数学建模(层次分析法(AHP法)).ppt

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1、层次分析法(AHP法)Analytic Hierarchy Process引引 言言n层次分析法（层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪于上世纪70年年代初，为美国国防部研究代初，为美国国防部研究“根据各个工业根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配配”课题时，应用网络系统理论和多目标课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。分析方法。n这种方法的特点是在对复杂的决策问题的这种方法的特点是在对复杂的决策

2、问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的便的决策方法决策方法。n是对难于完全定量的复杂系统作出决策的是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。模型和方法。n层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。n常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题。层次分析法建模n一一

3、、问题的提出、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。某一种方案。例例1 1 某人准备选购一台电冰箱某人准备选购一台电冰箱他对市场上的他对市场上的6 6种不同类型的电冰箱进行了解种不同类型的电冰箱进行了解后，选取一些中间后，选取一些中间指标指标进行考察。例如进行考察。例如电冰电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务外界信誉、售后服务等。等。n n然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标然后再考虑各种型号冰箱在上

4、述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于出选购决策。在决策时，由于6 6种电冰箱对种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这的，因此，决策者首先要对这7 7个标准的重个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把要度作一个估计，给出一种排序，然后把6 6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这总目标即购买电冰箱的排序权重。有

5、了这个权重向量，决策就很容易了。个权重向量，决策就很容易了。n n例例2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的假期旅游，是去风光秀丽的苏州苏州，还是，还是去凉爽宜人的去凉爽宜人的北戴河北戴河，或者是去山水甲天下，或者是去山水甲天下的的桂林桂林？通常会依据？通常会依据景色、费用、食宿条件、景色、费用、食宿条件、旅途旅途等因素选择去哪个地方。等因素选择去哪个地方。n例例3 择业择业 面临毕业，可能有面临毕业，可能有高校高校、科研单位科研单位、企企业业等单位可以去选择，一般依据等单位可以去选择，一般依据工作环境工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。等因素择业。n

6、例例4 科研课题的选择科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。理论价值、被培养人才等因素进行选题。分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策一、层次分析法基本原理二、层次分析法的步骤和方法二、层次分析法的步骤和方法 运用层次分析法构造系统模型时，大体可运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：以分为以下四个步骤

7、：1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型2.2.构造判断构造判断(成对比较成对比较)矩阵矩阵3.3.层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验4.4.层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 n n将决策的目标、考虑的因素（决策准则）将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。n n 最高层最高层：决策的目的、要解决的问题。：决策的目的、要解决的问题。n n 最低层最低层：决策时的备选方案。：决策时的备选方案。n n 中间层中间层：考虑的因

8、素、决策的准则。：考虑的因素、决策的准则。n n 对于相邻的两层，称高层为对于相邻的两层，称高层为目标层目标层，低低层为因素层层为因素层。1建立层次结构模型建立层次结构模型一个典型的层次可以用下图表示出来：几点注意几点注意n1.处于最上面的的层次通常只有一个元素，处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支

9、配下一层次的所有元素。素，它并不支配下一层次的所有元素。n2.2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过程度有关。每一层次中的元素一般不超过9 9个，因个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。来困难。n3.3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次

10、之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。立一个合理的层次结构。目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例1.1.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.例例例例2 2 2 2 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问

11、题大学毕业生就业选择问题 获获获获得得得得大大大大学学学学毕毕毕毕业业业业学学学学位位位位的的的的毕毕毕毕业业业业生生生生，在在在在“双双双双向向向向选选选选择择择择”时时时时，用用用用人人人人单单单单位位位位与与与与毕毕毕毕业业业业生生生生都都都都有有有有各各各各自自自自的的的的选选选选择择择择标标标标准准准准和和和和要要要要求求求求。就就就就毕毕毕毕业业业业生生生生来来来来说说说说选选选选择择择择单单单单位位位位的的的的标标标标准准准准和和和和要要要要求求求求是是是是多多多多方方方方面面面面的的的的，例如：例如：例如：例如：能能能能发发发发挥挥挥挥自自自自己己己己才才才才干干干干作作作作出

