数值分析上机指导书.doc

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1、数值分析上机指导书曾繁慧 编著理学院目录MATLAB平台简介1试验 1 MATLAB语言、非线性方程与 MATLAB应用3试验 2 线性方程组与 MATLAB应用4试验 3 插值法、函数靠近与 MATLAB应用6试验 4 数值微积分与 MATLAB应用3MATLAB 平台简介MATLAB 名字由 MATrix 和 LABoratory 两词的前三个字母组合而成。那是 20 世纪七十年月后期的事：时任美国墨西哥大学计算机科学系主任的 Cleve Moler 教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用 LINPACK 和 EISPACK 库程序的“通俗易用” 的接口，此即用FORTRAN

2、 编写的萌芽状态的 MATLAB。经几年的校际流传，在Little 的推动下，由 Little、Moler、Steve Bangert 合作，于 1984 年成立了 MathWorks 公司，并把MATLAB 正式推向市场。从这时起，MATLAB 的内核承受 C 语言编写，而且除原有的数值计算力量外，还增了数据图视功能。MATLAB 以商品形式消灭后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的牢靠性，使原先把握领域里的封闭式软件包如英国的 UMIST， 瑞典的 LUND 和 SIMNON，德国的 KEDDC纷纷淘汰，而改以 MATLAB 为平台加以重建。在时间进入 20 世纪九十年月的时候，MAT

3、LAB 已经成为国际把握界公认的标准计算软件。 到九十年月初期，在国际上 30 几个数学类科技应用软件中，MATLAB 在数值计算方面独占鳌头，而 Mathematica 和 Maple 则分居符号计算软件的前两名。Mathcad 因其供给计算、图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢送。在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动把握、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把 MATLAB 作为内容。MATLAB 是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必需把握的根本工具。在国际学术界，MATLAB 已经被确认为准确、牢靠的科学计算标准软件。在很多国际一流学术刊物上，

4、尤其是信息科学刊物，都可以看到 MATLAB 的应用。在设计争辩单位和工业部门，MATLAB 被认作进展高效争辩、开发的首选软件工具。如美国 National Instruments 公司信号测量、分析软件LabVIEW，Cadence 公司信号和通信分析设计软件 SPW 等，或者直接建筑在MATLAB 之上，或者以 MATLAB 为主要支撑。又如 HP 公司的 VXI 硬件，TM 公司的 DSP，Gage 公司的各种硬卡、仪器等都承受 MATLAB 的支持。MATLAB 的一些功能如下：MATLAB 拥有世界一流水平的数值计算函数库。MATLAB 自问世起，就抱定一个宗旨：其全部数值计算算法

5、都必需是国际公认的、最先进的、牢靠算法；其程序由世界一流专家编制，并经高度优化；而执行算法的指令形式则必需简洁、易读易用。MATLAB 正是仰赖这些高质量的数值计算函数赢得了声誉。 MATLAB 数值计算函数库的另一个特点是其内容的根底性和通用性。它正由于这一特点，而适应了诸如自动把握、信号处理、动力工程、电力系统等应用学科的需要，并进而开发出一系列应用工具包。MATLAB 的图形可视力量在全部数学软件中是首屈一指的。MATLAB 的图形系统有高层和低层两个局部组成。高层指令友善、简便；低层指令细腻、丰富、机敏。一般说来， 不管二元函数多么简单，它的三维图形，仅需 10 条左右指令，就能得到富

6、于感染力的表现。数据和函数的图形可视手段包括：线的勾画、色图使用、浓谈处理、视角选择、透视 和裁剪。MATLAB 有比较完备的图形标识指令，它们可标注：图名、轴名、解释文字和绘画图例。MATLAB 的图形用户界面(GUI)以其友好性和直观易懂性在软件编程上被广泛使用。开发一个 GUI 程序的过程主要有：布局好图形用户界面对象和给这个图形用户界面编写代码。具体的开发步骤：GUI 界面的设计和布局、GUI 的编程、菜单的设计和布局以及菜单的编程。MATLAB 的把握仿真功能 SIMULINK。这是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析集成环境。它的消灭使人们有可能考虑很多以前不得不做简化假设的非

7、线性因素、随机因素，从而大大提高了人们对非线性、随机动态系统的认知力量。MATLAB 开发了与外部进展直接数据交换的组件，打通了 MATLAB 进展实时数据分析、处理和硬件开发的道路。MATLAB的符号计算工具箱。1993 年MathWorks 公司从加拿大滑铁卢大学购得Maple 的使用权，以 Maple 为“引擎”开发了 Symbolic Math Toolbox 1.0。MathWorks 公司此举加快完毕了国际上数值计算、符号计算孰优孰劣的长期争辩，促成了两种计算的互补进展时代。MATLAB 的 Notebook 功能。MathWorks 公司瞄准应用范围最广的Word ，运用DDE

