15二次函数的应用（第1课时）.ppt

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1、课首课首第第 1 章章 二次函数二次函数1.5 二次函数的二次函数的应应用用义务教育教科书义务教育教科书 湘教版九年级数学下册湘教版九年级数学下册知识回顾知识回顾（0,1）（2,5）x yo2.请写出如图所示的抛物线的解析式：请写出如图所示的抛物线的解析式：1.求下列各二次函数的最大值或最小值：求下列各二次函数的最大值或最小值：(1)y=-x2+2x 3；(2)y=x2+4x.(1)若若-2x1，该函数的最大值，该函数的最大值是是 ，最小值是，最小值是 .(2)又若又若0 x3，该函数的最大，该函数的最大值是值是 ，最小值是，最小值是 .求二次函数的最值问题，我们求二次函数的最值问题，我们应注

2、意什么应注意什么?y=-(x 2)2+5.-11451y最大值最大值=-2.y最小值最小值=-4.注意自变量的取值范围注意自变量的取值范围.如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽，水面宽 4 m 时，拱顶离水时，拱顶离水面面 2 m，水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化？变化？动脑筋动脑筋知识探究知识探究yxO知识探究知识探究拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来解决问函数的图象，因此可以建

3、立二次函数模型来解决问题题.知识探究知识探究1.怎样确定这个二次函数的解析式？怎样确定这个二次函数的解析式？先建立直角坐标系，然后找到抛物线上几个点的先建立直角坐标系，然后找到抛物线上几个点的坐标，就可以确定这个二次函数的解析式坐标，就可以确定这个二次函数的解析式.2.怎样建立坐标系简便？怎样建立坐标系简便？以拱顶为原点，对称以拱顶为原点，对称轴为轴为 y 轴，建立坐标轴，建立坐标系，因为抛物线顶点系，因为抛物线顶点为原点，可设此二次为原点，可设此二次函数解析式为函数解析式为 y=ax2.yoxAB 如图建立直角坐标系，则顶点坐标为如图建立直角坐标系，则顶点坐标为如图建立直角坐标系，则顶点坐标

4、为如图建立直角坐标系，则顶点坐标为 (0,0)(0,0).所以，这条抛物线的所以，这条抛物线的解析式为：解析式为：.解：解：解：解：设这条抛物线表示的二次函数关系式为设这条抛物线表示的二次函数关系式为:y=ax2.由于水面宽为由于水面宽为4米时，拱顶离水米时，拱顶离水面面2米，则米，则A点坐标为点坐标为(2,-2).所以所以 -2=a22.解得解得 yoxAB(2,-2)知识探究知识探究由于拱桥的跨度为由于拱桥的跨度为4.9米时，因此米时，因此-2.45x2.45.你还有其它建立坐标系的方法吗？此时函数的解你还有其它建立坐标系的方法吗？此时函数的解析式又是怎样的？析式又是怎样的？xyOA(2,

5、0)P(0,2)想一想：想一想：当水面宽当水面宽4.6米时，拱顶离水平几米？米时，拱顶离水平几米？知识探究知识探究2.645米米y=-0.5x2+2.1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索已知悬索 桥两端主塔高桥两端主塔高 150 m，主塔之间的，主塔之间的距离为距离为 900 m，试建立适当的直角坐标系，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.练习练习900m150m150m900m 设该抛物线形桥所对应的二次函数表达式设该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为为 y=ax2.解：如图，以

6、悬索桥的中点为原点，抛物线形解：如图，以悬索桥的中点为原点，抛物线形桥的对称轴为桥的对称轴为 y 轴建立轴建立直角坐标系直角坐标系.Oxy4502 a=150 解得解得(-(-450 x 450)答：该抛物线形桥所对应的二次函数表达式答：该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为为 y=知识探究知识探究 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？议一议：议一议：实际问题实际问题建立二次函数模型建立二次函数模型利用二次函数的利用二次函数的图象和性质求解图象和性质求解实际问题的解实际问题的解 如图所示，用如图所示，用 8 m 长的铝材做成一个日长的铝材做