12、出出出较较较较好好好好贡贡贡贡献献献献（即即即即工工工工作作作作岗岗岗岗位位位位适适适适合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）；工作工作工作工作收入收入收入收入较好（待遇好）；较好（待遇好）；较好（待遇好）；较好（待遇好）；生活环境生活环境生活环境生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）；单位单位单位单位名声名声名声名声好（声誉等好（声誉等好（声誉等好（声誉等）；）；）；）；工作环境工作环境工作环境工作环境好（人际关系和谐等）好（人际关系和谐等）好（人际关系和谐

13、等）好（人际关系和谐等）发展发展发展发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。工作选择工作选择可供选择的单位可供选择的单位P1 P2，Pn 贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉工工作作环环境境生生活活环环境境目标层目标层准则层准则层方案层方案层 将决策问题分为将决策问题分为3 3个或多个层次：个或多个层次：最高层：目标层。最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。要达到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、中间层：准

14、则层、指标层、。表示采取某种措施、表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。策、方案等。通常有几个方案可选。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。建立层次结构模型的思维过程的归纳建立层次结构模型的思维过程的归纳 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相层

15、次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对对权重权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。方案的原则。在在建建立立递递阶阶层层次次结结构构以以后后，上上下下层层次次之之间间元元素素的的隶隶属属关关系系就就被被确确定定了了。假假定定上上一一层层次次的的元元素素Ck作作为为准准则则，对对下下一一层层次次的的元元素素 A1,An 有有支支配配关关系系，我我们们的的目目的的是是在在准准则则 Ck 之之下下按按它它们们相相对对重重要要性性

16、赋赋予予 A1,An 相相应应的权重。的权重。2构造判断构造判断构造判断构造判断(成对比较成对比较成对比较成对比较)矩阵矩阵矩阵矩阵比较同一层次中每个因素关于上一层次比较同一层次中每个因素关于上一层次的的同一个因素同一个因素的相对重要性的相对重要性 在在在在确确确确定定定定各各各各层层层层次次次次各各各各因因因因素素素素之之之之间间间间的的的的权权权权重重重重时时时时，如如如如果果果果只只只只是是是是定定定定性性性性的的的的结结结结果果果果，则则则则常常常常常常常常不不不不容容容容易易易易被被被被别别别别人人人人接接接接受受受受，因因因因而而而而SaatySaatySaatySaaty等人提出

17、构造：等人提出构造：等人提出构造：等人提出构造：成对比较矩阵成对比较矩阵成对比较矩阵成对比较矩阵A=(aij)n n，即：，即：，即：，即：1.1.1.1.不把所有因素放在一起比较，而是不把所有因素放在一起比较，而是不把所有因素放在一起比较，而是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互两两相互两两相互两两相互比较。比较。比较。比较。2.2.2.2.对对对对此此此此时时时时采采采采用用用用相相相相对对对对尺尺尺尺度度度度，以以以以尽尽尽尽可可可可能能能能减减减减少少少少性性性性质质质质不不不不同同同同的的的的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。诸因素相互比较的困难，以提高准确度。诸因素相互比较的困

18、难，以提高准确度。诸因素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9 9个，即每个，即每层不要超过层不要超过9 9个因素。个因素。成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用用SaatySaaty的的1 19 9标度方法给出。标度方法给出。判断矩阵元素判断矩阵元素aij的标度方法的标度方法标度标度含义含义1 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性3 3表示两个因素相比，一个因素比另

19、一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2 2，4 4，6 6，8 8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值倒数倒数因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断a aijij，则因素则因素j j与与i i比较的判断比较的判断a ajiji=1/a=1/aijij 对对于于 n 个个

20、元元素素 A1,An 来来说说，通通过过两两两两比比较，得到较，得到成对比较（判断）矩阵成对比较（判断）矩阵 A=(aij)n n：其中判断矩阵具有如下性质：其中判断矩阵具有如下性质：（1）aij 0；（2）aij=1/aji；（3）aii=1。我们称我们称 A 为为正的互反矩阵正的互反矩阵。根根据据性性质质（2）和和（3），事事实实上上，对对于于 n 阶阶判判断断矩矩阵阵仅仅需需对对其其上上（下下）三三角角元元素素共共 n(n-1)/2 个给出判断即可。个给出判断即可。要比较各准则要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵选选择择旅旅游游地地目标层目标层

