(精品)1-1函数.ppt

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1、高高 等等 学学 校校“十十 一一 五五”规规 划划 教教 材材高高 等等 数数 学学 电电 子子 教教 案案南南 京京 师师 范范 大大 学学 制制 作作罗定军罗定军 叶惟寅叶惟寅 葛福生葛福生 滕利邦滕利邦 编制编制 吴吴 宁宁 杰杰 主讲主讲引言第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 定积分与不定积分第四章 定积分的应用 第五章 无穷级数目目 录录第七章 空间解析几何与向量代数第八章 多元函数微分法及其应用第九章 重积分第十章 曲线积分与曲面积分第十一章 无穷级数第十二章 微分方程目目 录录(续续)第一章 函数与极限第一节 函数的概念 第二节 极限的概念第四节 函数的连续性第三节

2、 极限的运算及两个重要极限 一些基本概念在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母通常用字母a,b,c 等表示常量等表示常量,用字母用字母x,y,t 等表示等表示变变量量.常量与变量区间(有限有限)区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.(有限有限)区间长度的定义区间长度的定义:区间两端点间的距离区间两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称称为区间的长度为区间的长度.称为称为开区间开

3、区间,称为称为闭区间闭区间,开区间、闭区间半开区间称为半开区间称为半开区间,和无限区间邻域、去心邻域二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校某校学生的集合学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号AB引例引例1.定义定义4.设 A,B 是两个非空集合,若存在一个对应规则则 f,使得有唯一确定的与之对应,称 f 为从 A 到 B 的映射映射,记作元素 y 称为 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为 y 在映射 f 下的 原像原像.f 的定义域定义域：D(f )f 的 值域值域:R(f).注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y

4、 的原像不一定唯一.引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.引例引例2,3引例引例2引例引例2例例1.海伦公式例例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,则有(满射满射)(满射满射)2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义 定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射 定义.则当由上述映射

5、链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件 不可少.定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域例例4.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义

6、有上界、有下界、无界(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无

7、理数3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初

8、等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(复习初等函数性质)非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业 P46 1(3),(5);8;10;12(13);13(3),(5);15;2.函数的定义及函数的二要素ex1.求的反函数及其定义域.复合函数并写出定义域.ex2.求且证明时且为奇函数.ex3.设其中 ex4.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.例例5.求的反函数及其定义域.解解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为且备用题备用题证明证证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设 2.设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数: