(整理)高中数学专题训练.pdf

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1、导数知识点考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数的导数公式（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值知识要点)(xfy1.导数的几何意义：函数)(xfy在点0 x 处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点)(,(0 xfx处的切线的斜率，也 就 是 说，曲 线)(xfy在 点P)(,(0 xfx处 的 切 线 的 斜 率 是)(0 xf，切 线 方 程 为).)(00 xxxfyy2 导数的四则运算法则：)(vuvu)(.)

2、()()(.)()(2121xfxfxfyxfxfxfynn)()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则)0(2vvuvvuvu3.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间可导，如果)(xf0，则)(xfy为增函数；如果)(xf0，则)(xfy为减函数.常数的判定方法；如果函数)(xfy在区间I恒有)(xf=0，则)(xfy为常数.4.极值的判别方法：（极值是在0 x 附近所有的点，都有)(xf)(0 xf，则)(0 xf是函数)(xf的极大值，极小值同

3、理）当函数)(xf在点0 x 处连续时，如果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极大值；如果在0 x 附近的左侧)(xf0，右侧)(xf0，那么)(0 xf是极小值.也就是说0 x 是极值点的充分条件是0 x 点两侧导数异号，而不是)(xf=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注：若点0 x 是可导函数)(xf的极值点，则)(xf=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0 x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)

4、(xxfy，0 x使)(xf=0，但0 x不是极值点.例如：函数|)(xxfy，在点0 x处不可导，但点0 x是函数的极小值点.5.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.6.几种常见的函数导数：I.0C（C 为常数）xxcos)(sin1)(nnnxx（Rn）xxsin)(cosII.xx1)(lnexxaalog1)(log-22xyO1-1-11xxee)(aaaxxln)(1、(卷)函数32()31f xxx是减函数的区间为()（）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2)2.（全国卷）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得

5、极值，则a=（）（A）2（B）3（C）4（D）5 3.（卷）在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A3 B2 C1 D 04()已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中()fx是函数()f x的导函数)，下面四个图象中()yf x的图象大致是(C）5.()函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a()(A)18(B)41(C)21(D)1 6.(卷)曲线 y x3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为_8/3_。7.（卷）（14）曲线31yxx在点（1,3）处的切线方程是41yx8.(全国卷 III)曲线32yx

6、x在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0 O-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD9.（卷）过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为(1,e)；，切线的斜率为e高中数学专题训练二次函数与幂函数一、选择题1“a1”是“函数f(x)x22ax3 在区间 1，)上为增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A 解析本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)x22ax3 在区间 1，)上为增函数，则有对称轴xa1，故“a1”是“函数 f(x)x22ax3 在区间 1，)上为

7、增函数”的充分不必要条件2一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是()答案C 解析若 a0，A 不符合条件，若a0，对 B，对称轴ba0，不符合，选 C.3函数 yx(x1)的图象如图所示，满足条件()A 1 B1 0 C0 1 答案C 解析类比函数 yx12即可4若函数 f(x)ax2bxc 满足 f(4)f(1)，那么()Af(2)f(3)Bf(3)f(2)Cf(3)f(2)Df(3)与 f(2)的大小关系不确定答案C 解析f(4)f(1)对称轴为52，f(2)f(3)5已知函数 yx22x3 在闭区间 0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m的取值围是(

8、)A1，)B0,2 C1,2 D(，2 答案C 解析由函数的单调性和对称轴知，1m2，选 C.6(2010 卷)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()答案D 解析若 a0，b0，c0，则对称轴xb2a0，函数 f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在 x 轴下方故选 D.7已知 f(x)ax22ax4(0a3)，若 x1f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与 f(x2)的大小不能确定答案B 解析解法 1：设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，x1x221a2(1，12)，又对称轴 x1，AB 中点在对称轴右侧 f(x1)f(x2)，

9、故选 B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)解法 2：作差 f(x1)f(x2)(ax212ax14)(ax222ax24)a(x1x2)(x1x22)a(x1x2)(3a)又 0a3，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故选 B.二、填空题8已知 y(cosxa)21，当 cosx1 时 y 取最大值，当 cos xa 时，y取最小值，则 a 的围是_解析由题意知a01a10a1 9抛物线 y8x2(m1)xm7 的顶点在 x 轴上，则 m_.答案9 或 25 解析y8 xm1162m78m1162顶点在 x 轴m78m11620，m9 或 25.1

