2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)(20200816104626).pdf
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1、第1页(共 28页)2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)一、选择题:1.(2015 北京理)设na是等差数列.下列结论中正确的是()A若120aa,则230aa B若130aa,则120aaC若120aa,则213aa a D若10a,则21230aaaa【答案】C 考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法2(2015 福建理)若,a b是函数20,0fxxpxq pq的两个不同的零点,且,2a b这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于()A 6 B7 C8 D9【答案】D【解析】试题分析:由韦达定理得abp,a bq,则0,0ab,当,2
2、a b适当排序后成等比数列时,2必为等比中项,故4a bq,4ba当适当排序后成等差数列时,2必不是等差中项,当a是等差中项时,422aa,解得1a,4b;当4a是等差中项时,82aa,解得4a,1b,综上所述,5abp,所以pq9,选 D考点:等差中项和等比中项3、(2015 全国新课标卷文)已知na是公差为1 的等差数列,nS为na的前n项和,若844SS,则10a()(A)172(B)192(C)10(D)12第2页(共 28页)4.(2015 全国新课标卷文)设nS是等差数列na的前n项和,若1353aaa,则5S()A5B7C9D11【答案】A【解析】试题解析:13533331aaa
3、aa,15535552aaSa.故选 A.考点:等差数列5(2015 全国新课标卷理)等比数列 an满足 a1=3,135aaa=21,则357aaa()A21 B42 C63 D84【答案】B 考点:等比数列通项公式和性质6(2015 全国新课标卷文)已知等比数列na满足114a,35441a aa,则2a()A.2B.1C.121D.8【答案】C【解析】试题分析:由题意可得235444412a aaaa,所以34182aqqa,故2112aa q,选 C.考点:等比数列.7.(2015浙江理)已知na是等差数列,公差d不为零,前n项和是nS,若3a,4a,8a成等比数列,则()A.140,
4、0a ddS B.140,0a ddS C.140,0a ddS D.140,0a ddS第3页(共 28页)8(2015 重庆理)在等差数列na中,若2a=4,4a=2,则6a=()A、-1 B、0 C、1 D、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题:1.(2015 安徽文)已知数列na中,11a,211nnaa(2n),则数列na的前 9 项和等于 .2.(2015 安徽理)已知数列na是递增的等比数列,14239,8aaa a,则数列na的前n项和等于 .第4页(共 28页)3(2015 福建文)若,a b是函数20,0fxxpxq
5、 pq的两个不同的零点,且,2a b这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于 _【答案】9 考点:等差中项和等比中项4(2015 广东理)在等 差数列na中,若2576543aaaaa,则82aa=【答案】10【解析】因为na是等差数列,所以37462852aaaaaaa,345675525aaaaaa即55a,285210aaa,故应填入10【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算,属于容易题5.(2015 广东文)若三个正数a,b,c成等比数列,其中52 6a,52 6c,则b【答案】1【解析】试题分析:因为三个正数a,b,c成等比数列,所以252 65
6、2 61bac,因为0b,第5页(共 28页)所以1b,所以答案应填:1考点:等比中项6.(2015 浙江文)已知na是等差数列,公差d不为零若2a,3a,7a成等比数列,且1221aa,则1a,d【答案】2,13【解析】试题分析:由题可得,2111(2)()(6)adad ad,故有1320ad,又因为1221aa,即131ad,所以121,3da.考点:1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项.7.(2015湖南理)设nS为等比数列na的前n项和,若11a,且13S,22S,3S成等差数列,则na .【答案】13n.【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比