21、O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题 旅游问题的成对比较矩阵共有旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个个（一个5阶，阶，5个个3阶）。阶）。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。定权值。例如例如 一块石头重量记为一块石头重量记为1，打碎分成，打碎分成n小块，各块的重小块，各块的重量量分别记为：分别记为：w1,w2,wn则可得成对比较矩阵则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，由右面矩阵可以看出

22、，3层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验即即但在例但在例2的成对比较矩阵中，的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵A中，若中，若 ,(A 的元素具有的元素具有传递性传递性)则称则称A为为一致阵一致阵。定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 max n,当且仅当当且仅当 =n时时A为一致阵为一致阵 一一般般地地，我我们们并并不不要要求求判判断断具具有有这这种种传传递递性性和和一一致致性性，这这是是由由客客观观事事物物的的复复杂杂性性与与人人的的认认识识的的多多样样性性所所决决定定的的。但但在在构构造造两两两两判判断断矩矩阵阵时时，要要求求判判断断大大体体上

23、上的的一一致致是是应应该该的的。出出现现甲甲比比乙乙极极端端重重要要，乙乙比比丙丙极极端端重重要要，而而丙丙又又比比甲甲极极端端重重要要的的判判断断，一一般般是是违违反反常常识识的的。一一个个混混乱乱的的经经不不起起推推敲敲的的判判断断矩矩阵阵有有可可能能导导致致决决策策的的失失误误，而而且且当当判判断断矩矩阵阵过过于于偏偏离离一一致致性性时时，用用上上述述各各种种方方法法计计算算的的排排序序权权重重作作为为决决策策依依据据，其其可可靠靠程程度度也也值值得得怀怀疑疑。因因而而必必须须对对判判断矩阵的一致性进行检验。断矩阵的一致性进行检验。由于由于(A的特征根的特征根)连续的依赖于连续的依赖于a

24、ij ，则，则比比n 大的越大的越多，多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。的不一致性越严重。引起的判断误差越大。因而可以用因而可以用-n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。定义一致性指标定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。进行检验的过程。一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致

25、程度在容许范围之内，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，有满意的一致性，通通过一致性检验过一致性检验。否则要否则要重新构造重新构造成对比较矩阵成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整。加以调整。时，认为时，认为A定义一致性比率定义一致性比率 ：判断矩阵一致性检验的步骤如下：判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1)计算一致性指标计算一致性指标 C.I.：其中其中 n 为判断矩阵的阶数；为判断矩阵的阶数；(2)查找平均随机一致性指标查找平均随机一致性指标 R.I.：平平均均随随机机一一致致性性指指标标是是多多次次（500次次以以上上）重重复复进进行行随随机机判判断断矩矩阵阵特特征征根根计计

26、算算之之后后取取算算术术平平均均得得到到的的。龚龚木木森森、许许树树柏柏1986年年得得出出的的115阶阶判判断断矩矩阵阵重重复复计算计算1000次的平均随机一致性指标如下：次的平均随机一致性指标如下：阶数阶数阶数阶数1 12 23 34 45 56 67 78 8R.I.R.I.0 00 00.520.520.890.891.121.121.261.261.361.361.411.41阶数阶数阶数阶数9 9101011111212131314141515R.I.R.I.1.461.461.491.491.521.521.541.541.561.561.581.581.591.59(3)计算一

27、致性比例计算一致性比例 C.R.：当当 C.R.0.1 时时，一一般般认认为为判判断断矩矩阵阵的的一一致致性性是是可可以接受的。以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。否则应对判断矩阵作适当的修正。“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 max=5.073一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0，max 为为 A 的的模模最最大大的的特特征征根，则有根，则有 (1)max 必必

28、为为正正特特征征根根，而而且且它它所所对对应应的的特特征征向向量量为正向量；为正向量；(2)A 的任何其它特征根的任何其它特征根 恒有恒有|max；(3)max 为为 A 的的单单特特征征根根，因因而而它它所所对对应应的的特特征征向向量除差一个常数因子外是唯一的。量除差一个常数因子外是唯一的。特特征征根根方方法法中中的的最最大大特特征征根根 max 和和特特征征向向量量w，可用，可用 Matlab 软件直接计算。软件直接计算。例如：计算矩阵例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量。的最大特征值及相应的特征向量。相应的相应的 Matlab 程序如下：程序如下：A=1,1,1,4,1,1/2;1