10、0(2010 调研)设函数 f1(x)x12，f2(x)x1，f3(x)x2，则 f1(f2(f3(2010)_.答案12010解析f3(2010)20102f2(20102)(20102)120102f1(20102)(20102)122010112010.11在函数 f(x)ax2bxc中，若 a，b，c成等比数列且 f(0)4，则 f(x)有最_值(填“大”或“小”)，且该值为 _答案大3 解析f(0)c4，a，b，c 成等比，b2a c，a0,1 2，则实数 m 的取值围是_答案2m52解析令 f(x)x2mx1 由题意知f 1 0?2m52.三、解答题14已知函数 f(x)2xxm，

11、且 f(4)72.(1)求 m的值；(2)判断 f(x)在(0，)上的单调性，并给予证明答案(1)m1(2)递减解析(1)f(4)72，244m72.m1.(2)f(x)2xx 在(0，)上单调递减，证明如下：任取 0 x1x2，则f(x1)f(x2)(2x1x1)(2x2x2)(x2x1)(2x1x21)0 x10，2x1x210.f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即 f(x)2xx 在(0，)上单调递减15(2011 省实验中学)已知对于任意实数x，二次函数 f(x)x24ax2a12(aR)的值都是非负的，求函数g(a)(a1)(|a1|2)的值域答案94，9 解由条件知 0

12、，即(4a)24(2a12)0，32a2.当32a1时，g(a)(a1)(a3)a22a3(a1)24，由二次函数图象可知，94g(a)0，二次函数 yax2bxa21 的图象为下列图象之一，则a 的值为()A1 B1 C.152D.152答案B 解析b0，不是前两个图形，从后两个图形看b2a0，a0.故应是第 3 个图形过原点，a210.结合 a0.a1.3.如图所示，是二次函数yax2bxc 的图象，则|OA|OB|等于()A.caBcaCcaD无法确定答案B 解析|OA|OB|OA OB|x1x2|ca|ca(a0)4已知函数 f(x)x22x2 的定义域和值域均为 1，b，则 b()A

13、3 B2 或 3 C2 D1 或 2 答案C 解析函数在 1，)上单增bb22b2 解之得：b2 或 1(舍)5函数 yx22ax(0 x1)的最大值是 a2，则实数 a 的取值围是()A0a1 B0a2 C2a0 D1a0 答案D 解析f(x)x22ax(xa)2a2 若 f(x)在0,1上最大值是 a2，则 0a1，即 1a0，故选 D.1若二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，f(0)1，则 f(x)_.答案x2x1 解析设 f(x)ax2bxc，f(0)1，c1，f(x1)f(x)2axab2xa1，b1.f(x)x2x1.2若函数 f(x)(a1)x2(a21)x1 是偶函

14、数，则在区间 0，)上 f(x)是()A减函数B增函数C常函数D可能是减函数，也可能是常函数答案D 解析函数 f(x)是偶函数，a210 当 a1 时，f(x)为常函数当 a1 时，f(x)x21 在0，)为减函数，选 D.3已知 f(x)(xa)(xb)2(ab)，并且 、是方程f(x)0 的两个根()，则实数 a、b、的大小关系可能是()A ab Ba bCa b D a b答案A 解析设 g(x)(xa)(xb)，则 f(x)g(x)2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得 ab0(1)当a120 即 a1 时恒成立(2)当a120即 a1时由 (a1)240得1a3 1a0 Bf(

15、x0)0 Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B 解析切线方程为 y2x1，f(x0)20)，所以曲线yx12在点(a，a12)处的切线 l 的斜率 ky|xa12a32，由点斜式得切线l 的方程为 ya1212a32(xa)，易求得直线 l 与 x 轴，y 轴的截距分别为 3a，32a12，所以直线 l 与两个坐标轴围成的三角形面积S123a32a1294a1218，解得 a64.7(2010 卷)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值围是()A0，4)B4，2)C(2，34 D34，)答案D 解析设曲线在点 P 处的切线斜率为k，则 ky4ex1e

