数电第二章 逻辑代数基础(精品).ppt

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1、第二章 逻辑代数基础内容提要内容提要本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。课程打下基础。本章的内容本章的内容2.1概述概述2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及

2、其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述概述在数字电路中，在数字电路中，1位二进制数码位二进制数码“0”和和“1”不不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。当二进制数码当二进制数码“0”

3、和和“1”表示二值逻辑，并表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算逻辑运算，最基，最基本的三种逻辑运算为本的三种逻辑运算为“与与”、“或或”、“非非”，它，它与算术运算的本质区别是与算术运算的本质区别是“0”和和“1”没有数量的没有数量的意义。故在逻辑运算中意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）或运算）2.1.1二值逻辑和逻辑运算二值逻辑和逻辑运算 数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为低电平，可以用二值变量（取值只能为0 0，l l）来表来表示。输入量和输出量之间的关

4、系是一种逻辑上的因示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。辑函数的的数学工具来描述。2.1.2数字电路的特点及描述工具数字电路的特点及描述工具逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（布尔（GeorgeBoole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑

5、函数的基础。数的基础。注意：注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。示变量，叫逻辑变量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（理数，是进行十进制（09）数值运算。而逻辑代）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：数中变量的取值只有两个：“0”和和“1”。并且。并且“0”和和“1

6、”没有数值意义，它只是表示事物的两没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。种逻辑状态。2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、）、或（或（OR）、）、非（非（NOT）三种逻辑运算。三种逻辑运算。2.2.1与运算与运算与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，都满足时，事件才会发生，即即“缺一不可缺一不可。如图如图2.2.1所示电路，所示电路，两个串联的开关控制一盏两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有灯就是与逻辑事例，只有

7、开关开关A、B同时闭合时灯才同时闭合时灯才会亮。会亮。设开关闭合用设开关闭合用“1”表示，表示，断开用断开用“0”表示表示；灯亮用；灯亮用“1”表示，灯灭用表示，灯灭用“0”表表示（逻辑赋值），则可得到示（逻辑赋值），则可得到表表2.2.1所示的输入输出的逻所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表辑关系，称为真值表从表中可知，其逻辑规律服从表中可知，其逻辑规律服从从“有有0出出0，全，全1才出才出1”这种与逻辑可以写成下面的表达这种与逻辑可以写成下面的表达式：式：称为与逻辑式，这种运算称为称为与逻辑式，这种运算称为与与运算运算也可以用图也可以用图2.2.2表示与表示与逻辑，称为逻辑门或逻逻辑，称为

8、逻辑门或逻辑符号，辑符号，实现与逻辑运实现与逻辑运算的门电路称为与门。算的门电路称为与门。2.2.2或运算或运算或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，件满足时，事件就会发生，即即“有一即可有一即可若有若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为如图如图2.2.3所示电路，所示电路，两个两个并联的开关控制一盏灯就是或并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关逻辑事例，只要开关A、B有有一个闭合时灯就会亮。一个闭合时灯就会亮。用与前面相同的逻辑赋用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如值同样也

9、可得到其真值表如表表2.2.2所示，其逻辑规律服所示，其逻辑规律服从从“有有1出出1，全，全0才出才出0”其逻辑式为其逻辑式为上式说明：当逻辑变量上式说明：当逻辑变量A、B有有一个为一个为1时，逻辑函数输出时，逻辑函数输出Y就就为为1。只有。只有A、B全为全为0，Y才为才为0。其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图2.2.4所示，所示，实现或逻辑实现或逻辑运算的门电路称为或门。运算的门电路称为或门。若有若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为3.非逻辑运算非逻辑运算条条件件具具备备时时，事事件件不不发发生生；条条件件不不具具备备时时，事事件发生，这种因果关系叫做

10、逻辑非，也称逻辑求反件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反如图如图2.2.5所示电路，所示电路，一个开关一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关当开关A闭合时灯就会不亮。闭合时灯就会不亮。非逻辑运算也叫逻辑非或非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其量是输入变量的相反状态。其逻辑式为逻辑式为用与前面相同的逻辑赋用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如值同样也可得到其真值表如表表2.2.3所示所示注：上式也可写成注：上式也可写成其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图2.2.6所示，所示，实现非逻辑运算实现非

