九年级数学上册22二次函数教案(新版)新人教版.pdf

《九年级数学上册22二次函数教案(新版)新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册22二次函数教案(新版)新人教版.pdf（115页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品教案可编辑第二十二章二次函数1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2.会用描点法画抛物线,通过图象理解二次函数的性质.3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.4.会用待定系数法求二次函数的解析式.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.6.掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题.1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探

2、究能力及归纳总结能力.2.通过二次函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.3.运用二次函数的知识解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等思想方法,养成既能自主探索

3、又能合作探究的良好学习习惯.3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得运用数学解决实际问题的经验,感受数学模型、数学思想在实际问题中的应用价值.二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了正比例函数、一次函数之后,又学习了二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间的关系的重要数学模型,二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一,如喷泉水流、抛掷的铅球划过的轨迹等,同时,二次函数的相关性质也是解决有关问题的理论基础,它常与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,它综合了初中所学的函数知识,它

4、在中学数学中起着承上启下的作用.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥着重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题的能力.本章从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对二次函数的图象和性质的理解和掌握,二次函数的图象和性质是从函数y=ax2出发逐步深入探究的,在探究过程中体现了从特殊到一般、类比、数形结合思想,其中类比思想多精品教案可编辑处体现,如类比一次函数研究二次函数,而数形结合思想贯穿探究二次函数的图象和性质的始终.对于某些实际问题,力图加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.【

5、重点】1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的解析式.2.会用描点法画二次函数图象,并从图象中了解二次函数的性质.3.会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.5.能运用二次函数知识解决实际问题.【难点】1.能够正确运用二次函数的图象及性质解决实际问题.2.理解二次函数与一元二次方程的关系.1.注意对实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.在教学中要创设丰富的实际问题的情境,使学生理解二次函数的意义,并能够用二次函数的知识解决实际问题.2.鼓励学生采用多种方法了解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是二次

6、函数的教学难点,所以可以让学生将自己的想法表达出来,互相学习和借鉴.3.注重知识之间的联系,帮助学生建立二次函数与其他学过的函数之间的联系.22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数(1 课时)22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(1 课时)22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2 课时)22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2 课时)6 课时22.2 二次函数与一元二次方程1 课时22.3 实际问题与二次函数2 课时22.1二次函数的图象和性质1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2.会用描点法画抛物线,

7、通过图象了解二次函数的性质.精品教案可编辑3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.4.会用待定系数法求二次函数的解析式.1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应

8、用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.【重点】1.二次函数图象及其性质.2.运用二次函数的知识解决实际问题.【难点】不同形式的二次函数图象之间的位置关系.22.1.1二次函数1.理解并掌握二次函数的定义.2.能判断一个给定的函数是否为二次函数.3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.2.使学生体验如何用数学的方法去描述变量

9、之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.3.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识.精品教案可编辑【重点】1.理解并掌握二次函数的定义.2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.【难点】用二次函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件(13)【学生准备】预习教材 P2829.导入一:出示喷泉图片:图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线

10、,这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?这些都将在新的一章中学习.导入二:请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么数量关系?学生思考回答:y=6x2.【问题】y是x的函数吗?这个函数是不是我们以前学过的函数?【师生活动】复习函数、正比例函数、一次函数的概念.导入三:当你走在大街上时,会发现有好多车在奔跑,但你是否想到小汽车的行驶是要限速的?假设小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s=v2,一辆汽车的速度为100 km/h.在前方 80 m 处停放着一辆故障车,你能判断此时是否有危

11、险吗?设计意图 通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.精品教案可编辑过渡语 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解其定义的基础上,研究其图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数二次函数.一、感知二次函数问题 1【课件 1】(教材问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?思路一教师引导学生思考并回答下列问题.n个球队中,每个队要与

12、其他个球队各比赛一场,全部比赛共有场.分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的数学模型.解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式?【师生活动】小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充.解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n

13、(n-1),即m=n2-n.问题 2【课件 2】(教材问题2)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?思路一教师引导学生思考并回答下列问题.这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是t,再经过一年后的产量是t.分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的模型.解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即y=20(1+x)2.思路