8、和 OLE，实现了 MATLAB 与 Word 的无缝连接，从而为专业科技工作者制造了融科学计算、图形可视、文字处理于一体的高水准环境。影像处理也是 MATLAB 最主要的特色与功能之一。影像是指经过摄影而获得的像。影像处理的科学定义是：使用计算机将数字影像信息进展数字化，并进一步予以分析、加强、编码、解译、分割、辨识、复原、强化、缩放、着色等及与之相关的技术。事实上MATLAB 几乎可以设计与处理全部的影像处理方面的问题。它不但可以生成各种各样的影像，而且处理起来具有更高的理论层次水平。比方对一幅影像它可以取出该影像的外缘， 而舍弃其它局部不要，它还可以对该影像进展傅立叶分析与处理把影像处理

9、在频域内进 行。数字信号的处理。MATLAB 对数字信号进展根本处理，包括进展快速傅立叶变换、求信号的功率谱和滤波等，从被处理的信号中获得我们想要的信息。MATLAB 的神经网络功能。神经网络这门学科是受了人脑这部高度智能、兴旺的“机器”的启发，而渐渐进展起来的一门前沿技术科学。神经网络的优势在于它的学习性和自动调整性，所以格外适合于处理非线性的问题。它被广泛应用于各行各业上，例如语音识别、实时语言翻译、目标的跟踪和识别、工业方面的过程把握等等。神经网络无论是工业应用还是科学争辩都是一个有力的工具，有着巨大的潜力。它的应用主要是偏重于特征的提取、过程的把握和状态的推测。试验 1 MATLAB

10、语言、非线性方程与 MATLAB 应用要求：1把握 MATLAB 语言。2理解非线性方程数值求解思想，把握常用算法的设计，把握用 MATLAB 实现的数值解法。1. 试验目的：把握 MATLAB 语言的程序设计。试验内容：对以下问题，编写 M 文件。（1） 用起泡法对 10 个数由小到大排序。马上相邻两个数比较，将小的调到前头。（2） 有一个 45 矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。（3） 编程求20n=1n! 。（4） 一球从 100 米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第 10 次落地时，共经过多少米？第 10 次反弹有多高？（5） 有一函数 f (x, y) =

11、 x2 + sin xy + 2 y ，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。2. 试验目的：把握 MATLAB 语言的图形绘制。1试验内容：对于自变量x 的取值属于0，3p ，在同一图形窗口画出如下三个图形，并给出相应的注释清楚的表示每一曲线的含义。1 y1= sin(x) cos(x) ；2 y2= 2sin( x) -cos( x) ；3 sin(x2 ) - cos(x2 ) 33. 试验目的：比较不同方法的计算量。试验内容：比较求ex + 10x - 2 = 0 的根到三位小数所需的计算量：（1） 在区间0,1内用二分法；（2） 用迭代法 xk +1= (2 - exk) /10 ，

12、取初值 x0= 0 ；（3） 用牛顿迭代法，取初值 x0= 0 。4. 试验目的：争辩不同的初值对牛顿迭代过程的影响。试验内容：用牛顿法求方程 x3 - x - 1 = 0 在区间-3,3 上误差不大于10-5 的根。分别取初值 x0= 1.5 、 x0= 0 、 x0= -1 进展计算，比较它们的迭代次数。5. 试验目的：争辩迭代法的收敛性与收敛速度。试验内容：1225 年，达芬奇争辩了方程 x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0 并得到它的一个根x* 1.368808107 。没有人知道他用什么方法得到的。分别对上述方程建立迭代法（1） x=20k = 0,1,2,L；k +1x2

13、 + 2xkk+ 1020 - 2x2 - x3（2） xk +1=kk10k = 0,1,2,L。分别争辩这两个迭代法的收敛性、收敛速度以及用斯蒂芬森加速的可能性。通过数值计算加以比较，请自行设计一种比较形象的记录方式，如利用 MATLAB 的图形功能。试验 2 线性方程组与 MATLAB 应用要求：理解线性方程组直接法与迭代法思想，把握常用算法的设计，把握用 MATLAB实现的数值解法。 1试验目的：理解矩阵的范数与条件数。试验内容：矩阵 1111-11-A = 11-1-111 1-1-11求 A， A12， A 和cond( A) 。22. 试验目的：争辩高斯消去法的数值稳定性消灭小主

14、元。试验内容：设方程组 Ax = b ，其中0.3 10-1559.143159.175.291- 6.130- 1246.781 A = ， b = 111.2952111211210- 701 82 A- 32.09999999999999=62 ， b5.90000000000001= 2 5-15-125 0102 1分别对以上两个方程组（1） 计算矩阵的条件数，推断系数矩阵是良态的还是病态的？（2） 用列主元消去法求得 L 和 U 及解向量 x , x12 R4 ；（3） 用不选主元的高斯消去法求得 L 和 U 及解向量x1, x2 R4 ；（4） 观看小主元并分析对计算结果的影响。

