112余弦定理（约2课时）） (2).ppt

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1、主备人：罗瑜唐强主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继审核人：牟必继1.1.2 余弦定理书山有路勤为径，书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。学海无涯苦作舟。千岛湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景问题岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）1.1.2余弦定

2、理余弦定理CBAcab探探 究究：在在ABCABC中，已知中，已知CB=CB=a,CAa,CA=b=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为C C，求边求边c.c.设设由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得CBAcab由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=BC=a,CAa,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.设设CBAcab余弦定理余弦定理由由向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则得得探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=BC=a,C

3、Aa,CA=b,=b,求求AB AB 边边 c.c.设设（向量法证明）（向量法证明）一一.余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c对余弦定理还对余弦定理还有其他证明方有其他证明方法吗法吗?C点的坐标为点的坐标为()xyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系Aa(0,0)（坐标法证明）（坐标法证明）二二.余弦定理的推论余弦定理的推论 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的三角形任何一边的平

4、方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。C CB BA Ab ba ac c推论：推论：利用余弦定理可利用余弦定理可以解决什么类型以解决什么类型的三角形问题？的三角形问题？三、利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。（1）若）若A为直角，则为直角，则a=b+c（2）若）若A为锐为锐角，角，则则ab+c由由a2=b2+c22bccosA可得可得CcBAbaCabCba由上可知，余弦定理可

5、以看作是勾股定理的推广。3.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C例例1、在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC四四.定理的应用定理的应用解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 km.例2.已知b=8,c=3,A=600求a.a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 解：a=7变式练习：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断此三角形的

6、形状.例例3：在在ABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理，解：根据余弦定理，a=b+c2bccosA=60+3426034 cos411676.82所以所以 a41(cm)由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得是锐角，利用计算器得C33B=180（A+C）=180（4133）106例例4，在在ABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确

7、到1）解：由余弦定理的推论得：解：由余弦定理的推论得：A5620;B3253C=180（A+B）180（5620 3253）9047五五.四类解三角形问题：四类解三角形问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角，求求其其他他的的边边和角。和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；两个角；（4）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。2.若若A,B,C是是ABCABC的三个内角，则的三个内角，则sinA+sinB_sinCsinA+sinB_

8、sinC.A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a1.若三角形的三个角的比是若三角形的三个角的比是1：2：3，最大的边是最大的边是20，则最小的边是，则最小的边是_.六六.课堂练习：课堂练习：4、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的形状.A AD DC CB B)30300 0)45450 05、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300，ADC=450，求AC的长。七七.回顾与小结回顾与小结:3.3.余弦定理可以解决的有关三角形的问题余弦定理可以解决的有关三角形的问题：（1 1）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。（2 2）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（3 3）判断三角形的形状）判断三角形的形状1.1.余弦定理：余弦定理：2.2.推论推论:八八.作业作业:P10 AP10 A组组3 3，4 4题题