阅读与思考集合中元素的个数(精品).pptx

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1、，；二 J举；句 句1如P t飞.:;.1/F.;.c.ii 号？主 一旷.，惊奇 甸、？.吹去 黑 穿J楚 d 飞、开：v.，.：弘4气 导 呼.；电、币 、y巳，圈 也A口例l 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个 班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参 赛？分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B 为球类运动会参赛的学生的集合。那么A n B就 是两次运动会都参赛的学生的集合。试分析 A UB、A、B、A n B中元素个数的关系解：设A 田径运动会参赛的学生 ，B 球类运动会参赛的学生 ，那么，A门B

2、 两次运动会都参赛的学生 ，A UB 参赛的学生 。card(A UB)=card(A)+card(B)-card(AnB)=8+12-3=170答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。二用图来求解：A1 A n B B(5)(3)J(9)例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人 试求参加数学小组、物理小组的人数各是多少？card(A U B)=card(A)+card即 25=2x+x-5 x=lOC B)-card(An B)参加数学小组20人，参加物理小组10人card(A U B

3、)=card(A)+card(B)-card(An B)能否推广？试写出三个集合类似公式例3.某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科 目 如下表；表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。有人说上面的统计表有误，你认为呢？由统计表计算高三年级共有131+117+152-61-79-62+53=251（人），所以统计表有误科 目 数单科两科三科科 目语数外i吾数数外i吾外语数外人数13111715261796253例4.在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐爱好者75人（并非每个学生都有爱好 ，对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少

4、人？最多63人，最少38人问题的提出：无限集中元素的个数？！Z 1,2,3,4,5,.拧元素有多少个？集合A 二 2,3,4,5,.拧元素的个数？R中元素有多少个？是不是所有的无限集都有相同的个数呢？1.无限(1）初识无限(2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？理解无限的关键一一对应(3）无限集中元素的个数 与此相关的一个定义：基数若在一个集合与全体正整数集合之间 存在一一对应，则称这个集合是可数的。(2)1?2 1 3!4，饵，斗是自然数集：1,4,9,1 1 6.饵，2 是自然数平方 的数集 全体正整数和全体整数一样多吗？全体正整数和全体有理数一样多吗？部分整体？！(5）问题的提出是不是

5、所有的无限集都有相同的基数呢？康托在1973年11月29 日给戴德金的信中提出：Z十 和R之间是否存在着一个一一对应的关系711月29 日12月7 日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体 系一一超限数，以解决无限集的基数比较问题。z+=夺，2,3,4点 如 基数被称作超限数自 第 一个糊。若在一个集合与全体正整数集合之间存在一 一对应，则称这个集合是可数的。实数集是不可数的N1 。N1一实数、一直线上的点、平面上的点 及高维空间的任一部分的点的基数。实数集 俑，是不可数的。无理数集是不可数的 有理数集可数 。是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？康托悖论康 拉（1 G

6、,eorg Can阳，r:,.1845干191别 是 集 合论 之 父 他 表 明 一 个集合子靠 的集 合，比原集合包 含有更 多 的元素，对 于所有的集 合这一 结论都 正 确 吗？“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于 它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花。”一E.Kasner and J.Newman大多数集合不包含它 自身为元素，这样的集我们 称之为“普通的”。有许多集可能包含它 自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含它 自身为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们 考查“所有普通集组成的集”，称它为C。那么C本身

7、 是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于C定义 为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此 C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集 即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。罗素的理发师悖论其他一些悖论(1）芝诺悖论。二分法悖论2）阿基里斯和乌龟！：.、j币 、无限应对有限5pQ欧布 利德悖论欧布和l德是古 希腊 的哲学 家（公元前 4 世纪上他争辩说：人们 决不 可能拥有一堆 扮推 理搁下 z 一粒艺J;-自然 掏 不 成堆 段 ，如 果在 一 垃 沙 主加 上一

8、 粒 抄，它 们 也构不 成一 堆 栓 如果 在 不 是 一堆 的沙上加上 一位 抄 ，仍然掏不成 一堆 因而人们决 不 会有 一 堆妙！此 外，欧布利德还以 下 面 的 样 论 而 享誉：“我所说的话 都 是 假 的J 埃普 门B 德悖论埃普 门厄德是克利特 岛的 人 T 他 的悖论是 一句简单的黠述：“所 有 克 利特 岛 的 人都 是 挠，谎 者 ”代数悖论：(1）若 a =f)1 ，则 1;-2.证 明：自ba2:=ab。2 一 ib 2=ab1 -b 2坦三 二!2_b(a -b,)=:(a b）b)-1 4+b=ba +a =a一 2a .2=1或 1=2.t=-I的证 明：(2)

9、1-I =(-vi呼 吁1)2=习 J-=1=（二（1警s 甲 1b 2)1一（a+,b）（b)(ia-b)产(a 斗 的 -,.古拉 半幸誓 坤 盘 在 j畸悻：桂 为 理 掉 息l 扭 曲在 展 提 供了全艳 配”N画 布巴布基数理逻辑诞生数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算 变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解 析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少 数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科 学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同 时代的英国哲学家霍布斯也认

10、为推理带有计算性质，不过他并 没有系统地发展这种思想。现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出 一种“通 用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这 正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这 样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为 符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此 影响不大。真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了 逻 辑的数学分析 ，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事 物的类，1表示全类，0表示空类：xy表示x和y的共同分子所 组成的类，运算是逻辑乘法：x+y表示x

11、和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。布尔看出类的演算也可解释为命题 的演算。当x、y不是 类而是命题，则x=l表示的是命题 x为真，x=O表示命题x为假，1-x表示X的否定等等。显然布尔的演算构成一个代 数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。非数值运算的推广集合运算 语句运算康托的最大基数悖论、布拉里 福蒂悖论、罗素悖论，动摇了整个数学的基础。给数学提供一个可靠的基础：1）罗素的类型论2）策梅罗的公理集合论（ZFS系统 Z一 策梅罗F一弗兰克尔 S一斯科兰姆希尔伯特：哥德尔不完全性定理：数理逻辑的大发展：证明论：递归论：模型论；公理集合论。作业：1.查阅有关资料2.试卷改错3.二 教 不等式解法习题课的例题