16、x 24ex1ex2，因为 ex0，所以由均值不等式得k42ex1ex2，又 k0，1k0，即1tan 0，所以34 .8下列图象中，有一个是函数f(x)13x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数 f(x)的图象，则 f(1)()A.13B13C.73D13或53答案B 解析f(x)x22axa21(xa)21 yf(x)是开口向上，以xa 为对称轴(a，1)为顶点的抛物线(3)是对应 yf(x)的图象由图象知 f(0)0，对称轴 xa0.a210，a0)，y2x1x，令 y1，即 2x1x1，解得 x1 或 x12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为 1 的切线为：yx，其到直线 yx

17、2 的距离2即为所求15已知曲线 C：yx33x22x，直线 l：ykx，且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0，y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标答案y14x，(32，38)解析直线过原点，则ky0 x0(x00)由点(x0，y0)在曲线 C 上，则 y0 x303x202x0，y0 x0 x203x02.又 y3x26x2，在(x0，y0)处曲线 C 的切线斜率应为 kf(x0)3x206x02.x203x023x206x02.整理得 2x203x00.解得 x032(x00)这时，y038，k14.因此，直线 l 的方程为 y14x，切点坐标是(32，38)1设 f0(x)s

18、inx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则 f2011(x)()AsinxBsinxCcosxDcosx答案D 解析f1(x)(sinx)cosx，f2(x)(cosx)sinx，f3(x)(sinx)cosx，f4(x)(cosx)sinx，f5(x)(sinx)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为 4.f2011(x)f3(x)cosx.2已知曲线 S：y3xx3及点 P(2,2)，则过点 P 可向 S引切线，其切线条数为()A0 B1 C2 D3 答案D 解析显然 P 不在 S上，设切点为(x0，y0)，由 y33

19、x2，得 y|xx033x20 切线方程为：y(3x0 x30)(33x20)(xx0)P(2,2)在切线上2(3x0 x30)(33x20)(2x0)即 x303x2020(x01)(x202x02)0 由 x010 得 x01 由 x202x020 得 x01 3.有三个切点，由P 向 S作切线可以作 3 条3(09)设函数f(x)sin3x33cos2x2tan，其中 0，512，则导数f(1)的取值围是 _答案 2，2 解析f(x)sin x23cos x，f(1)sin 3cos 2sin(3)0，512，33，34，sin(3)22，14曲线 yx(x1)(2x)有两条平行于yx

20、的切线，则二切线之间距离为_答案16272 解析yx(x1)(2x)x3x22xy3x22x2，令 3x22x21 得x11 或 x213两个切点分别为(1,2)和(13，1427)切线方程为 xy10 和 xy5270 d|1527|216 2275(2010 卷，文)已知函数 f(x)ln xax1ax1(aR)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程解析当 a1 时，f(x)ln xx2x1，x(0，)所以 f(x)x2x2x2，x(0，)，因此 f(2)1，即曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 1.又 f(2)ln 22，所以曲线 yf(x)在点(2

21、，f(2)处的切线方程为 y(ln 22)x2，即 xyln 20.1(2011 海淀区)设函数 f(x)是 R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在 x5 处的切线的斜率为 _答案0 解析由题意得f(5)limx0f 5x f 5x limx0f x f 0 xf(0)，且f(0)limx0f x f 0 x limx0f 0 x f 0 xf(0)，f(0)0，因此 f(5)0.高中数学专题训练函数的单调性和最值一、选择题1函数 yx26x10 在区间(2,4)上是()A递减函数B递增函数C先减后增D先增后减答案C 解析对称轴为 x3，函数在(2,3上为减函数，在 3,4)上为增

22、函数2下列函数 f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有f x2f x1x2x10”的是()Af(x)1xBf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)答案A 解析满足f x2f x1x2x10 其实就是 f(x)在(0，)上为减函数，故选A.3若 f(x)x22(a1)x2 在区间(，4)上是减函数，那么实数a 的取值围是()Aa3 Da3 答案B 解析对称轴 x1a4.a3.4下列函数中既是偶函数，又是区间1,0上的减函数的是()AycosxBy|x1|Cyln2x2xDyexex答案D 5函数 yloga(x22x3)，当 x2 时，y0，则此函数的单调递减区间是()A

