14角平分线的性质1.ppt

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1、角角平分线的平分线的性质性质已知已知:如图如图,D,D是是ABCABC的的BCBC边上边上的中点的中点,DEAC,DF,DEAC,DFAB,AB,垂足垂足分别为分别为E,F,E,F,且且DE=DF.DE=DF.求证求证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.DBCAFE 角平分线是以一个角的顶点为角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角成两个相等的角.角平分线的定义：探究探究 如图如图1-26，在，在AOB的平分线的平分线OC上任上任取一点取一点P，作，作PDOA，PEOB，垂足垂足分别为点分别为点D，E，试问，试问PD与与PE相等吗？相

2、等吗？图图1-26你能证明吗？你能证明吗？将将AOB 沿沿OC 对折，对折，我发现我发现PD与与PE 重合，重合，即即PD与与PE相相等等.图图1-26 PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO，DOP=EOP，OP=OP，PDOPEO.PD=PE.我们来证明这个结论我们来证明这个结论.图图1-26结论结论角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等.由此得到角平分线的性质由此得到角平分线的性质定理：定理：定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一

3、个点在一个角的平分线上结论：这个点到角的两边的距离相等结论：这个点到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED2用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=2 PD OA，PE OBPD=PE.提示提示:这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明两条线段相等两条线段相等的根据之一的根据之一.动脑筋动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？在这个角的平分线上吗？如图如图1-27，点，点P 在在AOB 的

4、内部，的内部，作作PDOA，PEOB，垂足分别为点垂足分别为点D，E.若若PD=PE，那么点那么点P在在AOB的的平分线上吗？平分线上吗？图图1-27在在RtPDO和和RtPEO中，中，OP=OP，PD=PE，RtPDO RtPEO.PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.如图如图1-27，过点，过点O，P作射线作射线OC.AOC=BOC.OC是是AOB的平分线，的平分线，即点即点P在在AOB的平分线的平分线OC上上.图图1-27结论结论角的角的内部到角的内部到角的两边距离相两边距离相等的点等的点在角的平分线上在角的平分线上.由此得到角平分线的性由此得到角平分线的性质定理的逆定理：质定理的逆

5、定理：用符号语言表示为用符号语言表示为:PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,且且PD=PEPD=PE点点P P在在AOBAOB的平分的平分线上线上(或或OPOP是是AOB的平分线）的平分线）温馨提温馨提示示:这这个结论又是经常用来证明个结论又是经常用来证明点在直点在直线上线上(或或直线经过直线经过某一某一点点)的根据之一的根据之一.OCBAPDE举举例例例例1 如图如图1-28，BAD=BCD=90，1=2.1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；2）求证：）求证：BD是是ABC的平分线的平分线.图图1-28证明：证明：在在ABC中，中，1=2，BA=BC.又又 BAAD

6、，BCCD，点点B在在ADC的平分线上的平分线上.图图1-28（1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；图图1-28证明：证明：在在RtBAD和和RtBCD中，中，BA=BC，BD=BD，RtBAD RtBCD.ABD=CBD.BD是是ABC的平分线的平分线.（2）求证：）求证：BD是是ABC的平分线的平分线.1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在在角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:在一个角的内部，在一个角的内部，到到一个角的两边的距离相等的点，一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。

7、在这个角平分线上。4.角平分线的角平分线的性质定理性质定理是是证明角相等、线段相等证明角相等、线段相等的新途径的新途径.角平分线的角平分线的逆定理逆定理是是证明点在直线上证明点在直线上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等总结归纳总结归纳解解 作作AOB的角平分线，交的角平分线，交MN于一点，则这点即为所于一点，则这点即为所 求作的点求作的点P.（提示：用尺规作图）（提示：用尺规作图）练习练习1.如图，在直线如图，在直线MN上求作一点上求作一点P，2.使点使点P到到AOB两边的距离相等两边的距离相等.P2.如图，在如图，在ABC 中，中，AD 平分平分BAC，DEAB于点于点E，DFAC 于点于点F，BD=CD.求证：求证：AB=AC.证明证明 点点D在在BAC的平分线上，的平分线上，DEAB，DFAC，DE=DF.AB=AC.在在RtBED和和RtCFD中，中，BD=CD，DE=DF，RtBED RtCFD.B=C.