11、逻辑运算的门电路称为非门的门电路称为非门以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算4.与非（与非（NAND）逻辑运算逻辑运算与非运算是先与运算后非运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：代数表达式为：其真值表如表其真值表如表2.2.4所示所示其逻辑规律服从其逻辑规律服从“有有0出出1，全全1才出才出0”实现与非运算用与非门电路来实现与非运算用与非门电路来实现，如图实现，如图2.2.7所示所示5.或非（或非（NOR）运算运算

12、或非运算是先或运或非运算是先或运算后非运算的组合。以算后非运算的组合。以二变量二变量A、B为例，布尔为例，布尔代数表达式为：代数表达式为：或非逻辑规律服从或非逻辑规律服从有有“1”出出“0”全全“0”出出“1”或非运算用或非门电路来实现，或非运算用或非门电路来实现，如图如图2.2.8所示所示其真值表如表其真值表如表2.2.5所示所示与或非运算是与或非运算是“先与后或再非先与后或再非”三种运算的组合。三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为：以四变量为例，逻辑表达式为：上式说明：当输入变量上式说明：当输入变量A、B同时为同时为1或或C、D同时为同时为1时，时，输出输出Y才等于才等于0。与或非运

13、算。与或非运算是先或运算后非运算的组合。是先或运算后非运算的组合。在工程应用中，与或非运算在工程应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其由与或非门电路来实现，其真值表见书真值表见书P22表表2.2.6所示，所示，逻辑符号如图逻辑符号如图2.2.9所示所示6.与或非运算与或非运算其门电路的逻辑符号如图其门电路的逻辑符号如图2.2.10所示所示其其布尔表达式（逻辑函数式）为布尔表达式（逻辑函数式）为7.异或运算异或运算符号符号“”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时值不同时Y=1，即即不同为不同为“1”相同为相同为“0”，异或运异或运算用异或门电路来实现算

14、用异或门电路来实现其真值表如表其真值表如表2.2.6所示所示异或运算的性质异或运算的性质1.交换律：交换律：2.结合律：结合律：3.分配律：分配律：推论：当推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为时，则函数为“0”；若奇数个变量取；若奇数个变量取1时，则时，则函数为函数为1.4.8.同或运算：同或运算：其布尔表达式为其布尔表达式为符号符号“”表示同或运算，即两个输入变量值相同表示同或运算，即两个输入变量值相同时时Y=1，即即相同为相同为“1”不同为不同为“0”。同或运算用同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，同或门电路

15、来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表其真值表如表2.2.7所示所示其门电路的逻辑符号如图其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示所示2.3逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式基本公式表表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表表2.3.1逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式返回返回A返回返回BA0=0A+0=AA1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律a.交换律：交换律：AB=BAA+B=B+Ab.结合律：结合律：A（BC）=（AB）CA+（BC）=（AB）+Cc.分配律：分配律：

16、A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出说明：由表中可以看出链接链接Aa.互补律：互补律：b.重叠律：重叠律：AA=AA+A=Ac.非非律：非非律：d.吸收律：吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理链接链接B2.3.2若干常用公式若干常用公式表表2.3.2为常用的一些公式为常用的一些公式表表2.3.2常用公式常用公式说明：说明：1.AABA：在两个乘积项相加时，如果其中一在两个乘积项相

17、加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；2.AA BAB：在：在两个乘积项相加时，如果其两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；可从该项中删除；3.ABAB A：在：在两个乘积项相加时，如果它两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；合并，保留相同因子；4.A（AB）A：在：在当一项和包含这一项的和项当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉相

18、乘时，其和项可以消掉5.ABA CBCABA C：在三个乘积项相加：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；子组成的另一项则是多余的，可以删掉；公式公式ABA CBCDABA C的原理和上述相同的原理和上述相同6.A（AB）AB：如果某项和包含这一项的如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；7.A（AB）A：当某个项取反和包含这一项当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项以上的公

19、式比较常用，应该能熟用，为以后以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础逻辑函数的化简打好基础2.4逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理代入定理内容：内容：任何一个含有变量任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然来替换，则等式仍然成立。成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式证明：方程的左边有证明：方程的左边有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十

20、十D)十十CB(A十十D)十十BCBA十十BD十十BC方程的右边有方程的右边有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十十D)十十BCBA十十BD十十BC故故B(A十十D)十十CB(A十十D)十十BC例例2.4.1若若B(A十十C)BA十十BC，现将所有出现现将所有出现A的地的地方都代入函数方都代入函数GA十十D，则证明等式仍成立则证明等式仍成立证明：设证明：设GBC代入公式左右的代入公式左右的B中中同理设同理设GBC代入式子左右的代入式子左右的B例例2.4.2试用代入规则证明摩根定律适用多变量的试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况情况可得可得故：故：可得可得内容：内容：若已知逻辑函数若已知

