(精品)30.第三十讲：双曲线.ppt

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1、第三十讲 双曲线一、引言：（一）本节的地位：圆锥曲线是中学教学的核心内容，又是学习高等数学的基础知识，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当.（二）考试大纲要求：通过本节的学习理解双曲线的定义、掌握双曲线的标准方程，知道双曲线的有关几何性质，能利用双曲线的概念、标准方程和几何性质解决相关问题并进一步理解坐标思想.本节重点：了解双曲线的标准方程及其几何性质、进一步理解坐标法；难点是综合应用概念性质解决问题（三）考情分析：与椭圆一样，有关双曲线的题目一般会出一道大题或小题.在选择题或填空题中主要考查对概念的理解和灵活运用、基

2、本量的求解以及几何性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等.二、考点梳理1双曲线第一定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距2双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 的点的轨迹叫做双曲线定点叫双曲线焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫双曲线离

3、心率3双曲线的标准方程与几何性质：,例1 设P是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，、分别是双曲线的左、右焦点.若 ，则 （）三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念A1 或 5 B 6 C 7 D9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出 的值.解：双曲线 渐近线方程是y=由已知渐近线为 ，归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.，故选 C.（二）基本量求解例2(2009山东卷理)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5 C.D.解析：双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 消去y,得 有

4、唯一解,所以=,所以归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有惟一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.，故选D 例3（2009全国理）设双曲线 （a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B.2 C.D.解析：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 ,又 ，解得:.因此选 C.例4（2009江西）设 和 为双曲线 （）的两个焦点,若 ，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A A B B C C D D2解析：由 有 则 ,故选 B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从

5、而得出 ,体现数形结合的思想.3（三）求曲线的方程例5（2009北京）已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 .（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值.分析：（1）由已知条件列出 的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.解（1）由题意，得 ，解得 ，所求双曲线C的方程为 .（2）设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 .由 得 .（判别式 ）,点 在圆 上 ，.归纳小结：归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、本题主要考查双曲线的标准方程、中点弦等知识，考查曲线和方

6、程的关系等中点弦等知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力算能力例6 过 的直线交双曲线 于 两点，若 为弦 的中点，求直线 的方程分析：求过定点 的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是 ,利用M为弦 的中点，即可求得 的值，由此写出直线 的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解解法一：显然直线 不垂直于 轴，设其斜率是 ，则方程为 由 消去 得 设 ，由于M为弦 的中点，所以 ，所以 显然，当 时方程的判别式大于零，所以直线 的方程为 ，即 又因为 ，所以 解法二：设 ，则得 若 则 ，由 得 ，则点 都不在双曲线

7、上，与题设矛盾，所以 所以 所以直线 的方程为 ，即 经检验直线 符合题意，故所求直线为 解法三：设 ，由于 关于点M（1，1）对称，所以 的坐标为 ，则消去平方项，得 即点 的坐标满足方程，同理点 的坐标也满足方程故直线 的方程为 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题例7 已知点 为双曲线 （b为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过 作右准线的垂线,垂足为 ,连接 并延长交 轴于 .求线段 的中点P的轨迹的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等,本题注意到点是

8、线段的中点，可利用相关点法.解：由已知得 ,则直线 的方程为:,令 得 ,即 ,设 ,则 ,即 代入 得 .即点P的轨迹的方程为 .归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.例8（2006江西卷）是双曲线 的右支上一点，分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9（五）突出几何性质的考查分析：双曲线的两个焦点 与 恰好是两圆的圆心，欲使 的值最大，当且仅当 最大且 最小，由平面几何性质知，点 在线段 的延长线上，点 是线段 与圆的交点时所求的值最大，此时 所以选D.例9（2009重庆）已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 （1）求该双曲线的

9、方程；（2）如图，点 的坐标为 ，是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标.分析：（1）比较基础，利用条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为 .设 ，由准线方程为 得 ，由 得 .解得 从而 ，该双曲线的方程为 .（2）设点D的坐标为 ，则点A、D为双曲线的 焦点，所以 .因为B是圆 上的点，其圆心为 ，半径为1，故 ，从而 .当 在线段CD上时取等号，此时 的最小值为 .直线CD的方程为 ，因点M在双曲线右支上，故 .由方程组 解得 .所以M点的坐为

10、.归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.（六）开放性问题例10 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线m:,设过点A 的直线 的方向量 (1)求双曲线C的方程；(2)若过原点的直线 ，且a与l的距离为 ，求K的值；(3)证明：当 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为 .分析：前两问是基本问题，比较简单，第三问开放性问题，可根据图形的几何特征求解解:（1）设双曲线C的方程为 ,解得 ，双曲线C的方程为 （2）直线 ，直线 由题意，得 ，解得 （3）证：设过原点且平行于l的直线 则直线l与b的距离 当 时，又双曲线C的渐近线为 双曲线

11、C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 归纳小结：由双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线的方程为 ，求出参数 的值，使问题简化.本题第（3）问将几何背景进行数与形的转化，可以将复杂的问题变得直观、具体，有利于探明结论.四、本专题总结 本节课包含双曲线的定义、标准方程、双曲线的简单几何性质及应用等知识，主要研究考查概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题.主要解题策略有：运用第一定义，第二定义进行突破；利用不等式的性质求最值；用相关点法求轨迹、充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识.体现主要数学思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.应注意的问题是求最值时要注意讨论等号成立的条件，应用定义时是否符合要求，求轨迹方程时注意讨论方程所表示的点是否都在曲线上等.