2-2 复数域数学模型-传递函数(精品).ppt

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1、第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型第二节第二节 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念建立系统微分方程的目的是什么？建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？对于高阶线性微分方程如何求解？使使用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换法法解解线线性性微微分分方方程程有有哪哪些些优势？优势？思考？思考？第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 在在求求解解方方法法上上：计计算算简简单单 (把把微微积积分分运运算

2、算变变换换成成代代数数运运算算或或查查表表)，容容易易求求出出系系统统对输入的响应。对输入的响应。引引入入传传递递函函数数的的概概念念(复复数数域域数数学学模模型型)，把把系系统统的的动动态态性性能能和和传传函函的的零零极极点点联联系系起起来来，使使在在复复数数域域内内(根根轨轨迹迹法法)和和频频域域内内(频频率法率法)分析和设计系统成为可能。分析和设计系统成为可能。优势优势：第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念项项 目目内内 容容教教 学学 目目 的的从从时时域域内内的的微微分分方方程程形形式式数数学学模模型型向向复复数数域域内内的的传递函数形式过渡。传递函数形式过渡。教教 学

3、学 重重 点点熟悉传递函数的各种一般表达形式。熟悉传递函数的各种一般表达形式。教教 学学 难难 点点传传递递函函数数的的解解析析表表达达式式和和几几何何表表达达形形式式的的联联合合思思维方法。对典型环节传递函数的理解。维方法。对典型环节传递函数的理解。讲讲授授技技巧巧及及注注意事项意事项注重微分方程同传递函数的对比。注重微分方程同传递函数的对比。2-2 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 本节的学习思路：从多个方位本节的学习思路：从多个方位来观察我们将要研究的对象来观察我们将要研究的对象传递传递函数函数，为下一步深入细致的讨论，为下一

4、步深入细致的讨论(第第四章和第五章四章和第五章)做准备。做准备。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念本节内容本节内容v拉式变换拉式变换v传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式v系统传递函数的建立系统传递函数的建立v典型环节的传递函数典型环节的传递函数v拉式反变换拉式反变换第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念原函数v1.定义：定义：设函数设函数f(t)当当时有定义，设时有定义，设且且积积分分存存在在，则则称称F(s)是是f(t)的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换。简称拉氏变换。简称拉氏变换。f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为：象函数2

5、-2 传递函数传递函数一一拉氏变换拉氏变换第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念(2)例例2 求阶跃函数求阶跃函数 的拉氏的拉氏变换。(1)例例1求求单位脉冲函数位脉冲函数的拉氏的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数的拉氏的拉氏变换为为。v2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念f(t)F(s)f(t)F(s)1tv3.几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换（掌握）（掌握）第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念(1)线性性质线性性质(2)积分性质积分性质(3)微分性质微分性质v4.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质第一章第

6、一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念(4)终值定理终值定理(5)初值定理初值定理(6)时间比例尺时间比例尺(相似相似)定理定理第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以 。b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 。即。即(7)位移定理位移定理第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念1.定定义义：从从象象函函数数F(s)求求原原函函数数f(t)的的运运算算称称为为拉拉氏反变换。记为氏反变换。

7、记为。由。由F(s)可按下式求出可按下式求出式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直直接接按按上上式式求求原原函函数数太太复复杂杂，一一般般都都用用查查拉拉氏氏变变换换表表的的方方法法求求拉拉氏氏反反变变换换，但但F(s)必必须须是是一一种种能能直直接接查到的原函数的形式。查到的原函数的形式。二二拉氏反变换拉氏反变换第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念序号序号拉氏变换拉氏变换 时间函数时间函数 序号序号拉氏变换拉氏变换 时间函数时间函数 119210311412513614715816第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概

8、念 若若F(s)不不能能在在表表中中直直接接找找到到原原函函数数，则则需需要要将将F(s)展展开开成成若若干干部部分分分分式式之之和和，而而这这些些部部分分分分式式的的拉拉氏氏变变换换在在表表中中可可以查到。以查到。展开的常用方法有：u配方法u比较系数法u留数法第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念例例1：求：求的拉氏反变换。的拉氏反变换。例例2：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。u配方法配方法解：解：解：解：第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念u比较系数法比较系数法第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念u留数法留数法F(s)总能展开成如下简单的部分分式

9、之和：总能展开成如下简单的部分分式之和：numeratordenominator （1）D(s)=0没有重根没有重根第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念其中：其中：所以：所以：所以：所以：第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念(2)D(s)=0(2)D(s)=0包含包含r r重根重根其中：其中：第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念由于：由于：所以所以：例5 求 的拉氏反变换。其中：其中：所以：所以：所以：所以：解：设解：设第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤 对微分方程

10、进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，方程中的初始值应取系统在t=0时刻的对应值；求出系统输出变量的表达式；将输出变量的表达式展开成部分分式；对部分分式进行反变换，即得微分方程的解。例6.已知系统的微分方程式为：并且设：，试求微分方程的解。解：方程两边进行拉氏变换代入初始值变换形式可得设其中：其中：所以：所以：两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念如果使用比较系数法：如果使用比较系数法：通分后令通分后令比较系数得比较系数得同样求出同样求出两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念线性定

11、常系统微分方程的一般形式为：线性定常系统微分方程的一般形式为：1.定定义义：零零初初始始条条件件下下，系系统统输输出出量量的的拉拉氏氏变变换换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。三三传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 c(t)为为系系统统的的输输出出，r(t)为为系系统统输输入入，则则在在零零初初始始条条件件下下，对对上上式式两两边边取取拉拉氏氏变变换换，由由微微分分性性质质得得到到系系统传递函数为：统传递函数为：标准形式、有理分式形式标准形式、有理分式形式或多项式形式或多项式形式第

12、一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 在在零零初初始始条条件件下下求求系系统统或或环环节节的的传传递递函函数数，只只需需要要将将微微分分方方程程中中变变量量的的各各阶阶导导数数用用s s的的相相应应幂幂次次代代替替就就行行了了，因因此此从从微微分分方方程程式式求求传传递递函函数数非非常常容容易易。经经过过变变换换后后，我我们们把把一一个个复复杂杂的的微微分分方方程程式式变变换成了一个简单的换成了一个简单的代数方程代数方程。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念为系统增益（放大系数）为系统增益（放大系数）返回返回尾尾1 1形式形式因因式分解式分解时间常数形式时间常数形式典

13、型环节形式典型环节形式各项提取各项提取an各项提取各项提取bmu传递函数的第二种表达形式传递函数的第二种表达形式第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念为根轨迹增益为根轨迹增益首首1 1形式形式因因式分解式分解零极点增益形式零极点增益形式根轨迹形式根轨迹形式各项提取各项提取a0各项提取各项提取b0u传递函数的第三种表达形式传递函数的第三种表达形式第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念稳态增益稳态增益K和根轨迹增益和根轨迹增益K*的定义及关系：的定义及关系：这两个参数是重要的调试参数。这两个参数是重要的调试参数。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念称为系统的特

14、征多项式，称为系统的特征多项式，S的最高阶次的最高阶次n即为即为系统的阶次。系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。称为系统的特征方程。分母分母第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念传递函数的三大表达形式：传递函数的三大表达形式：第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念传递函数的零极点分布图传递函数的零极点分布图传函传函的零极点分布图的零极点分布图第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念2.传递函数的性质传递函数的性质（1）对对应应性性：传传递递函函数数与与微微分分方方程程一一一一对对应应。如如果将果将 置换，传递函数置换，传递函数 微分方程微分方程（2）固

15、固有有性性：传传递递函函数数表表征征了了系系统统本本身身的的动动态态特特性性。传传递递函函数数只只取取决决于于系系统统本本身身的的结结构构参参数数，而而与与输输入入等等外外部部因因素素无无关关，可可见见传传递递函函数数有有效效地地描描述述了了系统的固有特性。系统的固有特性。（3）局局限限性性：只只反反映映零零初初始始条条件件下下输输入入信信号号引引起起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。（4）唯一性。）唯一性。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念（5）传传递递函函数数的的拉拉氏氏反反变变换换是是系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应，反反

16、之之，系系统统单单位位脉脉冲冲响响应应的的拉拉氏氏变变换换是是系系统统的的传递函数，两者有一一对应的关系。传递函数，两者有一一对应的关系。（6）同同形形性性：G(s)虽虽描描述述了了输输出出输输入入间间的的关关系系，但但它它不不提提供供任任何何该该系系统统的的物物理理结结构构。物物理理性性质质截截然然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。（7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。（8）有有理理性性：传传递递函函数数为为有有理理真真分分式式函函数数。即即m小于等于小于等于n。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控

17、制的一般概念思考：思考：1.1.我我们们已已经经前前进进一一步步了了，我我们们将将一一般般形形式式的的微微分分方方程程变变换换成成了了传传递递函函数数，并并且且有有了了许许多表达形式；多表达形式；2.2.我我们们把把研研究究对对象象的的微微积积分分运运算算形形式式变变成成了了代代数数运运算算形形式式，简简化化了了运运算算，降降低低了了工工作作的的难度；难度；3.3.更更大大的的收收获获是是在在传传递递函函数数代代数数和和几几何何形形式式下下，想想象象力力增增强强了了。我我们们可可以以对对系系统统采采取取更更多的方法进行分析和研究了。多的方法进行分析和研究了。第一章第一章 自动控制的一般概念自动

18、控制的一般概念四四 传递函数的建立传递函数的建立方法方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。）取输出与输入的拉氏变换之比。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念例例1对对RC无源网络，求传递函数无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换

19、，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念例例2对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 例例3 一一个个由由弹弹簧簧、质质量量、阻阻尼尼器器组组成成的的做做直直线线运运动动的的力力学学系系统统。图图中中，m为为物物体体的的质质量量，k为为弹弹簧簧系系数

20、数，f为为粘粘性性摩摩擦擦系系数数，F(t)为为物物体体受受到到的的外外作作用用力力，y(t)为为物物体体的的位位移移。试试求求传传递递函函数数Y(s)/F(s)。f第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念解：已求得系统的微分方程形式为已求得系统的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念方法方法2：利用系统的单位脉冲响应求系统的传：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。递函数。（1）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；（2

21、）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。证明：证明：由由由由所以所以又因为又因为所以所以C(s):系统单位脉冲响应复数域形式系统单位脉冲响应复数域形式c(t):系统系统单位脉冲响应时域形式单位脉冲响应时域形式第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 例例4 测得测得某系统在零初始条件下脉冲输入作用某系统在零初始条件下脉冲输入作用时的输出响应为时的输出响应为求系统的传递函数。求系统的传递函数。解解:对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念电气

22、网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数(重要重要)运算运算(复复)阻抗阻抗 电阻电阻电容电容电感电感第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 例例5对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念解：把图中各量用复阻抗表示解：把图中各量用复阻抗表示第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式复阻抗复阻抗+分压定理分压定理第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 例例6对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念解：解：复阻抗复阻抗+分压定理分压定理根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念本节应该掌握：本节应该掌握：1.传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式2.系统传递函数的建立系统传递函数的建立小小 结结