21、逻辑函数Y的逻辑式，则只要将的逻辑式，则只要将Y式中式中所有的所有的“.”换为换为“+”,“+”换为换为“.”,常量常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，所有原变量（不带非，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数新函数即为原函数Y的反函数（补函数）的反函数（补函数）Y。利用利用摩根定律，可以求一个逻辑函数摩根定律，可以求一个逻辑函数的反函数。的反函数。2.反演定理反演定理注意：注意：1.变换中必须保持变换中必须保持先与后或先与后或的顺序；的顺序；2.对跨越两个或两个以上变量的对跨越两个或两个以上变量的

22、“非号非号”要要保留不变；保留不变；解：由摩根定理解：由摩根定理或或直接求反直接求反例例2.4.3已知已知YA（BC）C D，求求Y 解：由反演定理解：由反演定理例例例例2.4.42.4.4若若若若 Y Y（AA BB）C CDD+C+C，求反函数求反函数求反函数求反函数或或直接求反得直接求反得3.对偶规则对偶规则对偶式：对偶式：设设Y是一个逻辑函数，如果将是一个逻辑函数，如果将Y中所有的中所有的“+”换成与换成与“”，“.”换成与换成与“+”，“1”换换成与成与“0”，“0”换成与换成与“1”，而变量保持不变，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式则所得的新的逻辑式YD称为称为Y的对偶式。的对偶

23、式。如：如：对偶规则：对偶规则：如果两个函数如果两个函数Y和和G相等，则其对偶式相等，则其对偶式YD和和GD也必然相等，也必然相等，Viceversa。利用对偶式可以证明。利用对偶式可以证明一些常用公式一些常用公式例例1.1.5试利用对偶规则证明分配律试利用对偶规则证明分配律ABC=(A+B)(A+C)式子成立式子成立证明：设证明：设YABC，G(A+B)(A+C)，则它们的对则它们的对偶式为偶式为由于由于故故YG，即，即ABC=(A+B)(A+C)证明：设证明：设则它们的对偶式为则它们的对偶式为由于由于故故YG，即即例例1.1.6试利用对偶规则证明吸收律试利用对偶规则证明吸收律AA BAB式

24、子成立式子成立2.5逻辑函数的定义：逻辑函数的定义：其中：其中：A1,A2An称为称为n个输入逻辑变量，取值只能个输入逻辑变量，取值只能是是“0”或是或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是为输出逻辑变量，取值只能是“0”或或是是“1”则则F称为称为n变量的逻辑函数变量的逻辑函数在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如如YAB C，表示输出等于变量，表示输出等于变量B取反和变量取反和变量C的与，再和变量的与，再和变量A相或。相或。2.5.1逻辑函数逻辑函数一一、逻辑

25、真值表、逻辑真值表2.5.2逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法 逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下：逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下：逻辑真值表就是采用一逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列出算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取输入逻辑变量的所有可能取值得组合，输出部分根据逻值得组合，输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑辑函数得到相应的输出逻辑变量值。变量值。如表如表2.5.1表示的异或逻表示的异或逻辑关系的函数，即辑关系的函数，即YBA011101110000输出输出输入输入表表2.5.1YA BAB 二

26、二、逻辑函数式、逻辑函数式按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量。输出变量都是二值的逻辑变量。如异或关系的逻辑函数可写成如异或关系的逻辑函数可写成YA BAB 三、三、逻辑图法逻辑图法采用规定的图形符号，采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的来构成逻辑函数运算关系的网络图形网络图形图图2.5.1表示的是异或关系表示的是异或关系的逻辑图的逻辑图四四波形图法波形图法:一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了一种表示输入输出变量动态变

27、化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。函数值随时间变化的规律，也称时序图。如图如图2.5.2表示异或逻辑关系的波形。表示异或逻辑关系的波形。除上面介绍的四除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外，种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、点阵图还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述语言等。法及硬件描述语言等。在后面的课程中将重点在后面的课程中将重点介绍卡诺图法。介绍卡诺图法。五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑函数方法的转换。函数方法的转换。1.真值表与逻辑函数式的相互转换真值表与逻辑函数式的相