14、二小组活动,共同交流,思考下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)根据等量关系你能写出函数解析式吗?【师生活动】学生通过交流讨论列出函数解析式,教师在巡视过程中及时解决疑难问题.解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即y=20(1+x)2.精品教案可编辑设计意图 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.二、二次函数的概念观察教师板书上的三个函数关系式:(1)y=6x2;(2

15、)m=n2-n;(3)y=20(1+x)2.【思考】(1)这三个函数是我们学过的函数吗?(2)这些函数的自变量x的最高次数是多少?(3)你能说出它们的共同特征吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结.【课件 3】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a 0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【思考】(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系?(2)二次项系数a能不能为 0?b,c能不能为 0?为什么?(3)如何判断一个函

16、数是不是二次函数?(4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系?【师生活动】学生独立思考回答问题,教师和学生共同归纳二次函数的特征:函数关系式必须是整式.自变量的最高次数是2.二次项系数不为0.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)中,当a 0 时,y=ax2+bx+c是二次函数;当a=0时,y=bx+c,若b0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.设计意图 学生观察讨论,通过老师设计的问题串类比已学函数,抽象出二次函数的特征,归纳总结出二次函数的一般形式,学生经历了探索二次函数概念的形成过程,从而达到真正理解二次函数的概念的目的,同时培养学生归纳总结能力.过渡语 我们

17、通过实例归纳总结出了二次函数的概念,试试能不能解决下列问题.观察下列式子:y=6x2;y=-3x2+5;y=200 x2+400 x+200;y=x3-2x;y=x2-+3;y=(x+1)2-x2.其中二次函数有.(只填序号)解析根据二次函数的概念可得符合二次函数的概念;中自变量的最高次数是 3,中函数右边不是整式形式,中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念.故填.若y=(m+1)是二次函数,则m的值为.解析二次函数的自变量x的最高次数是2,m2-6m-5=2,解得m=7 或m=-1.由二次项系数不为0,得m+1 0,m=7.故填 7.精品教案可编辑在如图所示的一张长、宽分别为50 c

18、m 和 30 cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为x cm,长方体铁皮箱的底面积为y cm2.(1)求y与x之间的关系式;(2)写出自变量x的取值范围;(3)当x=5 时,长方体铁皮箱的底面积是多少?解:(1)由题意得长方体的底面的长为(50-2x)cm,宽为(30-2x)cm,题目中的等量关系为长方体的底面积=长宽,所以可得函数解析式为y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160 x+1500.(2)根据实际意义,小正方形的边长为正数,且两个小正方形的边长和不能大于矩形的宽,所以 2x30,即x0,所以自变量x的取

19、值范围是0 x0.22.1.1二次函数一、感知二次函数问题 1问题 2二、二次函数的概念一、教材作业【必做题】教材第 29 页练习的1,2 题.【选做题】教材第 41 页习题 22.1 的 1 题.二、课后作业【基础巩固】1.下列不属于二次函数的是()A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=1-x2D.y=2(x+3)2-2x22.若y=mx2+nx-p(m,n,p是常数)为二次函数,则()A.m,n,p均不为 0 B.m 0,且n0C.m 0 D.m0,且p 03.已知二次函数y=3(x-2)2+1,当x=3 时,y的值是()A.4 B.-4 C.3 D.-34.若二次函数y

20、=4x2+1 的函数值为5,则对应的自变量x的值为()A.1 B.-1 C.1 D.5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.精品教案可编辑6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6 是关于x的二次函数,那么a的取值范围是.7.菱形的两条对角线的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为.8.若函数y=(m+1)-2x+3 是关于x的二次函数,试确定m的值或其取值范围.9.写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S与棱长a之间的函数关系;(2)圆的面积y与它的周长x之间的函数关系;(3)某产品年产量

21、为30 台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,两年后该产品的产量y(台)与x之间的函数关系.【能力提升】10.下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的模型的是()A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间之间的关系B.我国现年人口自然增长率为1%,我国总人口数随年份变化的关系C.一个矩形的周长一定时,矩形面积和矩形一边长之间的关系D.圆的周长与其对应的半径之间的关系11.某商场以每件30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品的日销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(

22、元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?【拓展探究】12.如图所示,用同样规格的正方形白色和黑色瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答问题.(1)在第n个图形中,每一横行有块瓷砖,每一竖列有块瓷砖,黑色瓷砖共有块;(均用含n的代数式表示)(2)在(1)的条件下,设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与n之间的函数关系式;(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖,求n的值.【答案与解析】1.D(解析:化简后 D 中不含有自变量x的二次项,所以 D 选项不属于二次函数.故选 D.)2.C(解析:根据二次函数的概念,即形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a 0)的

