(精品)高等数学第七章 无穷级数.ppt

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1、无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数(略略)第七章第七章无穷级数的概念无穷级数的概念 第一节第一节 第七章第七章 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正边形边形,这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A.设设 a0 表示表示即即内接正三角形面积内接正三角形面积,ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积,则则圆内接正圆内接正定义：定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即

2、称上式为称上式为无穷级数无穷级数，其中第其中第 n 项项叫做级数的叫做级数的通项通项,级数的前级数的前 n 项和项和称为级数的称为级数的部分和部分和.次相加次相加,简记为简记为收敛收敛,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的为级数的和和,记作记作当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值为级数的为级数的余项余项.则称无穷级数则称无穷级数发散发散.显然显然例例1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)(q 称为公比称为公比)的敛散性的敛散性.解解:1)若若从而从而因此级数收敛因此级数收敛,从而从而则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散.其和为其和为2).若若因此级数发散因此级

3、数发散;因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而综合综合 1)、2)可知可知,时时,等比级数收敛等比级数收敛;时时,等比级数发散等比级数发散.则则级数成为级数成为不存在不存在,因此级数发散因此级数发散.由定义由定义,讨论讨论级数级数敛散性的方法敛散性的方法1.先求部分和先求部分和;2.求部分和的极限求部分和的极限.利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：例如：例如：公比公比公比公比例例2.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数所以级数(1)发散发散;技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求求和和(2)所以级

4、数所以级数(2)收敛收敛,其和为其和为 1.技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求和求和 例例3.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:故原级数收敛故原级数收敛,其和为其和为作业作业 P308无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 第二节第二节 第七章第七章 性质性质1.设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为证证:令令则则这说明级数这说明级数也收敛也收敛,其和为其和为则级数则级数也收敛也收敛,其和为其和为性质性质1.设有两个收敛级数设有两个收敛级数说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则必发散必发散.但若二级数都发散但若二级数

5、都发散,不一定发散不一定发散.例如例如,(1)性质性质1 表明收敛级数可逐项相加或减，例如：表明收敛级数可逐项相加或减，例如：(用反证法可证用反证法可证)性质性质2.若级数若级数收敛于收敛于 S,则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数也收敛也收敛,证证:令令则则这说明这说明收敛收敛,其和为其和为 c S.即即其和为其和为 c S.说明说明:级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变,例如例如:数列极限性数列极限性质可转化为质可转化为级数性质级数性质性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级不会影响级数数的敛散性的敛散性.证

6、证:将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数例例1.设级数设级数 解解:所以级数所以级数的第的第n次部分和次部分和判定级数判定级数 的敛散性。若级数收敛，求它的和。的敛散性。若级数收敛，求它的和。的第的第n次部分和次部分和收敛，收敛，性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证:设收敛级数设收敛级数若按某一规律加括弧

7、若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 的一个子序列的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.因此必有因此必有例如例如，用反证法可证用反证法可证例如例如例例2.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散,从而原级数发散从而原级数发散.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数则必有则必有证证:可见可见:若级数的一般项不趋于若级数

8、的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为其一般项为不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.同类范例：同类范例：P278 例例4 注意注意:并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数虽然虽然但此级数发散但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S,则则但但矛盾矛盾!所以假设不真所以假设不真.又如又如,级数级数内容小结内容小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法作业作业 P308二、比较审敛法二、比较审敛法 三、三、比值审敛法比值审敛法 第三节第三节一、正项级数收敛的基本定理一、正项级数

9、收敛的基本定理正项级数正项级数 第七章第七章 四、四、根值审敛法根值审敛法 一、正项级数收敛的基本定理一、正项级数收敛的基本定理 若若分析特点：部分和序列分析特点：部分和序列当时当时，则称则称为为正项级数正项级数.单调递增。单调递增。有固定变化趋势。有固定变化趋势。若有上界，若有上界，若无界，若无界，定理定理 1.正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界.若若收敛收敛,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”都有都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设设且且 对一切对一切有有(1)若若强强级数级数则

