232-233平面向量的正交分解及坐标表示(教育精品).ppt

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1、形成天才的决定因素是勤奋形成天才的决定因素是勤奋 复习、平面向量基本定理复习、平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使把把一一个个向向量量分分解解为为两两个个互互相相垂垂直直的的向向量量,叫叫做做把把向向量量 正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时若两个不共线向量互相垂直时1a12 a2F1F2G正交分解正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，

2、对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。底时，会为我们研究问题带来方便。yOxa=x i+y j把把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=(x,y)其中其中x叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫叫做做a在在y轴上的坐标轴上的坐标xiyjji分别取与分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两轴方向相同的两个单位向量个单位向量i、j作为基底作为基底.任作一个向量任作一个向量 ,由平面向量基本由平面向量基本定理知定理知,有

3、且只有一对实数有且只有一对实数x、y,使得使得i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)yOxxiyjji =(x,y)叫做向量的坐标表示向量的坐标表示和点的坐标表示一样吗？yOxajixiyj相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同xiyjb向量向量a、b有什么关系有什么关系?abb=(x,y)能说出向量能说出向量b的坐标吗的坐标吗?yxAyxOji(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点反过来，点A的坐标（的坐标（x,y)也就是也就是向量向量OA的坐标。的坐标。设设OA=xi+yj，

4、则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；的坐标；如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。向量向量 A（x，y）一一 一一 对对 应应结论：从原点出发的向量的坐标，就是其终点的坐标。例例1 1:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：解：例：如图，用基底例：如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：解：yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2-3-4-5ji1 2

5、3 4由图可知由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)若若 则则 问问 1:设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系?1AB1xyA1B1(x1,y1)(x2,y2)结结论论:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线线段段终终点点的的坐坐标标减减去去始始点的坐标。点的坐标。平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差相应坐标的和与差.结论：实数

6、与向量数量积的坐标等于用这个实数乘结论：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标原来向量的相应坐标.例例3已知三个力已知三个力=(3,4),=(2,5),=(x,y)的合力的合力+=求求的坐的坐标标。解：由解：由题设题设+=得：得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)即：即：=(5,1)例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标。的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)变变式：式：已知平面上三点的坐标分别为已

7、知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点求点D的坐标的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：解：当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2,2)当平行四当平行四边边形形为为ACDB时时，得得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=(6,0)D3课堂总结课堂总结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思的思想想作业：练习 P100 13题做书上 习题 2.3 A组 第1,3,4题