数学教案－排列、组合、二项式定理基本原理.docx

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1、 数学教案排列、组合、二项式定理-基本原理 教学建议 一、学问构造 二、重点难点分析 本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是精确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是简单理解的，甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的根底，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的根底；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有很多直接应用。两个原理答复的，都是完成一件事的全部不同方法种数是多少的问题，其区分在于：运用加法原理的前提条件是， 做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件

2、事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。简洁的说，假如完成一件事情的全部方法是属于分类的问题，每次得到的是最终结果，要用加法原理；假如完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次：第一是对两个计数原理的熟悉与理解这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区分知道什么状况下使用加法计数原理，什么状况下使用乘法计数原理（建议利用一课时）其次是对两个计数原理的使用可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：用0，1，2，9可以组成多少个8位号

3、码；用0，1，2，9可以组成多少个8位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等第三是使学生把握两个计数原理的综合应用，这个过程应当贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种表达教师要引导学生仔细地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个根本计数原理 教学设计例如 加法原理和乘法原理 教学目标 正确

4、理解和把握加法原理和乘法原理，并能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题，从而进展学生的思维力量，培育学生分析问题和解决问题的力量 教学重点和难点 重点：加法原理和乘法原理 难点：加法原理和乘法原理的精确应用 教学用具 投影仪 教学过程（）设计 （一）引入新课 从本节课开头，我们将要学习中学代数内容中一个独特的局部排列、组合、二项式定理它们讨论对象独特，讨论问题的方法不同一般虽然份量不多，但是与旧学问的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的根底，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它 今日我们先学习两个根本原理 （二）讲授新课

5、 1介绍两个根本原理 先考虑下面的问题： 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 由于一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法 这个问题可以总结为下面的一个根本原理（打出片子加法原理）： 加法原理：做一件事，完成它可以有几类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在其次类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法那么

6、，完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法 请大家再来考虑下面的问题（打出片子问题2）： 问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下列图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有32=6种不同的走法 一般地，有如下根本原理（找出片子乘法原理）： 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做其次步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法 2浅释

7、两个根本原理 两个根本原理的用途是计算做一件事完成它的全部不同的方法种数 比拟两个根本原理，想一想，它们有什么区分？ 两个根本原理的区分在于：一个与分类有关，一个与分步有关 看下面的分析是否正确（打出片子题1，题2）： 题1：找110这10个数中的全部合数第一类方法是找含因数2的合数，共有4个；其次类方法是找含因数3的合数，共有2个；第三类方法是找含因数5的合数，共有1个 110中一共有N=421=7个合数 题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？

8、 第一步从A村到B村有3种走法，其次步从B村到C村有2种走法，共有N=32=6种不同走法 题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5题中的分析是错误的 从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法 （此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个根本原理的留意事项，这样安排，不但可以使学生对两个根本原理的理解更深刻，而且还可以培育学生的学习力量） 进展分类时，要求各类方法彼此之间是相互排斥的，不管哪一类方法中的哪一种方法，都能单独完成这件事只有满意这个条件，才能直接用加法原

9、理，否则不行以 假如完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不行缺少，需要依次完成全部步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理 也就是说：类类互斥，步步独立 （在学生对问题的分析不是很清晰时，教师准时地归纳小结，能使学生在应用两个根本原理时，思路进一步清楚和明确，不再简洁地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法从而深入理解两个根本原理中分类、分步的真正含义和实质） （三）应用举例 现在我们已经有了两个根本原理，我们可以用它们来解决一些简洁问题了 例1 书架上放有3

10、本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ （让学生思索，要求依据两个根本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡察指导，并适时口述解法） （1）从书架上任取一本书，可以有3类方法：第一类方法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；其次类方法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类方法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法依据加法原理，得到的取法种数是 Nm1m2m335614故从书架上任

11、取一本书的不同取法有14种 （2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；其次步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法依据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法 （3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类方法：第一类方法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有35种方法；其次类方法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有36种方法；第三类方法是语文书、英语书各取1本，有56种方法一共得到不同的取法种数是N=353656=63即

12、，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种 例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？ 解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从14这4个数字中任选一个数字，有4种选法；其次步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法依据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100 答：可以组成100个三位整数 教师的连续发问、启发、引导，帮忙学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题力量有所提高教师在其次个例题中给出板书示范，能帮忙学生进一步加深对两个根本原理实质的理解，周密的

13、考虑，精确的表达、标准的书写，对于学生周密思索、精确表达、标准书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个根本原理解排列、组合综合题打下根底. （四）归纳小结 归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理： 分类时用加法原理，分步时用乘法原理 应用两个根本原理时需要留意分类时要求各类方法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的 （五）课堂练习 P222：练习14 （对于题4，教师有必要对三个多项式乘积绽开后各项的构成给以提示） （六）布置作业 P222：练习5，6，7 补充题： 1在全部的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？ （提示：按十位上数字的大小可以分为9类，

14、共有98721=45个个位数字小于十位数字的两位数） 2某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数 （提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式） 3在全部的三位数中，有且只有两个数字一样的三位数共有多少个？ （提示：可以用下面方法来求解：（1），（2），（3），（1），（2），（3）类中每类都是99种，共有99+99+99=399=243个只有两个数字一样的三位数） 4某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？ （提示：由于85=1310，所以10人中必有3人既会英语又会日语 （1）N=523；（2）N=525323）