(精品)数学建模2-1.ppt

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1、基础数学模型基础数学模型第第 2 章章数学建模选讲第第2章章 基础数学模型基础数学模型 2.1 概率模型概率模型 2.2 几个简单的高等数学问题几个简单的高等数学问题 2.3 万有引力定律与三个宇宙速度万有引力定律与三个宇宙速度 2.4 规划模型规划模型 2.5 经济数学模型经济数学模型 2.6 生物种群增长的数学模型生物种群增长的数学模型2.1 2.1 概率模型概率模型 排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。例例1 要把

2、要把A、B、C三个人排成一队，有几种排三个人排成一队，有几种排法？法？一全排列一全排列排 法1ABC2ACB3BAC4BCA5CAB6CBA三人排三人排队总队总共有共有种不同的排法种不同的排法。四人排队，排头可以选定为这四人中的任四人排队，排头可以选定为这四人中的任何人。不论选定了谁站在排头，接下来的安何人。不论选定了谁站在排头，接下来的安排就变成了三人排队的问题。所以，共有排就变成了三人排队的问题。所以，共有 种不同的排法种不同的排法。人排队可以转化成人排队可以转化成 个个 人排队问题，故人排队问题，故 全排列数为全排列数为 2.1.1 排列和组合排列和组合种不同的排法，黄种不同的排法，黄组

3、组都有都有 种不同的排法与之种不同的排法与之对应对应。列前，黄组（列前，黄组（人）排在后面，有几种排法？人）排在后面，有几种排法？例例2 把把 个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（人）人）二选排列二选排列前面前面 个人（个人（红组红组）的排法共有）的排法共有 种，种，对对于于红组红组的每一的每一因此，在这样限制条件之下的排法总数为共有因此，在这样限制条件之下的排法总数为共有 实际上，如果将红组的人规定在其它的实际上，如果将红组的人规定在其它的 个位置，排法的总数个位置，排法的总数也与此相同也与此相同。像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，

4、排列计算公像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，排列计算公式为式为 排法的排法的总总数数为为 。例例3 某个部门有把某个部门有把 个成员，因工作需要准备派个成员，因工作需要准备派 人外出。试人外出。试问共有几种不同的选择。问共有几种不同的选择。三组合三组合如果将所有成如果将所有成员员排成一列，排在前排成一列，排在前 个位置的人个位置的人为为外出者，外出者，则则 由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为 这刚好是全排列

5、和选排列之商。这刚好是全排列和选排列之商。一般是认为两种结果出现的一般是认为两种结果出现的机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都是是 。有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常常需要有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常常需要对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的问题。问题。如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它落地后会是落地后会是“正面向上

6、正面向上”还是还是“反面向上反面向上”。2.1.2 古典概率古典概率如果用如果用和和分分别别代表两种不同的代表两种不同的结结果，用果，用和和代表两个代表两个结结果出果出现现的概率（可能性）。的概率（可能性）。应该应该有有，。发发生的概率就是生的概率就是发发生。生。则则事件事件个等可能性的不同个等可能性的不同结结果，其中果，其中 种情况种情况 改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是正面或者反面的概率有多大？正面或者反面的概率有多大？其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结果符合要求。

7、果符合要求。显然，共有四种可能发生的结果：显然，共有四种可能发生的结果：正正正，正，正正反，反，反反正，正，反反反。反。“正反面相同正反面相同”的概率应该是的概率应该是 .如果做某如果做某项试验项试验共有共有都会都会导导致某种事件致某种事件 这这就是古典概率的就是古典概率的计计算公式。算公式。必然会发生事件的概率认为是必然会发生事件的概率认为是1，这与人们常说，这与人们常说“百分之百分之百会如此百会如此”的习惯相一致，因为的习惯相一致，因为 例例4 某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的概率相同。试问：概率相同。试问：（1）事件

8、）事件 连续两次都是正面向上的概率是多少？连续两次都是正面向上的概率是多少？（2）事件）事件 第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？（3）事件）事件 两次投掷正反面相同的概率有多大？两次投掷正反面相同的概率有多大？（4）事件）事件 连续连续10次都是正面向上的概率是多少？次都是正面向上的概率是多少？；不可能会发生的；不可能会发生的事件称其概率为。事件称其概率为。更多事件的概率都是介于和之间的正数。更多事件的概率都是介于和之间的正数。假定小偷一次行窃得逞的可能性为假定小偷一次行窃得逞的可能性为90,他连续他连续10次作案均得逞的次作案均得逞的概率

9、是多少概率是多少?由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是54取取4的组合数的组合数 例例5 从一副共从一副共54张的扑克牌中任意抽取张的扑克牌中任意抽取4张，这四张牌都是张，这四张牌都是A的概的概率有多大？率有多大？符合要求的结果只有一个，所以发生事件符合要求的结果只有一个，所以发生事件A的概率应该是的概率应该是 大约为一亿分之六。大约为一亿分之六。这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是54取取13的组合的组合数数 例例6 从一副共从一副共52张扑克牌（四种花色各张扑克牌（四种花色各13张，