15、3. 试验目的：争辩线性方程组直接法的时间简单性。试验内容：分别用高斯消去法、LU 分解法、追赶法解方程组41x1 1 14Ox2 = 1OO1MM 取n = 500 ，比较所用时间。14xn 14. 试验目的：理解雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法。试验内容：设A = (aij) 是n 阶矩阵。取方程组Ax = b 的准确解 x = (1,1,L,1)T ，并且对于Li, j = 1,2, n ， aij= max(i, j)(i j) ， aii= 10i ，由此形成右端向量b 。取初始向量 x(0) = (0,0,L,0)T ，分别取n = 3,5,7 ，用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法求解

16、，并分别对e = 10-3 ，10-5 记录所需的迭代次数。分析结果并得出你的结论。5. 试验目的：理解迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。试验内容：用迭代法解方程组 Ax = b ，其中3- 1/ 2- 1/ 23- 1/ 4- 1/ 2- 1/ 4- 1/ 4- 1/ 23- 1/ 2OOOOO- 1/ 4- 1/ 23- 1/ 4- 1/ 2A =- 1/ 4 R2020- 1/ 23（1） 选取不同的初始向量 x(0) 和不同的方程组右端向量b ，给定迭代误差要求，用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否收敛？假设收敛，记录迭代次数

17、，分析计算结果并得出你的结论；（2） 取定初始向量 x(0) 和右端向量b ，将 A 的主对角线元素成倍增长假设干次，非主对角线元素不变，每次用雅可比迭代法计算。要求迭代误差满足x( k +1) - x( k ) 敛速度，分析现象并得出你的结论。 10-5 ，比较收试验 3 插值法、函数靠近与 MATLAB 应用要求：1理解插值的根本原理，把握常用算法的设计，把握用MATLAB 实现插值。（2） 理解函数靠近的根本原理，把握常用算法的设计，把握用MATLAB 实现靠近与数据的最小二乘拟合。1. 试验目的：争辩人口数据的插值与推测。试验内容：下表给出了从 1940 年到 1990 年的美国人口，

18、用插值方法推想 1930 年、1965 年、2022 年人口的近似值。美国人口数据年194019501960197019801990人口：千132,165151,326179,323203,302226,542249,6331930 年美国的人口大约是 123203 千人，你认为你得到的 1965 年和 2022 年的人口数字准确度如何？xif (x )i2. 试验目的：理解插值的根本原理。试验内容：数据如下0.20.40.60.81.00.97986520.91777100.80803480.63860930.3843735（1） 设计全区间上拉格朗日插值或者 Newton 插值程序，并在第

19、一个图中画出离散数据及插值函数曲线。（2） 在第一个图中画出分段线性插值函数，并与1作比照说明。（3） 对于自然边界条件 S“(0.2) = S“(1.0) = 0 ，在其次个图中画出离散数据及满足边界条件的三次样条插值函数。4 对于第一种边界条件S ”(0.2) = 0.20271, S ”(1.0) = 1.55741 ，在第三个图中画出离散数据及满足边界条件的三次样条插值函数。3. 试验目的：争辩高次插值的数值不稳定性。试验内容：这是 Runge 提出的有名的多项式插值问题。设函数 f (x) = 1 (1 + 25x2 ) ，在-1，1上取n + 1 个等距节点，构造n 次 Lagra

20、nge 插值多项式 Ln(x) 。Runge 提出一个问题，随着n 的增加， Ln(x) 是否收敛于 f (x) ？答案是，对一些 x 是收敛的，但对另一些不成立。（1） 在同一个图上，分别画出n = 2,4,6,8,10 的 Ln(x) 与 y = f (x) 。对 Runge 现象分析，对什么样的 x 有，当n 时 Ln(x) f (x) ？（2） 转变插值点的分布，使它们不等间距，这样做对收敛有何影响？你是否能找到一种分布，使得 Ln(x) f (x) 对-1，1区间内全部 x 都成立？4. 试验目的：一维插值的应用画图。试验内容：画你自己的手的外形，在 MATLAB 中输入figure

21、(”position”,get(0,”screensize”) axes(”position”,0 0 1 1) x,y=ginput;将你的手掌张开放在计算机屏幕上，然后使用计算机鼠标选取一系列点勾画出手的轮廓，按回车键完毕ginput过程，这样就获得了一系列你的手掌外形数据点(x, y) 。也可以这样获得数据点(x, y) ，先把手放在一张白纸上，并用笔画出它的轮廓线，然后将纸贴在计算机屏幕上，透过纸能看到平面上的鼠标，并通过ginput记录下轮廓上的点。将 x 和 y 坐标值看作是两个独立变量的函数，独立变量的取值为从 1到记录的点的数目。下面程序利用MATLAB的插值函数进展插值，并画

