(精品)第四章 稳定性与李雅普诺.ppt

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1、1电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 线线性性定定常常系系统统的的稳稳定定性性分分析析方方法法很很多多。然然而而，对对于于非非线线性性系系统统和和线线性性时时变变系系统统，这这些些稳稳定定性性分分析析方方 法法 实实 现现 起起 来来 可可 能能 非非 常常 困困 难难，甚甚 至至 不不 可可 能能。Lyapunov稳稳定定性性分分析析是是解解决决非非线线性性系系统统稳稳定定性性问问题题的一般方法。的一般方法。一一百百多多年年以以前前(1892年年)，俄俄国国数数学学力力学学家家亚亚历历山山大大 米米哈哈依依诺诺维维奇奇李李亚亚普普诺诺夫夫(A.M

2、.Lyapunov)(1857-1918)，以以其其天天才才条条件件和和精精心心研研究究，创创造造性性地地发发表表了了其其博博士士论论文文“运运动动稳稳定定性性的的一一般般问问题题”，给给出出了了稳稳定定性性概概念念的的严严格格数数学学定定义义，并并提提出出了了解解决决稳稳定定性性问问题题的的方方法法，从从而而奠奠定定了了现现代代稳稳定定性性理理论论的的基基础。础。在这一历史性著作中，在这一历史性著作中，Lyapunov研究了平衡研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。定性。4/11/20232电气信息学院首页上页下页末页结束自动

3、控制理论电子笔 在在此此基基础础上上，LyapunovLyapunov提提出出了了两两类类解解决决稳稳定定性性问问题的方法，即题的方法，即Lyapunov第一法和第一法和Lyapunov第二法。第二法。第第一一法法通通过过求求解解微微分分方方程程的的解解来来分分析析运运动动稳稳定定性性，即即通通过过分分析析非非线线性性系系统统线线性性化化方方程程特特征征值值分分布布来来判判别原非线性系统的稳定性；别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，函数，研究它的

4、正定性及其对时间的全导数的负定或半负研究它的正定性及其对时间的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方方法就是指法就是指Lyapunov第二法。第二法。4/11/20233电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔第四章 稳定性与李雅普诺夫方法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用本章小结和作业4/11/2023

5、4电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义一、系统状态的运动及平衡状态设系统的齐次状态方程为：f：n维向量函数设其在初始条件 下，有唯一解那么，实际上描述了系统在n维空间中从初始状态 出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。平衡状态：若存在状态向量 ，对所有t，都有成立，则称 为系统的平衡状态。平衡状态不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡状态有：稳定性是相对于平衡点而言的！4/11/20235电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔二、稳定性的几个定义1、Lyapunov意义下的稳定如果系统 对任意选定的实数 ，都对应存在实数 ，

6、使当 时，从任意初态 出发的解都满足则称平衡状态 是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数 与 有关，一般也与 有关。如果 与 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。称为欧几里德范数，它的数学意义是：4/11/20236电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔4/11/20237电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔2、渐进稳定如果平衡状态 是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于 ，则称这种平衡状态 是渐进稳定的。即有：4/11/20238电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔4/11/20239电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制

7、理论电子笔3、大范围渐进稳定如果平衡状态 是渐进稳定的，且渐进稳定的最大范围是整个状态空间，则 为大范围渐进稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐进稳定 大范围渐进稳定非线性系统：一般较小，小范围渐进稳定。4、不稳定如果对于某个实数 和任一实数 ，不管 多么小，由 出发的状态轨线，至少有一条轨线越过 ，则称 为不稳定。4/11/202310电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔4/11/202311电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔李雅普诺夫意义下的稳定于经典控制理论中稳定性的对比经经典典控控制制理理论论(线性系统线性系统)不稳定不稳定(Re(

8、s)0)临界情况临界情况(Re(s)=0)稳定稳定(Re(s)0;（2）负定，则P负定，记为P0;（4）半负定，则P半负定，记为P0;3、希尔维斯特判据设实对称阵 为其各阶主子式,即矩阵P或V(X)定号性的充要条件是:4/11/202324电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔(1)若 ，则P正定；(2)若 ，则P负定；(3)若 ，则P半正定；(4)若 ，则P半负定；4/11/202325电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔二、几个稳定判据设系统的状态方程为 ，平衡状态为 ，如果存在一个标量函数V（X），它满足：（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（

9、X）是正定的（3）V（X）对时间的导数 分别满足以下条件：a，为半负定，则 是李氏意义下的稳定，此称稳定判据。b，为负定，或者虽然 为半负定，但对任意初始状态 来说，除去 外，对 ，不恒为零，则 为渐进稳定；若当 时，则 为大范围渐进稳定。c，为正定，则 是不稳定的，此为不稳定判据。4/11/202326电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔说明：（1），则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐进稳定。（2）不恒等于0，则说明轨迹在某个时刻于曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐进稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！4/11/202327电气信息学院