10、则弱弱级数级数(2)若若弱弱级数级数则则强强级数级数证证:因为对一切因为对一切那么那么收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示分别表示弱弱级数和级数和强强级数的部分和级数的部分和,则有则有是两个是两个正项级数正项级数,二、比较审敛法二、比较审敛法(1)若若强强级级数数则有则有因此对一切因此对一切有有由定理由定理 1 可知可知,则有则有(2)若若弱弱级数级数因此因此这说明这说明强强级数级数也发散也发散.也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,弱弱级数级数 定理，结合前面的级数的二个性质，定理，结合前面的级数的二个性质，1.级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性

11、不变.2.级数前面加上或去掉级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性不会影响级数的敛散性.推论推论(比较审敛法比较审敛法)设设且存在且存在对一切对一切有有(1)若若强强级数级数则则弱弱级数级数(2)若若弱弱级数级数则则强强级数级数则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.是两个是两个正项级数正项级数,(常数常数 k 0),例例1.讨论讨论 p 级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,因为当因为当故故考虑强级数考虑强级数的部分和的部分和故强级数收

12、敛故强级数收敛,由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛.时时,2)若若调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数.若存在若存在对一切对一切证明级数证明级数发散发散.证证:因为因为而级数而级数发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散.例例2.2.同类范例：同类范例：P281 例例4 判定级数判定级数的敛散性的敛散性.解解:因为因为而级数而级数收敛收敛根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数所给级数收敛收敛.例例3.3.几何级数也几何级数也是常用的比较级数是常用的比较级数.若存在若存在对一切对一切判定级数判定级数的敛散

13、性的敛散性.解解:因为因为而级数而级数收敛。收敛。根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数所给级数收敛收敛.例例4.4.定理定理3.(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0(3)当当 l=证略：证略：设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 0,使使当当 时时,收敛收敛,故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛.也也收敛收敛,反之反之,若当若当时该幂级数发散时该幂级数发散,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点满足不等式满足不等式所以若当所以若当满足满足且使级数收敛且使级数收敛,面的证明可知

14、面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真.的的 x,原幂级数也原幂级数也发散发散.时幂级数发散时幂级数发散,则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛,与所设矛盾与所设矛盾,证毕证毕幂级数在幂级数在(,+)收敛收敛;由由Abel 定理可以看出定理可以看出,中心的区间中心的区间.用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R=0 时时,幂级数仅在幂级数仅在 x=0 收敛收敛;R=时时,幂级数在幂级数在(R,R)收敛收敛;(R,R)加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径，在在R,R 可

15、能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.外外发散发散;在在(R,R)称为称为收敛区间收敛区间.收收 敛敛发发 散散发发 散散收敛收敛 发散发散定理定理2.若若的系数满足的系数满足证证:1)若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当原级数收敛原级数收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,1)当当 0 时时,2)当当 0 时时,3)当当 时时,即即时时,则则 2)若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛,3)若若则对除则对除 x=0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 的收敛半径为的收敛半径为说明说明:据此定

16、理据此定理因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径对端点对端点 x=1,的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:对端点对端点 x=1,级数为交错级数级数为交错级数收敛收敛;级数为级数为发散发散.故收敛域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数同类范例：同类范例：P293 例例2，3 例例2.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以级数仅在 x=0 处收敛处收敛.规定规定:0!=1例例3.的收敛半径的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.时级数收敛

17、时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 故故直接由直接由同类范例同类范例P294 例例5例例4.的收敛域的收敛域.解解:令令 级数变为级数变为当当 t=2 时时,级数为级数为此级数发散此级数发散;当当 t=2 时时,级数为级数为此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为即即同类范例同类范例P294 例例4三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3.设幂级数设幂级数及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为令令则有则有:其中其中以上结论可用部分和以上结论可用部分和的极限证明的极限证明.定理定理4 若幂级数若幂级数的收敛半径的