22、出你的手掌外形轮廓。n=length(x); s=(1:n)”;t=(1:0.05:n)”;u=interp1(s,x,t,”spline”);v=interp1(s,y,t,”spline”); clf reset, plot(x,y,”.”,u,v,”-”),%xlabel(”X”),ylabel(”Y”)5. 试验目的：一维插值的应用机床加工。x /my /m03579111213 141501.21.72.02.12.01.81.21.01.6试验内容：待加工零件的外形依据工艺要求由一组数据(x, y) 给出在平面状况下，用程控铣床加工时每一刀只能沿 x 方向和 y 方向走格外小的一步

23、，这就需要从数据得到加工所要求的步长很小的(x, y) 坐标。机翼断面的下轮廓线上的局部数据如表求出加工时 x 每转变 0.1m 时的 y 坐标，并画出相应的轮廓曲线。6. 试验目的：二维插值的应用山区地貌图。试验内容：利用 MATLAB 的 peaks 函数生成某山区的一些地点及其高度三维数据单位：m。命令格式：x,y,z=peaks(n)，生成的 n 阶矩阵 x,y,z 为测量的山区地点三维数据。依据peaks 函数生成的数据画出该山区的地貌图和等值线图。7. 试验目的：最小二乘拟合的阅历公式。xyxy试验内容：某类疾病发病率为 y 和年龄段 x (每五年为一段，例如 05 岁为第一段，

24、610 岁为其次段)之间有形如 y = aebx 的阅历关系，观测得到的数据表如下1234567890.8982.383.071.842.021.942.222.774.02101112131415161718194.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8（1） 用最小二乘法确定模型 y = aebx 中的参数a 和b 。（2） 利用 MATLAB 画出离散数据及拟合函数 y = aebx 图形。（3） 利用 MATLAB 画出离散点处的误差图，并计算相应的均方误差。（4） 谈一谈你对最小二乘拟合的理解，并举出一个应用此方法的例子。8. 试验目的：最小二乘

25、拟合的阅历公式。t(秒)w (克)试验内容：在某科研中，观看水份的渗透速度，测得时间t 与水的重量 w 的数据如下4.224.023.853.593.443.022.59t 与 w 之间的关系有阅历公式w = ctl , 试用最小二乘法用Matlab 中的函数 polyfit或非线性拟合函数 nlinfit确定c 和l 。9. 试验目的：最小二乘拟合模型。试验内容：某年美国轿车价格的调查资料如表，其中xi表示轿车的使用年数， y 表示i相应的平均价格，试分析用什么形式的曲线来拟合表中的数据，并推测使用 4.5 年后轿车的平均价格大致为多少？xi12345678910yi261519431494

26、1087765538484290226204试验 4 数值微积分与 MATLAB 应用要求：理解数值微积分思想，把握常用算法的设计，把握用 MATLAB 实现数值微积分。1. 试验目的：理解复化求积公式。x试验内容：对于定积分 I = 1dx 。0 4 + x2（1） 分别取n = 2,3,L,10 利用复化梯形公式计算，并与真值比较。再画出计算误差与n之间的曲线。（2） 取0，1上的 9 个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。1- a c2sind2q q2. 试验目的：数值积分的应用选择适当的求积函数计算定积分。试验内容：地球卫星的飞行轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式

27、是p/ 2S = a0其中，a 是椭圆的长半轴，c 是地球中心与轨道中心椭圆中心的距离。令h 为近地点距离， H 为远地点距离， R = 6371 (km)为地球半径，则a = (2R + H + h) / 2 ， c = (H - h) / 2 。我国第一颗人造地球卫星近地点距离 h = 439 (km)，远地点距离 H = 3484 (km)，试求卫星轨道的周长。3. 试验目的：数值微分的应用。试验内容： 20 世纪美国人口统计数据如下表，计算表中这些年份的人口增长率。20 世纪美国人口统计数据年份1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1

28、990人口 106 76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4dx分析：假设记时刻t 的人口为 x(t) ，则人口相对增长率为r(t) =dt , 表示每年人口增x(t)长的比例。对于表中给出的人口数据，记1900年为 k = 0,1910,1920,1990 年依次为Lk = 1,2,9 。相应地，人口记为 xk，年增长率为rk，可以利用数值微分的三点公式计算将每 10 年的增长率变为每年的增长率，x- x- 3x+ 4x - xx- 4x + 3xr= k +1k -1 , k = 1,2,L,8 ， r=012 , r= 789 。k20xk020x0920x9