7、数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量q的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.8.(2015江苏)数列na满足11a,且11naann(*Nn),则数列1na的前 10 项和为【答案】2011【解析】试题分析:由题意得:112211(1)()()()1212nnnnnn naaaaaaaann所以1011112202(),2(1),11111nnnSSannnn考点:数列通项,裂项求和9、(2015 全国新课标卷文)数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和,若126nS,则n .第6页(共 28页)10(2015 全国新课标卷理)设nS是数列n
8、a的前 n 项和,且11a,11nnnaS S,则nS_【答案】1n【解析】试题分析:由已知得111nnnnnaSSSS,两边同时除以1nnSS,得1111nnSS,故数列1nS是以1为首项,1为公差的等差数列,则11(1)nSnn,所以1nSn考点:等差数列和递推关系11.(2015陕西文、理)中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为【答案】5【解析】试题分析:设数列的首项为1a,则120152 10102020a,所以15a,故该数列的首项为5,所以答案应填:5考点:等差中项三、解答题:1.(2015 安徽文)已知数列na是递增的等比数列,且14239,8
9、.aaa a()求数列na的通项公式;()设nS为数列na的前n项和,11nnnnabS S,求数列nb的前n项和nT.第7页(共 28页)2.(2015 安徽理)设*nN,nx是曲线221nyx在点(1 2),处的切线与x 轴交点的横坐标.()求数列nx的通项公式;()记2221321nnTx xx,证明14nTn.第8页(共 28页)3、(2015 北京文)已知等差数列na满足1210aa,432aa()求na的通项公式;()设等比数列nb满足23ba,37ba,问:6b与数列na的第几项相等?【答案】(1)42(1)22nann;(2)6b与数列na的第 63 项相等.【解析】试题分析:
10、本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将1234,a aaa转化成1a和 d,解方程得到1a和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到2b和3b的值,再利用等比数列的通项公式,将2b和3b转化为1b和 q,解出1b和 q 的值,得到6b的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n 的值,即项数.试题解析:()设等差数列na的公差为d.因为432aa,所以2d.又因为1210aa,所以1210ad,故14a.所以42(1)22nann(1,2,)n.()设等比
11、数列nb的公比为q.因为238ba,3716ba,所以2q,14b.所以6 1642128b.由12822n,得63n.所以6b与数列na的第 63 项相等.考点:等差数列、等比数列的通项公式.4.(2015 北京理)已知数列na满足:*1aN,136a,且121823618nnnnnaaaaa,12n,记集合*|nManN()若16a,写出集合M的所有元素;()若集合M存在一个元素是3 的倍数,证明:M的所有元素都是3 的倍数;()求集合M的元素个数的最大值第9页(共 28页)【答案】(1)6,12,24M,(2)证明见解析,(3)8【解析】试题分析:()由16a,可知23412,24,12
12、,aaa则6,12,24M;()因为集合M存在一个元素是3 的倍数,所以不妨设ka是 3 的倍数,用数学归纳法证明对任意nk,na是 3 的倍数,当1k时,则 M中的所有元素都是3 的倍数,如果1k时,因为12kkaa或1236ka,所以12ka是 3 的倍数,于是1ka是 3 的倍数,类似可得,21,.kaa都是 3的倍数,从而对任意1n,na是 3 的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.第二步集合M存在一个元素是3 的倍数,所以不妨设ka是 3 的倍数,由已知121823618nnnnnaaaaa,用数学归纳法证明对任意nk,na是 3 的倍数;第三步由于M中的元素都不超过36,M中的元素
13、个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由na的定义可知,第三个数及后面的数必定是4 的倍数,由定义可知,1na和2na除以 9 的余数一样,分na中有 3 的倍数和na中没有 3 的倍数两种情况,研究集合M中的元素个数,最后得出结论集合M的元素个数的最大值为8.试题解析:()由已知121823618nnnnnaaaaa,可知:12346,12,24,12,aaaa6,12,24M()因为集合M存在一个元素是3 的倍数,所以不妨设ka是 3 的倍数,由已知121823618nnnnnaaaaa,可用用数学归纳法证明对任意nk,na是 3 的倍数,当1k时,则 M中的所有
