(精品)第6章数值积分.ppt

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1、第六章第六章 数值积分数值积分引言引言 数数值值积积分分是是数数值值分分析析的的重重要要内内容容，也也是是函函数数插插值值的的直直接接应应用用。在在工工程程计计算算中中，由由于于许许多多函函数数的的不不定定积积分分无无法法用用简简单单函函数数解解析析地地表表达达出出来来，甚甚至至被被积积函函数数本本身身都都无无法法详详尽尽地地描描述述，而而只只能能以以简简单单的的表表格格形形式式给给出出一一些些离离散散点点上上的的函函数数值值,或或者者定定义义为为某某个个无无法法用用显显示示形形式式表表达达的的微微分分方方程程的的解解。在在上上述述这这些些情情况况下下，我我们们只只能用数值方法求函数的定积分。

2、能用数值方法求函数的定积分。例例如如，在在土土地地丈丈量量中中会会遇遇到到各各种种各各样样不不规规则则地地块块，由由于于我我们们无无法法知知道道其其边边缘缘曲曲线线满满足足何何种种函函数数关关系系，因因此计算它的面积存在一定的困难。此计算它的面积存在一定的困难。又如，求定积分又如，求定积分数数不不能能用用初初等等函函数数解解析析地地表表示示出出来来，因因此此这这些些定定积积分分都都不不能能用用Newton-Leibniz 公公式式求求出出，只只能能用用数数值值方方法法求求 其近似值其近似值。6.1 求积公式及其代数精度求积公式及其代数精度代数精度的概念 截截断断误误差差公公式式往往往往与与被被

3、积积函函数数及及其其导导数数信信息息有有关关，因因而而无无法法直直接接用用来来衡衡量量求求积积公公式式本本身身的的好好坏坏。通通常常我我们用求积公式的代数精度来说明求积公式的好坏。们用求积公式的代数精度来说明求积公式的好坏。例例1(2)求积公式的构造方法求积公式的构造方法数值积分的基本问题数值积分的基本问题 针针对对某某类类函函数数，选选择择合合适适的的求求积积结结点点和和求求积积系系数数，使使得得求求积积公公式式(6.1.1)具具有有尽尽可可能能小小的的截截断断误误差差或或尽尽可可能高的代数精度。能高的代数精度。寻寻找找被被积积函函数数 f(x)在在区区间间a,b上上的的一一个个容容易易求求

4、积积的的近近似似函函数数(如如某某个个多多项项式式)p(x)，然然后后用用p(x)在在区区间间a,b上上的的积积分分值值去去近近似似f(x)在在区区间间a,b上上的的积积分分值值。最最常常用用的的近近似似函函数数p(x)是是f(x)在在区区间间a,b上上插插值值多多项项式函数。式函数。6.2 插值型求积公式及其代数精度插值型求积公式及其代数精度方法：方法：截断误差估计截断误差估计例例2插值型求积公式的代数精度插值型求积公式的代数精度6.3 Newton-Cotes求积公式求积公式截断误差为截断误差为Cotes系数系数表6-1Newton-Cotes求积公式的代数精度求积公式的代数精度梯形公式：梯形公式：Simpson公式：公式：Simpson3/8公式：公式：Cotes公式公式例36.4 Newton-Cotes求积公式的收敛性数值稳定性求积公式的收敛性数值稳定性定理1证明梯形公式误差证明梯形公式误差证明证证Simpson公式误差证明公式误差证明1证证Simpson公式误差证明公式误差证明2