23、函数是二次函数,所以只要满足二次项系数不为0 即可.故选 C.)3.A(解析:把x=3 代入函数解析式,可得y=4.故选 A.)4.C(解析:把y=5 代入函数解析式,得 4x2+1=5,解得x=1.故选 C.)5.2-20(解析:将原式整理得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)6.a1(解析:二次函数中二次项系数不为0,所以a-10,即a 1.故填a 1.)7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线长为(26-x)cm,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.故填S=-x2+13x.)精品教案可编辑8.解:函数y=(m+1)

24、-2x+3 是关于x的二次函数,m2+1=2,且m+1 0,解得m=1.9.解:(1)S=6a2,是二次函数.(2)y=,是二次函数.(3)y=30(1+x%)2,是二次函数.10.C(解析:设一个矩形的周长为a,矩形的一边长为x,则另一边长为-x,则矩形的面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选 C.)11.解:由题意可知该商品每件的利润为(x-30)元,则y=(162-3x)(x-30),即y=-3x2+252x-4860,所以y是x的二次函数.12.解:(1)由图形规律可以得出:每一横行有(n+3)块瓷砖,每一竖列有(n+2)块瓷砖,黑色瓷砖数=(n+3)(n+2)-n(n+1)=4n+

25、6.故答案为:(n+3),(n+2),(4n+6).(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6.(3)由题意得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,n的值为 20.本节课由实际问题导入新知识,呈现了“问题情境建立数学模型归纳总结知识拓展”的过程,在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作中获取知识,把要探究的知识设计成问题形式,降低了难度,让学生体验成功的快乐,激发学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人交流,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生

26、应用数学的意识.由于这节课内容较少,在学习了一次函数和一元二次方程后,学习这节课应该是很简单的,所以误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时对于概念的形成过程有点过于急躁,造成学生对概念的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏学习数学知识的严谨性,所以在课堂上要重视探究知识的过程.二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为二次函数问题加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和构建,在对二次函数的概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义.练习(教材第 29 页)1.解:S=2rr+2 r

27、2=4r2.2.解:y=(30+x)(20+x)=x2+50 x+600.精品教案可编辑1.本节课主要学习二次函数的概念,通过具体实例中变量之间关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成对二次函数的初步认识,本节课的重点是强调具体问题的分析、抽象,渗透数学建模思想.教师引导学生分析问题,并用关系式表示这一关系的过程,引出二次函数的概念,获得二次函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,学生通过主动探索,获取知识,丰富数学活动的经验,逐步达到学会学习的目的.2.对于九年级的学生来说,之前已经学过常量与变量、一次函数和正比例函数,对于函数是刻画

28、变量之间关系的数学模型也有了一定的认识,所以在此基础上可以用类比的方法继续深入学习二次函数.而且学生的逻辑思维、概括归纳能力也有了一定的提高,本节课根据教材实例引导学生自主探究,分析题意,得到相应的函数关系式,分析所得到的三个关系式的共同特征,由学生概括归纳,得到二次函数的概念和一般式,这样很自然地就突破了本节课的难点.学生通过经历知识的形成过程培养了分析问题和解决问题的能力,提高了数学的应用意识.已知函数y=(a2-4)x2+(a+2)x+3.(1)当a为何值时,该函数是二次函数?(2)当a为何值时,该函数是一次函数?解析由二次函数的定义知a2-4 0,据此可以求得a的值;由一次函数的定义知

29、a2-4=0,且a+2 0,据此可以求得a的值.解:(1)该函数是二次函数,二次项系数不为0,即a2-40,解得a2,当a2 时,该函数是二次函数.(2)该函数是一次函数,a2-4=0,且a+2 0,解得a=2,且a-2,a=2.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质1.能用描点法画出二次函数y=ax2的图象.2.能根据对二次函数y=ax2的图象的理解,掌握二次函数y=ax2的性质.3.初步建立二次函数表达式与其图象之间的关系.1.经历探索和发现二次函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.2.通过二次函数的图象探究其性质,进一步体会数形结合思想的应用.精品教案可编辑1.经历观