29、,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1;x,y=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y 是特征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵，每一列为是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。相应特征值的一个特征向量。输出结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 对应于判

30、断矩阵最大特征根对应于判断矩阵最大特征根max的特征向的特征向量，经量，经归一化归一化(使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)后后记为记为w。w的元素为同一层次因素对于上一层次的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素因素某因素相对重要性相对重要性的排序权值，这一过的排序权值，这一过程称为程称为层次单排序层次单排序。准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T归一化的归一化的归一化的归一化的4层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 n n计算某一层次所有因素对于最高层计算

31、某一层次所有因素对于最高层计算某一层次所有因素对于最高层计算某一层次所有因素对于最高层(总目标总目标总目标总目标)相对相对相对相对重要性的权值，称为重要性的权值，称为重要性的权值，称为重要性的权值，称为层次总排序层次总排序层次总排序层次总排序。n n这一过程是这一过程是这一过程是这一过程是从最高层次到最低层次从最高层次到最低层次从最高层次到最低层次从最高层次到最低层次依次进行的。依次进行的。依次进行的。依次进行的。对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为的层次单排序为的层次单排序为即即B层第层第 i 个因素对总目标的权值个因素对总目标的权值为：为：（影响加和）（影响加和）B层的层次总排序为：层的

32、层次总排序为：B B层的层次层的层次层的层次层的层次总排序总排序总排序总排序AB组合权向量的计算组合权向量的计算第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,Pm第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层第层第k个元素的权向量个元素的权向量构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设B层层B1,B2,Bn对上层对上层(A层层)中因素中因素Aj(j=1,2,m)的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为CIj，随机一致性指标为，随机一致性指标为RIj

33、，则层次总排序的一致性比率为：，则层次总排序的一致性比率为：当当CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。层次时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。致性比率高的判断矩阵的元素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。决策。记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量方案层对方案层对C

34、1(景色景色)的的成对比较阵成对比较阵方案层对方案层对C2(费用费用)的的成对比较阵成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1=3.005 2=3.002 5=3.0 权向量权向量 w1(3)w2(3)w5(3)=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w(2 2)0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.429

35、0.0550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检均可通过一致性检验验方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+=0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下1建立层次结构模型建立层次结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准准则或指标则或指标

36、方案或对象），上层受下层影响，而层内各因方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。素基本上相对独立。2构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验。若检验通

37、过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。4计算总排序权向量并做组合一致性检验计算总排序权向量并做组合一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率率CR 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率1.系统性系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方

38、式进行决策判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。析之后发展起来的系统分析的重要工具。2.实用性实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。三、层次分析法的优点和局限性

39、三、层次分析法的优点和局限性3.简洁性简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：现在以下几个方面：1.囿旧：囿旧：只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。出更好的新方案。2.粗略：粗略：该

40、法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。的，不适用于精度较高的问题。3.主观：主观：从建立层次结构模型到给出成对比较矩从建立层次结构模型到给出成对比较矩 阵，人阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。途径。例例1 1：工作选择：工作选择工工作作选选择择：经经双双方方恳恳谈谈，已已有有三三个个单单位位表表示示愿愿意意录录用用某某毕

41、毕业业生生。该该生生根根据据已已有有信信息息建建立立了了一一个个层层次次结结构构模模型型，如下图所示：如下图所示：经经过过仔仔细细斟斟酌酌，该该生生对对准准则则层层和和方方案案层层分分别别进进行行了了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：对对矩矩阵阵 A 和和 Bj（j=1,6）分分别别进进行行求求最最大大特特征征值值、一一致致性性判判断断、求求权权值值等等运运算算，再再经经过过组组合合权权重重的的计计算算和和组组合合一一致致性性的的判判断断，最最终终结结果果是是：该该生生最最满满意意的的工工作作为为工工作作 1。中中间间的的具具体体计计算算结结果果如如表表