10、首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔【例4-3】已知非线性系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。解：原点 是其唯一平衡点取标量函数 ，显然V（X）正定；负定，原系统是渐进稳定的。又当 时，所以也是大范围渐进稳定的。4/11/202328电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔【例4-3】已知系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。解：线性系统，故 是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数故原系统不稳定。4/11/202329电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔三、对李氏函数的讨论（1）是正定的标量函数；（2）并不是对所有的系统都能找到 来证明

11、该系统稳定或者不稳定；（3）如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）最简单的形式是二次型 ；（5）只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造 需要一定的技巧。4/11/202330电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用一、线性定常连续系统渐进稳定性判据设线性定常系统为：，则平衡状态 为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：且 就是李氏函数。证明：取 为李氏函数，P为正实对称矩阵，则易知V（X）正定。欲使系统稳定，则 必须负定，即

12、 且 Q正定。4/11/202331电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔说明：（1）一般先取正定矩阵Q，带入李氏方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性；（2）通常取QI，以方便计算。（3）判据使充分必要的 A的特征值均具有负实部；（4）若 沿任一轨线不恒等于零，那么Q可取半正定，即可取 计算更简单。实际运用中，若有则可以取Q为半正定。4/11/202332电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔【例4-4】，分析其稳定性。解：方法一 取QI，设 代入李氏方程得：P是对称矩阵，即 ，展开后可解得 可知故P是正定的，原系统稳定。此时，4/11/202333电气信

13、息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔方法二判断能否取Q为半正定，即取由于故可以取 ，代入李氏方程，得：解得：4/11/202334电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔所以P正定，原系统稳定。此时李氏函数为：此题也验证了4.3节中对李氏函数的讨论之（3）：如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的。【例4-5】系统状态方程确定使系统稳定的K的取值范围。解：判别能否取Q为半正定4/11/202335电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔由故可以取Q为半正定。代入李氏方程后可解得：所以k的取值范围是：4/11/202336电气信息学院首页上页下页末页结束自

14、动控制理论电子笔4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李氏第二法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。一、雅可比（Jacobian）矩阵法又称克拉索夫斯基（krasovski）法设非线性系统：假设原点 是其平衡状态，系统的雅可比矩阵4/11/202337电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔则系统在原点附近稳定的充分条件是：任给定正定实对称矩阵P，使下列矩阵：为正定的。并且是系统的一个李氏函数。如果当 时，有则 是大范围渐进稳定的。证明：选取二次型函数为李氏函数，因为P为正定实对称，故V（X）正定。又：4/11/202338电气信息学院首页上页下页末页

15、结束自动控制理论电子笔若要 负定，则Q（X）正定。若取PI，则称为克拉索夫斯基表达式。此时推论：线性定常系统 若矩阵A非奇异，且矩阵 为负定，则系统在平衡状态 是大范围渐进稳定的。4/11/202339电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔【例4-6】系统方程：，用克拉索夫斯基法分析稳定性。解：取PI4/11/202340电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔所以Q（X）是正定的。原系统稳定。且李氏函数：当 时，有 ，故系统是大范围渐进稳定的。4/11/202341电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔二、变量梯度法变量梯度法又称为舒茨基布逊（Shultz-

16、Gibson）法，由此二人在1962年提出。变量梯度法是基于以下事实：如果能够找到一个李氏函数，证明系统是渐进稳定的，那么这个李氏函数的梯度是必定存在而且是唯一的。则V（X）对时间的导数可表示为：4/11/202342电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔基本思路：先假定 具有某种形式（系数待定）根据 负定确定待定系数由 求 判别 的正定性4/11/202343电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔步骤：（1）假设 为一带待定系数的n维向量：（2）根据 负定来确定待定系数（3）由 求 ：这是一个线积分。线积分与路径无关的条件：的旋度为0，即：4/11/202344电气信

17、息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔若满足以上旋度为0的条件，则（4）判别 的正定性说明：即使用以上方法找不到合适的 ，也不能说系统就是不稳定的。【例4-7】用变量梯度法分析以下系统的稳定性。4/11/202345电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔解：（1）假设（2）求欲使 负定，可选则4/11/202346电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔 为约束条件在此条件下有：（3）求先判断积分条件：满足积分条件。4/11/202347电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔（4）V（X）正定所以在 的范围内，平衡点 是渐进稳定的。在步骤（2）中，也可以选取其他的能使 负定的系数 ，渐进稳定的结论不会改变，但约束条件可能发生变化。具体见教材p165。4/11/202348电气信息学院首页上页下页末页结束自动控制理论电子笔本章小结和作业4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李氏意义下的稳定、渐进稳定、大范围渐进稳定、不稳定 4.2 李雅普诺夫第一法线性系统A的特征值非线性系统线性化4.3 李雅普诺夫第二法标量函数的符号性质、几个稳定判据、李氏第二法的应用4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李氏方程4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用雅可比法、变量梯度法作业：4-1,4-3,4-5,4-94/11/2023