30、察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习活动中,体会数学和实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学生学习数学的乐趣.【重点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质.【难点】探究二次函数y=ax2的图象特点和性质的过程.【教师准备】教材图 22.1 3,图 22.1 4,图 22.1 5.【学生准备】复习二次函数的概念.导入一:图中的拱桥是什么曲线?这条曲线有什么特点?通过对本节课的学习,相信大家一定会回答这个问题.导入二:复习提问:1.正比例函数、一次函数的图象分别是什么?(一条直线.)2.画函数图象

31、的基本步骤是什么?(列表、描点、连线.)3.一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.)4.我们能否类比研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么?(可以用研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象.)导入三:如图所示,一名篮球运动员手中的球在离篮筐中心水平距离4 m 处投篮,当球运行的水平距离为 2.5 m 时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内,已知篮筐距离地面的高度为 3.05 m.精品教案可编辑通过阅读上述材料,你能说出投篮时球在空中所经过的路线是什么形状吗?通过对本节课的

32、学习,相信你一定能够解答这个问题.设计意图 以生活实例导入新课,让学生感受数学与生活息息相关,同时激发学生学习本节课的兴趣.通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做铺垫,复习研究一次函数的性质的方法,让学生用类比的方法构建出新知识,降低本节课的学习难度.过渡语 这节课我们就从最简单的二次函数y=ax2入手,通过它的图象来研究其性质.一、共同探究1二次函数y=x2的图象及性质1.画二次函数y=x2的图象(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表.x-3-2-1 0123 y 9410149【思考】自变量x的取值范围是什么?要画二次函数y=ax2的图象,你认为x取整数好还是取其他数较好?若

33、选 7 个点画图,你准备怎样选?设计意图 通过上述3 个问题可以使学生想到为什么要先取书上给出的这7 个点,还可以使学生初步学会画二次函数图象时选点的技巧.(2)描点:画坐标系时,应注意什么?如何描点?(3)连线:这 7 个点是不是在同一条直线上?我们应怎样连接这7 个点?设计意图 通过动手操作,让学生自己经历画二次函数y=x2的图象的过程,进一步了解用描点法画图象的基本步骤,为将来画其他函数的图象奠定了基础,同时也培养了学生动手操作能力,经历了知识的形成过程.2.观察思考(1)如图所示,你能描述出该函数图象的形状吗?(2)该函数图象与x轴有公共点吗?如果有公共点,那么公共点的坐标是什么?(3

34、)该函数图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(4)当x0 时呢?精品教案可编辑(5)当x取什么值时,y值最小?最小值是什么?你是如何知道的?设计意图 将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向、有目的讨论,降低学习新知识的难度,通过学生之间的合作交流,体会数形结合思想的应用,从而提高分析问题的能力.【师生活动】先由学生独立思考,再小组交流,教师提示学生可以通过做表格和画图象两个方面思考解决问题,交流中教师及时解决疑难问题.【共同总结】像这样的曲线通常叫做抛物线;抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,二次函数y=x2的图象与y轴的交点,即抛物线的顶点,顶点坐标为(0

35、,0);该函数图象是轴对称图形,对称轴是y轴;函数y=x2的图象中,当x0时,y随着x的增大而增大;当x=0 时,y有最小值,最小值是0.二、共同探究2二次函数y=ax2的图象及性质1.在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象,并考虑这些图象的相同点和不同点.(根据画函数图象的三步骤,即列表、描点、连线画出函数图象,观察图象可得其异同点.)解:列表如下:x-3-2-10123y=x29410149y=x2202y=2x2 188202818描点、连线,得到三个函数图象如图所示:相同点:三个函数的图象都是抛物线;三条抛物线的顶点相同,其坐标都为(0,0);三条抛物

36、线的对称轴相同,都为y轴;三条抛物线的开口方向相同,它们的开口方向都向上.不同点:三条抛物线的开口大小不同.2.探究:在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.(老师给出图象后,让学生根据三个函数的图象进行类比分析.)精品教案可编辑设计意图 学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数的性质的应用,培养学生归纳总结能力,训练学生理性思维.归纳二次函数y=ax2的图象及其性质.图象:二次函数y=ax2的图象是一条抛物线.性质:(1)开口方向:a0 时,抛物线的开口向上,a0,当x=0 时,y有最小值,为 0,a