7、成一个日字形窗框字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积窗框的透光面积 S(m2)最大？最大面积是多少最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计假设铝材的宽度不计)解解:设窗框的宽为设窗框的宽为 x m，则高则高为为 .动脑筋动脑筋这时窗框的高为这时窗框的高为答答:当窗框的宽为当窗框的宽为 ，高为，高为 2 m 时，窗框的时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为透光面积最大，最大透光面积为当当 时，时，S最大最大=，(0 x )2.小妍想将一根小妍想将一根 72 cm长的彩带剪成两段，分别长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个围

8、成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？解：设围成的一个正方形的边长分别为解：设围成的一个正方形的边长分别为 a cm，则其另一个正方形的边长为则其另一个正方形的边长为(18-a)cm.练习练习S=(18-a)2 +a2=2a2-36a+324=2(a-9)2+162(0 x 18)当当 a=9 时，时，S最小最小=162.此时另一个正方形此时另一个正方形的边长的边长=18-9=9 cm.答答:把彩带剪成相等的两段，每段长把彩带剪成相等的两段，每段长 36 cm，这时围成的两个正方形的面积和最小，为这时围成的两个正方

9、形的面积和最小，为 162 cm2.例例 某网络玩具店引进一批进价为某网络玩具店引进一批进价为 20 元元/件的件的玩具，如果以单价玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内元销售，那么一个月内可售出可售出 180 件件.根据销售经验，提高销售单根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1 元，月销售量将相应减少元，月销售量将相应减少 10 件件.当销售单当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？利润？举举例例解解:设每件商品的销售单价上涨设每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月元，一个

10、月内获取的商品总利润为内获取的商品总利润为 y 元元.y=(30+x-10)(180-10 x)=-10 x2+80 x+1800 当当 x=4 时，时，y最大最大=1960，即销售单价为，即销售单价为 34 元时元时.答答:当销售单价定为当销售单价定为 34 元时，该店在一个月内元时，该店在一个月内能获得最大利润能获得最大利润 1960 元元.=-10(x-4)2+1960(0 x 18)1.建立适当的平面直角坐标系，并注意把已建立适当的平面直角坐标系，并注意把已知条件转换为抛物线上点的坐标，是解决这知条件转换为抛物线上点的坐标，是解决这类问题的关键；类问题的关键；课堂小结课堂小结2.运用待

11、定系数法确定二次函数的解析式，运用待定系数法确定二次函数的解析式，进而运用二次函数的性质来解答，是解决这进而运用二次函数的性质来解答，是解决这类问题的一般思路类问题的一般思路.例例1.如图，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直如图，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，恰在水面中心，OA 1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为落下，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在美观，要求设计成水流在离离OA距离为距

12、离为1米处达到距米处达到距水面最大高度为水面最大高度为 2.25米，米，如果不计其他因素，如果不计其他因素，那么那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致于水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致于落到池外？落到池外？拓展提升拓展提升 以水面所在的直线为以水面所在的直线为 x 轴，轴，柱子柱子OA所在的直线为所在的直线为 y 轴，轴，O为为原点建立直角坐标系原点建立直角坐标系.设抛物线的解析式为：设抛物线的解析式为：y=a(x h)2+k，则有，则有:解得：解得：a=-1，则则A，B两点的坐标分别为两点的坐标分别为A(0,1.25)，B(1,2.25).当当 y=0，则，则-(x 1)2+2.25=0，解得：解得：x=2.5 或或 x=-0.5(舍去舍去).解：解：1.25=a(0 1)+2.25.所以，水池半径至少需要所以，水池半径至少需要2.5米米.所以，所以，y=-(x 1)2+2.25.yoAxB(1,2.25)(0,1.25)拓展提升拓展提升