28、互转换通过下面的例子得出通过下面的例子得出由真值表写出逻辑函数的由真值表写出逻辑函数的方法方法例例2.5.1某逻辑函数的真值某逻辑函数的真值表如表表如表2.5.2所示，写出逻所示，写出逻辑函数式辑函数式输入输入输出输出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2输出输出Y200010111（1）由真值表写逻辑函）由真值表写逻辑函数式数式解：逻辑式为解：逻辑式为输入输入输出输出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2输出输出Y200010111总结：总结：找出真值表中使逻辑函数为找出真值表中使逻辑函数为“

29、1”的输入变量的组的输入变量的组合；合；对应每个输出为对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系，变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为即乘积项，其中如图输入变量取值为“1”的写成原的写成原变量，输入变量取值为变量，输入变量取值为“0”的写成反变量，如的写成反变量，如A B C输入输入输出输出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2输出输出Y200010111将这些乘积项相加，将这些乘积项相加，即得到输出的逻辑式即得到输出的逻辑式例例2.5.2已知真值表如表已知真值表如表2.5.3所示，试写出输出的逻所示，试写出输出的逻辑函数辑

30、函数输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010110010110表表2.5.3解：其输出的逻辑函数为解：其输出的逻辑函数为（2）由逻辑函数式写出真值表）由逻辑函数式写出真值表将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得出输出的值，并以表的形式表示出来。出输出的值，并以表的形式表示出来。例例2.5.3写出逻辑函数写出逻辑函数YAB C 的真值表的真值表解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.4所所示示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010110111110表表2.5.42.逻辑函数式与逻辑图的相互

31、转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换（1）由逻辑函数式画出逻辑图）由逻辑函数式画出逻辑图用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得到所求的逻辑图到所求的逻辑图例例2.5.4画出逻辑函数画出逻辑函数Y（AB+C）（AC）B 的逻辑电路的逻辑电路解：其实现电路解：其实现电路如图如图2.5.3所示所示（2）由逻辑图写出逻辑函数式）由逻辑图写出逻辑函数式已知逻辑图，根据逻辑门的输入输出关系，写已知逻辑图，根据逻辑门的输入输出关系，写出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函数式数式例例2.5.5已知逻辑电路已知逻辑电路

32、如图如图2.5.4，试写出输，试写出输出端的逻辑函数式，出端的逻辑函数式，并写出真值表并写出真值表解：输出的逻辑式为解：输出的逻辑式为由逻辑式写出真值表，如表由逻辑式写出真值表，如表2.5.5所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101010011表表2.5.5例例2.5.6设计一个逻辑电路，当三个输入设计一个逻辑电路，当三个输入A、B、C至至少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图解：由逻辑要求写出真值表解：由逻辑要求写出

33、真值表，如表如表2.5.6所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111101000表表2.5.6由由真值表写出逻辑式为真值表写出逻辑式为输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111101000表表2.5.6其实现的逻辑图如图其实现的逻辑图如图2.5.5所示所示3.波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换（1）由波形图得到真值表）由波形图得到真值表根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值的输出值例例2.5.7已知逻辑函数已知逻辑函数Y的输出波形如图的输出波形如图2.5.

34、6所示，所示，试分析其逻辑功能。试分析其逻辑功能。解：由所给的波形写解：由所给的波形写出输入输出的真值表，出输入输出的真值表，如表如表2.5.7所示所示由真值表可知，当输入变量由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，输出取值相同时，输出Y1；A、B取值不同时，输出取值不同时，输出Y0。故输出和输。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为入是同或关系。其逻辑函数式为YBA111001010100输出输出输入输入表表2.5.7例例2.5.8已知图已知图2.5.7所示是某个数字逻辑电路的输入所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并

35、判断其逻辑功能功能解解:由波形得出真值表如表由波形得出真值表如表2.5.8所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表写出输出的逻辑式由真值表写出输出的逻辑式输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表可知，当输出有奇由真值表可知，当输出有奇数个数个“1”时，输入为时，输入为“1”。故此电路为故此电路为“判奇电路判奇电路”，其逻辑图如图其逻辑图如图2.5.8所示所示（2）由真值表画出波形图）由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。按照真

36、值表的输入取值，画出输入输出的波形。例例2.5.9已知逻辑函数的真值表如表已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表画出输入输解：由真值表画出输入输出波形如图出波形如图2.5.9所示所示输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.92.5.3逻辑函数的两种标准型逻辑函数的两种标准型一种输入输出的逻辑关系可以有多种