37、0 时,在对称轴的左侧(x0),y随x的增大而增大,当a0 时,在对称轴的左侧(x0),y随x的增大而减小;(6)当|a|越大时,抛物线的开口越小,当|a|越小时,抛物线的开口越大.知识拓展 1.画函数图象时,一般来说选点越多,图象越精确,但也要具体问题具体分析.2.抛物线是向两个方向无限延伸的.3.由于二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a 0,如抛物线y=(m-1)x2中,满足m1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它的性质可以从开口方向、顶点、对称轴、最大或最小值、增减性、开口大小等方面进行分类总结.1.抛物线y

38、=2x2,y=-2x2,y=x2的相同点是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大解析:抛物线y=2x2,y=x2开口向上,对称轴是y轴,有最低点,x0 时,y随x的增大而增大;抛物线y=-2x2开口向下,对称轴是y轴,有最高点,x0 时,y随x的增大而增大.所以这三条抛物线的相同点是对称轴是y轴.故选 B.2.二次函数y=x2的图象的顶点坐标是,对称轴是,开口向,当x=时,y有最值,为.解析:根据二次函数y=ax2的性质可得二次函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向上,当x=0 时,y有最小值,为 0.答案:(0,0)y轴上0小0精品教案可

39、编辑3.函数y=-6x2的图象的顶点坐标是,对称轴是,开口向,当x=时,y有最值,为.解析:根据二次函数y=ax2的性质可得二次函数y=-6x2的图象的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下,当x=0 时,y有最大值,为 0.答案:(0,0)y轴下0大04.二次函数y=(m-3)x2的图象开口向下,则m的取值范围为.解析:当a0 时,抛物线y=ax2的开口向下,所以m-30,即m3.故填m0 时,y随x的增大而增大C.抛物线y=2x2,y=-x2,y=-x2中,抛物线y=2x2的开口最小,抛物线y=-x2的开口最大D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点3.二次函数y

40、=-x2,对于一切实数x,总有y 0;当x=时,y有最值,为.4.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为.5.一般地,二次函数y=ax2(a0)的图象是一条,对称轴是,它的顶点坐标是.当a0 时,抛物线开口向,当a0 时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是下列选项中的()9.已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.(1)求m的值;(2)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最低点?(3)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最高点?10.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).(1)求此抛物线的解析式;精品教案可编辑(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;(3)求出抛

41、物线上纵坐标为-6 的点的坐标.【拓展探究】11.抛物线y=ax2与直线y=2x-3 交于点A(1,b).(1)求a,b的值;(2)求抛物线y=ax2与直线y=-2 的两个交点B,C的坐标(点B在点C右侧);(3)在(1)(2)的条件下,求OBC的面积.【答案与解析】1.C(解析:二次函数y=x2中,y的值为非负数,所以 A 错误;当x0 时,y随x的增大而增大,当x-1(解析:观察函数图象可知抛物线的开口向上,所以k+10,即k-1.故填k-1.)5.抛物线y轴(0,0)上下小大6.y1y2y3(解析:分别把x=-1,-2,3 代入函数解析式,求出对应的函数值y1=-,y2=-2,y3=-,

42、所以y1y2y3.)7.解:图象略.(1)根据二次函数的图象和性质可知抛物线y=2x2的开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0);抛物线y=-x2的开口方向向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).(2)抛物线y=2x2中,当x 0 时,抛物线上的点都在x轴的上方,它的顶点是抛物线上的最低点.8.D(解析:因为ab0,所以a,b同号,根据一次函数的图象和性质可知A,B 错误,C 中,两函数中a的符号不同,所以 C 错误.故选 D.)9.解:(1)由二次函数的概念可知m2+2m-6=2,且m+2 0,解得m=2 或m=-4.(2)当m=2时,抛物线的开口向上,函数有最小值,此函数图象的顶

43、点为最低点.(3)当m=-4 时,抛物线的开口向下,函数有最大值,此函数图象的顶点为最高点.10.解:(1)抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),4a=-8,解得a=-2,此抛物线的解析式为y=-2x2.(2)当x=-1 时,y=-2,点(-1,-4)不在此抛物线上.(3)把y=-6 代入y=-2x2中,得-2x2=-6,解得x=,抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标为(,-6),(-,-6).精品教案可编辑11.解:(1)点A是抛物线y=ax2与直线y=2x-3 的交点,把点A(1,b)代入y=2x-3 中,得b=-1,点A的坐标为(1,-1),把点A(1,-1)代入y=ax2中,得a=-1,