18、收敛半径则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续,且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分,运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同:注注:逐项积分时逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.解解:由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5.则则故有故有故得故得的和函数的和函数.因此得因此得设设例例6.的收敛域与和函数的收敛域与和函数解解:又又x1 时级数发时级数发散散,由于逐项求导，不改变级数的收敛半径。由于逐项求导，不改变级数的收敛半径。易知此幂级数的收敛半径为易知此幂级数的收敛半径为 1,例例7.求级数求级数的

19、和函数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1,及及收敛收敛,因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:而而及及内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径,再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求.作业作业 P308 2.幂级数的性质幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公

20、共收敛区间内可进行加、减与乘法运算乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1.已知已知处条件收敛处条件收敛,问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少?答答:根据根据Abel 定理可知定理可知,级数在级数在收敛收敛,时发散时发散.故收敛半径为故收敛半径为2.在幂级数在幂级数中中,n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数能否确定它的收敛半径不存在能否确定它的收敛半径不存在?答答:不能不能.因为因为当当时级数收敛时级数收敛,时级数发散时级数发散,说明说明:可以证明可以证

21、明比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立第六节第六节两类问题两类问题:在收敛域内在收敛域内和函数和函数求求 和和展展 开开本节本节内容内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)公式公式 二、二、泰勒泰勒(Taylor)级数级数 泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数 第七章第七章 特点:一、泰勒公式一、泰勒公式以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x 的一次多项式1.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故令则2.余项估计余项估计令(称为余项),则有公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉

22、格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理:阶的导数,时,有其中则当公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到*可以证明:式成立特例特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式其中其中类似可得其中其中已知其中类似可得二、泰勒二、泰勒(Taylor)级级数数 为为f(x)的的泰勒级数泰勒级数.则称则称当当x

23、0=0 时时,泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数对此级数,它的收敛域是什么它的收敛域是什么？2)在收敛域上在收敛域上,和函数是否为和函数是否为 f(x)?待解决的问题待解决的问题:若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数,定理定理1.各阶导数各阶导数,则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f(x)的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令令设函数设函数 f(x)在在点点 x0 的某一邻域的某一邻域 内内具有具有定理定理2.若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则

24、这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的,且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.证证:设设 f(x)所展成的幂级数为所展成的幂级数为则则显然结论成立显然结论成立.第七节第七节某些初等函数的幂级数展开式某些初等函数的幂级数展开式 第七章第七章 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式的函数展开的函数展开由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知,第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x=0 处的值处的值;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数,并求出

25、其收敛半径并求出其收敛半径 R;第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R,R)内内是否为是否为骤如下骤如下:0.1.直接展开法直接展开法例例1.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x,其余项满足其余项满足故故(在在0与与x 之间之间)故得故得级数级数 例例2.将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:得得级数级数:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x,其余项满其余项满足足类似可推出类似可推出:也可以用逐项求导公式也可以用逐项求导公式!例例3.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数,其中其中

26、m为任意常数为任意常数.解解:易求出易求出 于是得于是得 级数级数由于由于级数在开区间级数在开区间(1,1)内收敛内收敛.因此对任意常数因此对任意常数 m,推导推导则则为避免研究余项为避免研究余项,设此级数的和函数为设此级数的和函数为称为称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关.(2)当当 m 为正整数时为正整数时,级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式,上上式式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得由此得 对应对应的二项展开式分别为的二项展开式分别为2.间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性

27、质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:因为因为把把 x 换成换成,得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数.同类范例：同类范例：P304 例例7例例5.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:从从 0 到到 x 积分积分,得得定义且连续定义且连续,区间为区间为利用此题可得利用此题可得上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛,所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛同类范例同类范例P304 例例5 例例6.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:两边逐项求导，得两边逐项求导，得 例例7.将将展成展成 x 的幂级数的幂级数.解解:同类范例同类范例P305 例例8例例8.将将展成展成解解:的幂级数的幂级数.同类范例同类范例P306 例例11-12 例例9.将将展成展成 x1 的幂级数的幂级数.解解:内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1)直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式;(2)间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式式的函数式的函数.作业 P308 当当 m=1 时时