37、等效的表一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表达式表示，但可以化为标准形式。其标准型有两种：达式表示，但可以化为标准形式。其标准型有两种：标准与或式和标准或与式标准与或式和标准或与式1.最小项最小项a.定义定义:在在n变量的逻辑函数中，变量的逻辑函数中，设有设有n个变量个变量A1An，而，而m 是由所有这是由所有这n个变量组成的乘积项（与项）个变量组成的乘积项（与项）。若。若m中包含的每一个变量都以中包含的每一个变量都以Ai 或或A i的形式出的形式出现一次且仅一次，则称现一次且仅一次，则称m 是是n变量的最小项。变量的最小项。注：注：n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有2n个，通常用

38、个，通常用mi 表示第表示第i 个最小项，变量按个最小项，变量按A1An排列，以原变量出现时对应排列，以原变量出现时对应的值为的值为“1”，以反变量出现时对应的值取，以反变量出现时对应的值取“0”，按，按二进制排列时，其十进制数即为二进制排列时，其十进制数即为i。一、最小项和最大项一、最小项和最大项表表2.5.10、表、表2.5.11、表、表2.5.12分别为二变量、三变分别为二变量、三变量和四变量的最小项量和四变量的最小项b.b.最小项的性质最小项的性质对于任一个最小项，仅有一对于任一个最小项，仅有一组变量取值使它的值为组变量取值使它的值为“1”，而其它取值均使它为，而其它取值均使它为“0”

39、。或者说在输入变量的任何取值或者说在输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最必有一个最小项也仅有一个最小项的值为小项的值为“1”。n变量组成的全体最小项之变量组成的全体最小项之逻辑和为逻辑和为“1”。即。即2.最大项最大项a.定义定义：在在n变量的逻辑函数中，变量的逻辑函数中，设有设有n 个变量个变量A1An，而而M是由所有这是由所有这n个变量组成的和项（或项）。个变量组成的和项（或项）。若若M中包含的每一个变量都以中包含的每一个变量都以Ai或或A i 的形式出现一的形式出现一次且仅一次，则次且仅一次，则M是是n变量的最大项。变量的最大项。注：注：注：注：n个变量构成的最大项也有个变量构成

40、的最大项也有2n个，通常用个，通常用Mi表示表示第第i个最大项，变量按个最大项，变量按A1An排列，以原变量出现时排列，以原变量出现时对应的值为对应的值为“0”，以反变量出现时对应的值取，以反变量出现时对应的值取“1”，按二进制排列时，其十进制数即为，按二进制排列时，其十进制数即为i。表表2.5.13、表、表2.5.14分别为二变量、三变量的最大分别为二变量、三变量的最大项，四变量最大项课下自己写出项，四变量最大项课下自己写出b.最大项的性质最大项的性质对于任一个最大项，仅有一组对于任一个最大项，仅有一组变量取值使它的值为变量取值使它的值为“0”，而，而其它取值均使它为其它取值均使它为“1”。

41、或者。或者说在输入变量的任何取值必有一说在输入变量的任何取值必有一个最大项也仅有一个最大项的值个最大项也仅有一个最大项的值为为“0”。n变量组成的全体最大项之逻变量组成的全体最大项之逻辑积为辑积为“0”。即。即二、二、逻辑函数的标准与或式型最小项之和标准型逻辑函数的标准与或式型最小项之和标准型如如与或型特点：与或型特点：1.式子为乘积和的形式；式子为乘积和的形式；2.不一定包含所有的最小项，但每一不一定包含所有的最小项，但每一项必须为最小项项必须为最小项标准与或式的写法：标准与或式的写法：在在n变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项，则在

42、这项中添加此变量与这个一个变量不是最小项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项，使之称为最小项，即利用变量的反变量之和这一项，使之称为最小项，即利用公式公式AA 1例例2.5.10将逻辑函数将逻辑函数YAB C写成标准与或式写成标准与或式解：解：注意：变量的排列顺序。注意：变量的排列顺序。三、三、逻辑函数的标准或与式型最大项之积标准型逻辑函数的标准或与式型最大项之积标准型如如与或型特点：与或型特点：1.式子为和积的形式；式子为和积的形式；2.逻辑函数不一定包含所有的最大逻辑函数不一定包含所有的最大项，项，但每一项必须为最大项但每一项必须为最大项标准或与式的写法：标准或与式的写法：在