44、a=-1,b=-1.(2)由(1)知y=-x2,把y=-2 代入y=-x2中,得x2=2,解得x=,点B,C的坐标分别为(,-2)(-,-2).(3)由(2)可知BC=2,OBC边BC上的高为2,SOBC=22=2.本节课主要在学生的动手操作、合作交流、共同归纳的过程中完成.首先复习用描点法画函数图象的方法,然后让学生自己经历画二次函数图象,从“形”上直观地观察其性质.通过所画的几个二次函数图象,归纳总结出y=ax2的图象和性质.学生在经历知识的形成过程中,体会类比、数形结合、分类讨论思想的应用,实现学生自己动手、主动探索、合作交流学习方式的转变,从而提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力

45、.本节课的重点是学生经历画二次函数图象的过程,归纳总结出二次函数y=ax2的性质.观察函数图象讨论其性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图象和图象之间的比较,表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解.在本节课中,还是没有大胆放手让学生更加自主地学习.本节课学生通过经历自己画二次函数y=x2的图象的过程,进一步了解用描点法画图象的基本步骤,为将来画其他函数的图象奠定了基础,同时也培养了学生动手操作能力.学生通过观察、分析、总结出二次函数y=ax2的性质,使学生经历从特殊到一般的探究过程,体会知识的形成过程,逐步达到

46、培养学生抽象概括能力和激发学生求知欲望的目的,同时体会类比、数形结合及分类讨论思想的应用.练习(教材第 32 页)解:(1)(3)抛物线的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).(2)(4)抛物线的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).1.y=ax2是二次函数中最简单的函数关系式,以这个函数为基础去探索二次函数一般式的性质,为后一节做了准备,中考中常以选择题、填空题为主.本节课的重点是让学生进一步熟悉描点法画函数图象的过程,然后借助函数的图象分析函数的性质,体会数形结合思想的应用.在设计上使学生经历从特殊到一般的探究过程,体验知识的形成过程,逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生

47、求知欲望的目的,让学生在轻松愉悦中突破难点,强化重点.精品教案可编辑2.本节课在教学设计上要注重提高学生的动手、动脑能力,让学生自己尝试画出函数图象,逐步完善描点法画函数图象的步骤,为探究二次函数y=ax2的性质做铺垫,然后引导学生观察图象,通过小组合作交流,共同探究出函数的性质,突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识,最大限度地实现学生的主体地位,使数学教学成为一种“过程”教学.已知一个正方形的周长为C cm,面积为S cm2.(1)求S与C之间的函数关系式;(2)画出所求函数的图象;(3)求当S=4 时该正方形的周长;(4)求S时,C的取值范围.解析(1)由该正

48、方形的周长求出其边长,然后求出其面积的表达式;(2)根据函数解析式画出图象;(3)当S=4 时,求出该正方形的边长,从而得解;(4)令S,即可求出C的取值范围.解:(1)S=C2.(2)如图所示.(3)当S=4 时,由S=C2,得 4=C2,解得C=8 或C=-8(舍去),C=8,该正方形的周长为 8 cm.(4)观察该函数图象可得当S时,C3.22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质精品教案可编辑1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象,并能说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.理解抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的位置关系.3.灵活运用二次函数的图

49、象及其性质解决有关问题.1.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2.经历探究y=a(x-h)2+k的图象的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,提高学生的归纳总结能力.1.经历观察、推理、交流等过程,体验数学活动中的探索性和创造性.2.通过动手画图,观察不同函数图象的区别与联系,提高学生分析问题的能力,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的位置关系.【难点】不同函数图象的区别与联系.第课时1.会用描点法画出二次函数

50、y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象,并能说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2.理解二次函数y=ax2+k,y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系.3.了解二次函数的解析式与其图象之间的关系.1.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2.经历探究y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的探究过程,提高学生的归纳总结能力.1.经历观察、推理、交流等过程,体验数学活动中的探索性和创造性.2.通过动手画图,观察不同函数图象之间的区别与联系,培养学生学习数学的兴趣.精品