2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)(20200816103955).pdf

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1、第1页（共42页）2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2015 安徽文）函数32fxaxbxcxd的图像 如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a0，b0，d0 （B）a0，b0，c0（C）a0，b0，c0 （D）a0，b0，c0，d0.()设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；()证明：存在a(0，1)，使得f(x)0 恒成立，且f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f(x)2(x1lnxa)所以 g(x)222(1)xxx当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减当 x(1，

2、)时，g(x)，g(x)单调递增(II)由 f(x)2(x1lnxa)0，解得 ax1lnx令(x)2xlnx x2 2x(x1lnx)(x1lnx)2(1 lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0 于是存在x0(1，e)，使得 (x0)0 令 a0 x0 1lnx0u(x0)，其中 u(x)x1 lnx(x1)由 u(x)11x0 知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故 0u(1)a0u(x0)u(e)e21 即 a0(0，1)当 aa0时，有 f(x0)0，f(x0)(x0)0 再由(I)知，f(x)在区间(1，)上单调递增当 x(1，x0)时，f(x)0，从而 f(x)f

3、(x0)0 当 x(x0，)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0 又当 x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0 故 x(0，)时，f(x)0 第36页（共42页）综上所述，存在a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第()问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第()问需要证明的是：对于某个a(0，1)

4、，f(x)的最小值恰好是 0，而且在(1，)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，)上有且只有一个等于0 的点，也就是在(1，)上有且只有一个最小值点.属于难题.24.(2015四川理)已知函数22()2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a.（1）设()g x是()f x的导函数，评论()g x的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0f x在区间(1,+)内恒成立，且()0f x在(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)

5、22aa上单调递减；当14a时，()g x在区间(0,)上单调递增.（2）详见解析.第37页（共42页）【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3 以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，

6、联系图形大胆猜想.在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x的大致图象，要使得()0f x在区间(1,+)内恒成立，且()0f x在(1,+)内有唯一解，则这个解0 x应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)xx时，()f x的图象递减；当0(,)xx时，()f x的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.25.(2015 天津文)已知函数4()4,fxxxxR（I）求()f x的单调性；（II）设曲线()yf x与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为()yg x,求证：对于任意的正实数x,都有()()f xg x;（III）若方程()=()f xa a为实数有两个正实数根1

7、2xx，且12xx,求证：1321-43axx.【答案】（I）fx的单调递增区间是,1,单调递减区间是1,；（II）见试题解析；（III）见试题解析.【解析】第38页（共42页）试题解析：（I）由4()4f xxx,可得3()44fxx,当0fx,即1x时,函数fx单调递增；当0fx,即1x时,函数fx单调递减.所以函数fx的单调递增区间是,1,单调递减区间是1,.（II）设0,0P x,则1304x,012,fx曲线yfx在点P处的切线方程为00yfxxx,即00g xfxxx,令F xfxg x即0F xfxfxxx则0Fxfxfx.由于3()44f xx在,单调递减,故Fx在,单调递减,

8、又因为00Fx,所以当0,xx时,0Fx,所以当0,xx时,0Fx,所以F x在0,x单调递增,在0,x单调递减,所以对任意的实数x,00F xF x,对于任意的正实数x,都有()()f xg x.考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.26.(2015天津理)已知函数()n,nfxxxxR，其中*n,n2N.(I)讨论()f x的单调性；(II)设曲线()yf x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()yg x,求证：对于任意的正实数x，都有()()f xg x；(III)若关于x的方程()=a(a)f x为实数有两个正实根12xx，求证：21|-|21ax xn第39页（共4

9、2页）【答案】(I)当n为奇数时，()f x在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，()f x在(,1)上单调递增，()f x在(1,)上单调递减.(II)见解析；(III)见解析.试题解析：(I)由()nf xnxx，可得，其中*nN且2n，下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时：令()0fx，解得1x或1x，当x变化时，(),()fxfx的变化情况如下表：x(,1)(1,1)(1,)()fx()f x所以，()f x在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增.(2)当n为偶数时，当()0fx，即1x时，函数()fx单调递增；当()0fx，即1x时，

10、函数()fx单调递减.所以，()f x在(,1)上单调递增，()f x在(1,)上单调递减.(II)证明：设点P的坐标为0(,0)x，则110nxn，20()fxnn，曲线()yfx在点P处的切线方程为00()yfxxx，即00()()g xfxxx，令()()()F xf xg x，即00()()()F xf xfxxx，则0()()()Fxfxfx由于1()nfxnxn在0,上单调递减，故()Fx在0,上单调递减，又因为0()0Fx，所以当0(0,)xx时，0()0Fx，当0(,)xx时，0()0Fx，所以()F x在0(0,)x内单调递增，在0(,)x内单调递减，所以对任意的正实数x都有

11、0()()0F xF x，即对任意的正实数x，都有()()f xg x.(III)证明：不妨设12xx，由(II)知20()g xnnxx，设方程()g xa的根为2x，可得202.axxnn，当2n时，()g x在,上单调递减，又由(II)知222()()(),g xf xag x可得22xx.类似的，设曲线()yf x在原点处的切线方程为()yh x，可得()h xnx，当(0,)x，()()0nfxh xx，即对任意(0,)x，()().f xh x设方程()h xa的根为1x，可得1axn，因为()h xnx在,上单调递增，且第40页（共42页）111h xafxh x，因此11xx.

12、由此可得212101axxxxxn.因为2n，所以111121 1111nnnCnn，故0112nxn.所以，2121axxn.考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.27、(2015 重庆文)已知函数f（x）=a3x+2x（aR）在 x=43处取得极值.（I）确定 a 的值；（II）若 g（x）=f（x）xe，讨论的单调性.【答案】（）12a；（）g()x在(,4)(1,0)和内为减函数，(4,1)(0,)和内为增函数.【解析】试题分析：（）先求出函数()f x的导函数2()32fxaxx，由已知有4()03f可得关于a 的一个一元方程，解之即得a 的

13、值；（）由（）的结果可得函数321g()2xxxxe，利用积的求导法则可求出g()x1(1)(4)2xx xxe，令g()0 x，解得0,1=-4xxx或.从而分别讨论-4x，41x，-10 x及0 x时g()x的符号即可得到函数g()x的单调性试题解析：(1)对()f x求导得2()32fxaxx因为()f x在43x处取得极值，所以4()03f，即16416832()09333aa,解得12a.(2)由(1)得，321g()2xxxxe,故232323115g()222222xxxxxx exxexxx e1(1)(4)2xx xxe令g()0 x，解得0,1=-4xxx或.当-4x时，g

14、()0 x,故g()x为减函数；当41x时，g()0 x,故g()x为增函数；当-10 x时，g()0 x,故g()x为减函数；当0 x时，g()0 x,故g()x为增函数；综上知g()x在(,4)(1,0)和内为减函数，(4,1)(0,)和内为增函数.考点：1.导数与极值；2.导数与单调性.28(2015 重庆理)设函数23xxaxfxaRe（1）若fx在0 x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yfx在点1,1f处的切第41页（共42页）线方程；（2）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围。【答案】（1）0a，切线方程为30 xey；（2）9,)2.【解析】试题解析：(1)对()f x求导

15、得2226336()xxxxxa exax exa xafxee因为()f x在0 x处取得极值，所以(0)0f，即0a.当0a时，23()=,xxf xe236()xxxfxe,故33(1)=,(1)ffee,从而()f x在点1(1)f（，）处的切线方程为33(1)yxee,化简得30 xey(2)由(1)得，236()xxa xafxe,令2g()36xxa xa【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力第42页（共42页）问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质