43、在n变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项，即利用公式量的反变量之积这一项，即利用公式AA 0，然后然后利用公式利用公式ABC（AB）（）（AC）使之称为最大）使之称为最大项项例例2.5.11将逻辑函数将逻辑函数YACB C写成或与式写成或与式解：解：四、四、最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系设有三变量设有三变量A、B、C的最小项，如的最小项，如m5AB C，对，对其求反得其求反得由此可知对于由此可知对于n 变量中任意一对最小项变量中任意一

44、对最小项mi 和最大项和最大项Mi，都是互补的，即都是互补的，即五、标准与或式和或与式之间的关系五、标准与或式和或与式之间的关系若某函数写成最小项之和的形式为若某函数写成最小项之和的形式为则则此函数的反函数必为此函数的反函数必为如如表表2.5.15中中上式或写成上式或写成利用反演定理可得利用反演定理可得六、逻辑函数的两种标准形式：六、逻辑函数的两种标准形式：有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式：有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式：与或式（最小项之和）和或与式（最大项之积）。与或式（最小项之和）和或与式（最大项之积）。实现这种变换方法很多，可以利用添项、真值表、实现这种变换方法很多，可

45、以利用添项、真值表、卡诺图等实现，这里介绍利用添项和真值表将逻辑卡诺图等实现，这里介绍利用添项和真值表将逻辑函数变换成标准型。函数变换成标准型。1.利用真值表利用真值表首先写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小首先写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小项和最大项。项和最大项。标准与或式写法标准与或式写法标准与或式写法标准与或式写法 ：由真值表确定逻辑函数为：由真值表确定逻辑函数为“1”的的项作为函数的最小项项作为函数的最小项(乘积项）。若输入变量取乘积项）。若输入变量取“1”，则写成原变量；若输入变量取值为，则写成原变量；若输入变量取值为“0”，则写成反变量。不同的输出则写成反变量。不同的输出

46、“1”为和的关系。为和的关系。标准或与式写法标准或与式写法标准或与式写法标准或与式写法 ：由真值表确定逻辑函数为由真值表确定逻辑函数为“0”的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取“1”，则写成反变量；若输入变量取值为，则写成反变量；若输入变量取值为“0”，则写成原变量。不同的输出，则写成原变量。不同的输出“0”为积的关系。为积的关系。例例2.5.12试将下列函数利用试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式真值表转化成两种标准形式解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.16所示所示逻辑函数的标准或与型为逻辑函数的标准或与型为则逻辑函数的标准与或型为则

47、逻辑函数的标准与或型为标准或与式的写法：标准或与式的写法：标准或与式的写法：标准或与式的写法：在逻辑函数中，先将逻辑函数在逻辑函数中，先将逻辑函数化为和积式。若某一和项由于缺少一个变量不是最化为和积式。若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量大项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之积这一项，再利用之积这一项，再利用AABB（AB）（）（AB）使之称为最大项使之称为最大项2.利用公式利用公式AA 1及及AA 0将逻辑函数变换将逻辑函数变换为与或式和或与式为与或式和或与式标准与或式写法标准与或式写法标准与或式写法标准与或式写法 ：在逻辑函数中，先将函数化成

48、与：在逻辑函数中，先将函数化成与或式（不一定是最小项），则在与项中利用公式或式（不一定是最小项），则在与项中利用公式AA 1添加所缺的逻辑变量，写成最小项的形式添加所缺的逻辑变量，写成最小项的形式例例2.5.13试利用添加项的方法将下面逻辑函数转化成试利用添加项的方法将下面逻辑函数转化成与或标准式与或标准式解：标准与或式为解：标准与或式为例例2.5.14试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与标准式标准式解解:a.在将一个在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大和）后，若要写

49、成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为项的总个数为2n；b.由由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反函数可以用数，其反函数可以用i个最大项的或与式（最大项之个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号与最小项编号相同。和）表示，其编号与最小项编号相同。总结：总结：例例1.2.5将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其反函数反函数解：标准与或式为解：标准与或式为标准或与式为标准或与式为（注：反函数的最大项编码与原

50、函数最小项编码注：反函数的最大项编码与原函数最小项编码相同相同）反函数为反函数为2.5.4逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换 除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非门实现，就需要将其变成与非与或式，要用与非门实现，就需要将其变成与非与非式。与非式。一、与或式化为与非与非式一、与或式化为与非与非式利用反演定理利用反演定理例例2.5.10将下式将下式Y=AC+BC 用与非门实现，并画出用与非门实现，并画出逻辑图。逻辑图。解：用二次求反，将第一级非号用摩