42、1.3.1 和和表表 1.3.2 所示。所示。各层及组合权值各层及组合权值准则准则准则准则研究研究研究研究 发展发展发展发展 待遇待遇待遇待遇 同事同事同事同事 地理地理地理地理 单位单位单位单位课题课题课题课题 前途前途前途前途 情况情况情况情况 位置位置位置位置 名气名气名气名气总排序总排序总排序总排序权权权权 值值值值准则层权值准则层权值准则层权值准则层权值0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.28790.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879方案层方案层方案层方案层单排序单排序单排序单排序权权权权 值值值值工作

43、工作工作工作1 10.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.39520.3952工作工作工作工作2 20.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.29960.2996工作工作工作工作3 30.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.09650.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.096

44、50.30520.3052各层及组合一致性比例各层及组合一致性比例准则准则准则准则研究研究研究研究 发展发展发展发展 待遇待遇待遇待遇 同事同事同事同事 地理地理地理地理 单位单位单位单位课题课题课题课题 前途前途前途前途 情况情况情况情况 位置位置位置位置 名气名气名气名气 组合一组合一组合一组合一致比例致比例致比例致比例准则层一致比例准则层一致比例准则层一致比例准则层一致比例0.09810.0981方案层一致比例方案层一致比例方案层一致比例方案层一致比例0.0176 0.0236 0.0068 0.0624 0.0000 0.00680.0176 0.0236 0.0068 0.0624

45、0.0000 0.00680.11110.1111注注意意：事事实实上上，在在准准则则层层的的最最终终组组合合一一致致性性比比例例为为0.1111，大大于于0.1。但但由由于于各各个个单单层层的的一一致致性性都都是是可可以以接接受受的的，组组合合一一致致性性比比例例比比0.1大大的的很很少少，考考虑虑到到调调整整两两两两比比较较判判断断矩矩阵阵非非常常麻麻烦烦，故故在在此此问题中，我们认可这样的一致性比例。问题中，我们认可这样的一致性比例。某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力有政策水平、工作作风、业

46、务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用和健康状况。下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化排序。排序。例例2 2：干部选拔：干部选拔目标层目标层选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 方案层方案层 健健康康状状况况业业务务知知识识口口才才写写作作能能力力工工作作作作风风政政策策水水平平建立层次结构模型建立层次结构模型写写作作能能力力健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风健健康康情情况况业业务务知知识识口口才才政政策策水水平平工工作作作作风风构造成对比较矩阵及层次单排序构造成对比较矩阵及层次单排序A的最大特征值的最大特征值相应

47、的特征向量为：相应的特征向量为：一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.24(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1通过一致性检验通过一致性检验假设假设3人关于人关于6个标准的判断矩阵为：个标准的判断矩阵为：健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值特征值特征值特征值健康情况健康情况健康情况健康情况 业务知识业务知识业务知识业务知识 写作能力写作能力写作能力写作能力 口才口才口才口才 政策水平政策

48、水平政策水平政策水平 工作作风工作作风工作作风工作作风 3.02 3.02 3.02 3.02 3.05 3.05 3.05 3.00 3.023.05 3.00 3.02各属性的最大特征值各属性的最大特征值均通过一致性检验均通过一致性检验从而有从而有即在即在3人中应选择人中应选择A担任领导职务。担任领导职务。层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验分别分别表示景色、费用、分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。分别表示苏杭、北戴河、桂林。例例3 3：旅游问题：旅游问题（2）构造成对比较矩阵）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致

49、性检验计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵成对比较矩阵A的最大特征值的最大特征值max=5.073表明表明A通过了一致性验证。通过了一致性验证。故故则则该特征值对应的归一化特征向量该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵对成对比较矩阵B1,B2,B3,B4,B5可以求层次可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算计算CRk可知可知B1,B2,B3,B4,B5通过一致性检验。通过一致性检验。B1对总目标的权值为：对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验）计算层次总排序权值和一致性检验决策层对总目标的权向量为：决策

50、层对总目标的权向量为：同理得，同理得，B2，B3对总目标的权值分别为：对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为即各方案的权重排序为旅游决策旅游决策问题计问题计算算结结果果权权向量向量C对对U0.264 0.476 0.054 0.098 0.109m(2)CI(2)CR(2)5.072 0.018 0.016 准准则则C方案方案PC1C2C3C4C5组组合合权权向量向量P对对U权权向向量量P对对CP10.595 0.082 0.429 0.634 0.1670.299P20.276 0.2