14、元素都是3 的倍数,如果1k时,因为12kkaa或1236ka,所以12ka是3 的倍数,于是1ka是 3的倍数,类似可得,21,.kaa都是 3 的倍数,从而对任意1n,na是 3 的倍数,因此M的所有元素都是3 的倍数.()由于M中的元素都不超过36,由136a,易得236a,类似可得36na,其次M中的元素个数最多除了前面两个数外,都是 4 的倍数,因为第二个数必定为偶数,由na的定义可知,第三个数及后面的数必定是4 的倍数,另外,M中的数除以9 的余数,由定义可知,1na和2na除以 9 的余数一样,考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.第10页(共
15、28页)5(2015 福建文)等差数列na中,24a,4715aa()求数列na的通项公式;()设22nanbn,求12310bbbb的值【答案】()2nan;()2101【解析】试题分析:()利用基本量法可求得1,a d,进而求na的通项公式;()求数列前n 项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题2nnbn,故可采取分组求和法求其前10 项和试题解析:(I)设等差数列na的公差为d由已知得11143615adadad,解得131ad所以112naandn考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法6、(2015 广东文)设数列na的前n项和为nS,n已知11
16、a,232a,354a,且当2n时,211458nnnnSSSS1求4a的值;2证明:112nnaa为等比数列;3求数列na的通项公式【答案】(1)78;(2)证明见解析;(3)11212nnan第11页(共 28页)考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.7(2015 广东理)数列na满足1212242nnnnaaa,*Nn.(1)求3a的值;(2)求数列na前n项和nT;(3)令11ba,11111223nnnTbannn,证明:数列nb的前n项和nS满足nSnln22【答案】(1)14;(2)1122n;(3)见解析第12页(共 28页)(3)依题由12
17、11112nnnaaabann知11ba,1221122aba,【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n项和、不等式放缩等知识,属于中高档题8(2015 湖北理)设等差数列 na的公差为d,前n项和为nS,等比数列 nb的公比为q 已知11ba,22b,qd,10100S()求数列na,nb的通项公式;()当1d时,记nnnacb,求数列 nc的前n项和nT 第13页(共 28页)【答案】()121,2.nnnanb或11(279),929().9nnnanb;()12362nn.2345113579212222222nnnT.-可得221111212323222222nnn
18、nnnT,故nT12362nn.考点:1.等差数列、等比数列通项公式,2.错位相减法求数列的前n项和.9.(2015 湖北文)设等差数列 na的公差为d,前n项和为nS,等比数列 nb的公比为q已知11ba,22b,qd,10100S()求数列na,nb的通项公式;()当1d时,记nnnacb,求数列 nc的前n项和nT【答案】()121,2.nnnanb或11(279),929().9nnnanb;()12362nnnT.第14页(共 28页)【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项
19、公式列出方程进行求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主,以教材为蓝本,注重计算能力培养的基本方向.10.(2015湖南文)设数列na的前n项和为nS,已知121,2aa,且13nnaS*13,()nSnN,(I)证明:23nnaa;(II)求nS。【答案】(I)略;(II)2*2*23(5 31),(21,)23(31),(2,)2nnnnkkNSnk kN【解析】试题分析:(I)当*,2nNn时,由题可得23nnaS*13,()nSnN,113nnaS*3,()nSnN,两式子相减可得2113nnnnaaaa,即23,(2)nnaan,然后验证当n=1 时,命题成
20、立即可;(II)通过求解数列na的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.试题解析:(I)由条件,对任意*nN,有23nnaS*13,()nSnN,因而对任意*,2nNn,有113nnaS*3,()nSnN,两式相减,得2113nnnnaaaa,即23,(2)nnaan,又121,2aa,所以3121121333()33aSSaaaa,故对一切*nN,23nnaa。(II)由(I)知,0na,所以23nnaa,于是数列21na是首项11a,公比为3 的等比数列,数列2na是首项12a,公比为 3 的等比数列,所以112123,23nnnnaa,于是21221321242()()n
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