10、不包括大王和小王）张，不包括大王和小王）中任意抽取中任意抽取13张，其中有四张牌是张，其中有四张牌是A的概率有多大？的概率有多大？符合要求的结果个数为符合要求的结果个数为 例例7 据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上点，那么，赌注下在多少点上最有利？最有利？两个骰子朝上的面共有两个骰子朝上的面共有36种可能种可能

11、 骰123456123456723456783456789456789105678910116789101112 7是最容易出现的和数，它出是最容易出现的和数，它出现的概率是现的概率是 所以，卡当预言说押所以，卡当预言说押7最最好，因为出现好，因为出现7点的概率最点的概率最大。大。前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的12枚金币；梅尔赢得枚金币；梅尔赢得全部的全部的12枚金币的概率是枚金币的概率是 赢钱的期望值为赢钱的期望值为 。例例8 在在17世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出们

12、事先每人拿出6枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得12枚枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局。这时因为发生其金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局。这时因为发生其它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着12枚金币如何分配的时候枚金币如何分配的时候两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿走两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿走三分之一的金币三分之一的金币4枚，梅尔应该得余下的枚，梅尔应该得余下的8枚。但是，梅尔对此并不认枚。但是，梅尔对此并不认同，他觉得自己获胜

13、的可能性大，应该得到比同，他觉得自己获胜的可能性大，应该得到比8枚更多的金币。枚更多的金币。他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说是不谋而合，认为保罗应得是不谋而合，认为保罗应得3枚金币，梅尔应得枚金币，梅尔应得9枚金币。具体理由如下。枚金币。具体理由如下。如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜

14、），（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜），（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。名同学每个人在名同学每个人在365天中任何一天出生的机会均等，不同状况的天中任何一天出生的机会均等，不同状况的总总个数个数为为 例例9 设一个班级共有设一个班级共有 名同学。如果每个人生日在一名同学。如果每个人生日在一年年365天中每一天的可能性是均等的。这天中每一天的可能性是均等的。这 名同学的生日名同学的生日各不相同的概率是多少？各不相同的概率是多少？满足要求的基本事件个数为满足要求的基本事件个数为 事件发生的概率为事件发生的概率为35人的班级有人生日相同的概率是人的

15、班级有人生日相同的概率是 有些试验的可能结果有无限多个，一旦用不同的数来代有些试验的可能结果有无限多个，一旦用不同的数来代表每个可能的结果，就可以认为是某个所谓表每个可能的结果，就可以认为是某个所谓“随机变量随机变量”可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随机变量，概率的问题就专化成了几何问题。机变量，概率的问题就专化成了几何问题。2.1.2 几何概型几何概型 例例10 假设在假设在10000平方公里的海域内有一块面积为平方公里的海域内有一块面积为100平方公里的平方公里的大陆架蕴藏着石油。如果任选一点钻探，钻到石油的概率是多少？大陆

16、架蕴藏着石油。如果任选一点钻探，钻到石油的概率是多少？出油的概率应该等于面积之比，就是出油的概率应该等于面积之比，就是 这是一个原本就与面积相关的问题，概率值等于面积之这是一个原本就与面积相关的问题，概率值等于面积之比应该说并不奇怪。比应该说并不奇怪。例例11 有两个人相约在有两个人相约在9点钟到点钟到10点钟之间在某咖啡厅见点钟之间在某咖啡厅见面。不过不曾作更精确的时间规定，只约定先到者等候面。不过不曾作更精确的时间规定，只约定先到者等候20分钟离去。试求两人会面的概率。分钟离去。试求两人会面的概率。问题问题集中在集中在60分分钟钟的的时间间时间间隔内。隔内。设设两人到达的两人到达的时时刻分

17、刻分别为别为 ,则则两人到达两人到达时时刻刻组组成一个数成一个数组组，它，它对应对应着平面区域着平面区域60，060无论谁先到都停留无论谁先到都停留20分钟，这告诉我们只要分钟，这告诉我们只要 20，两人就能见面两人就能见面。2020，O D20206060 例例12（蒲丰投针问题）这是法国数学家蒲丰在（蒲丰投针问题）这是法国数学家蒲丰在1777年提出的一个著年提出的一个著名概率问题。平面上画着若干间距均为名概率问题。平面上画着若干间距均为 的平行线，将一枚长度为的平行线，将一枚长度为 的针任意投放在平面内，试计算针与某直线相交的概率。的针任意投放在平面内，试计算针与某直线相交的概率。O D 问题简化成下图，针的端点到问题简化成下图，针的端点到直线距离成为问题的关键。直线距离成为问题的关键。返回