23、(，3)B(1，)C(，1)D(1，)答案A 解析当 x2 时，yloga(222 23)yloga50，a1 由复合函数单调性知单减区间须满足x22x30 x1，解之得 x0 对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立在下列不等式中，正确的是()Af(5)f(3)Bf(5)f(5)Df(3)0 对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立，可知，f(x)在(0，)上为增函数，又f(x)为奇函数，故 f(x)在(，0)上也为增函数，故选 C.7函数f(x)在区间(2,3)上是增函数，则yf(x5)的一个递增区间是()A(3,8)B(7，2)C(2，3)D(0,5)答案B 解析令2x53，得：7x2.

24、8(09)已知函数 f(x)x24x，x0，4xx2，x0.若 f(2a2)f(a)，则实数 a的取值围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案C 解析yx24x(x2)24 在0，)上单调递增；yx24x(x2)24 在(，0)上单调递增又 x24x(4xx2)2x20，f(2a2)f(a)?2a2a?a2a20?2a1，故选 C.9(2010 卷)给定函数 yx12；ylog12(x1)；y|x1|；y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()ABCD答案B 解析是幂函数，其在(0，)上为增函数，故此项不符合题意；中的函数是由函数ylog12x

25、向左平移 1 个单位而得到的，因原函数在(0，)上为减函数，故此项符合题意；中的函数图象是函数yx1的图象保留 x轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在 R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10给出下列命题y1x在定义域为减函数；y(x1)2在(0，)上是增函数；y1x在(，0)上为增函数；ykx 不是增函数就是减函数其中错误命题的个数有 _答案3 解析错误，其中中若k0，则命题不成立11函数 f(x)|logax|(0a1)的单调递增区间是 _答案1，)解析函数图象如图12函数 f(x)x2|x|

26、的递减区间是 _答案12，0 与12，解析数形结合13在给出的下列 4 个条件中，0a1x，00a1a，0a1x 0，能使函数 yloga1x2为单调递减函数的是 _(把你认为正确的条件编号都填上)答案解析利用复合函数的性质，正确14若奇函数 f(x)在(，0上单调递减，则不等式f(lgx)f(1)0的解集是_答案(0，110)解析因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，又因为 f(x)在(，0上单调递减，所以 f(x)在0，)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在 R 上为单调递减函数不等式f(lgx)f(1)0 可化为f(lgx)f(1)f(1)，所以lgx1，解得0 x0且 f(

27、x)在(1，)单调递减，求 a 的取值围答案(1)略(2)0a1 解析(1)证明任设 x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)单调递增(2)解任设 1x10，x2x10，要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立，a1.综上所述知 00时，f(x)1.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若 f(4)5，解不等式 f(3m2m2)3.答案(1)略(2)m|1m43 解(1)证明：设 x1，x2R，且 x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f

28、(x1)即 f(x)是 R 上的增函数(2)f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，原不等式可化为f(3m2m2)f(2)，f(x)是 R 上的增函数，3m2m22，解得 1m43，故 m的解集为 m|1m0，x30，即 x3，又 00.51，f(x)在(3，)上单调递减2设函数 f(x)2x1x1(x0)，则 f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数答案A 解析当 x0，(2x1x)(2x)(1x)22x 1x2 2，即 2x1x2 2，2x1x12 21，即 f(x)2 21，当且仅当2x1x，即 x22时取等号，此时函数f(x)有最大值，选 A.3已知 f(x)为

29、 R 上的减函数，则满足f(|1x|)1?1x0 或 0 x1，故选 C.4函数 f(x)x2x1(xR 且 x1)的单调增区间是 _答案(，0)和(2，)解析将原函数 yx2x1变形为 y(x1)1x12显然 x1 在区间(，1)和(1，)取值时，函数单调递增，即得x在区间(，0)和(2，)取值时，函数单调递增5(2011)函数 f(x)ax21，x0a21 eax，x0，则当 x0 时，f(x)ax21 是单调递增函数，故当 x0 时，eax为单调递增函数，所以 a210，又 f(x)在(，)上单调，故还应满足(a21)e0a021，即需满足a0a210?1a2a211同理，当 a0 时，满足a0?a2.a211综上得 1a2或 a2.