其中其中-zi闭环零点闭环零点:由前向通路传函零点和由前向通路传函零点和 反馈通路传函极点组成。反馈通路传函极点组成。-sj闭环极点：由根轨迹确定。闭环极点：由根轨迹确定。输入输入r(t)=1时，时，Ak与零极点分布有关与零极点分布有关二、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响二、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响1.极点的分布决定了瞬态响应的类型。极点的分布决定了瞬态响应的类型。极点位于s平面：左半面 右半面 实轴上 复平面上2.零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状及指标及指标。要求系统快速性好，则闭环极点应

17、远离虚轴要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴。要求平稳性好，则共轭复数极点应位于等线与复实轴夹角45线附近。3.要求过渡过程尽快结束，则系数要求过渡过程尽快结束，则系数Ak要小。要小。4.主导极点与偶极子主导极点与偶极子 主导极点主导极点 偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点5.不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度加快，超调量增大，可使系统响应速度加快，超调量增大，在一定条件下调节时间缩短。在一定条件下调节时间缩短。6.不能忽略的闭环不能忽略的闭环极点对瞬态响极点对瞬态响 应的影响。应的影响。可使系统响应速度

18、减慢，超调量减小，可使系统响应速度减慢，超调量减小，调节时间加长。调节时间加长。应使分母大，分子小。应使分母大，分子小。三、利用闭环主导极点估算系统的性能指标三、利用闭环主导极点估算系统的性能指标解：闭环极点有解：闭环极点有3个：个：-1.5 ，-5j8.66 实数极点可看作是主导极点。则实数极点可看作是主导极点。则试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标%，ts。例例4-12 某系统闭环传递函数某系统闭环传递函数动态性能指标动态性能指标%=0 ts=3T=30.67=2秒秒 (=5%)解：闭环极点有解：闭环极点有3个：个：-1.5 ，-5j8.66 闭环零点有闭环零点有1个：

19、个：-1.7 实数零、极点构成偶极子。则实数零、极点构成偶极子。则试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标%，ts。例例4-13 某系统闭环传递函数某系统闭环传递函数动态性能指标动态性能指标%=16.3%ts=0.6秒秒 (=5%)=0.5，n=10(1)画根轨迹画根轨迹=0.5 =60s1,2=-0.33j0.58 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比为环主导极点具有阻尼比为0.5时的性能指标时的性能指标。解:例例4-14 一系统的开环传函为一系统的开环传函为(2)分析系统稳定性分析系统稳定性 0K3(3)由由=0.5确定闭环主导确定闭环主导极点极点s1,s2的位置的位置-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.41460用根之和公式，计算用根之和公式，计算s3：-0.33-j0.58-0.33+j0.58+s3=0-1-2 ,s3=-2.34 2.34/0.33=7 ,由闭环主导极点由闭环主导极点s1,s2确定响应确定响应-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.41460本章小结:本章介绍了根轨迹的概念、绘制根轨迹的基本规则，增加系统开环传递函数的零、极点对根轨迹形状的影响 利用根轨迹对系统性能进行分析的方法。