2018届河北省衡水中学2015级高三高考押题考试理科数学试卷(二)及答案.pdf

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1、2018 届河北省衡水中学2015 级高三高考押题考试理科数学试卷（二）祝考试顺利第卷一、选择题：本题共12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|60,Ax xxxZ,|,Bz zxyxA yA,则集合 ABI=（）A0,1 B0,1,2 C0,1,2,3 D1,0,1,22.设复数z满足121zii,则1|z=（）A5 B15C55D 5253.若1cos()43,(0,)2,则 sin的值为（）A.426 B426 C.718 D234.已知直角坐标原点 O为椭圆:C22221(0)xyabab的中心,1F,2F为左、右焦点,在区间(0

2、,2)任取一个数e,则事件“以e为离心率的椭圆 C 与圆 O：2222xyab没有交点”的概率为（）A.24 B424 C.22D2225.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 的正角.已知双曲线 E：22221(0,0)xyabab,当其离心率2,2e时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A0,6 B,63 C.,43 D,326.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为32,则它的表面积是（）A.3 13(3)2222 B3 133()22242C.13222 D132247.函数sinln|yxx在区间 3,3的图象大致为（）A B C D8.二项式1(

3、)(0,0)naxabbx的展开式中只有第 6项的二项式系数最大,且展开式中的第 3项的系数是第 4 项的系数的 3 倍,则 ab的值为（）A4 B8 C.12 D16 9.执行下图的程序框图,若输入的0 x,1y,1n,则输出的 p的值为（）A.81 B812 C.814 D81810.已知数列11a,22a,且222(1)nnnaa,*nN,则2017S的值为（）A 2016 1010 1 B1009 2017 C.2017 1010 1 D1009 201611.已知函数()sin()f xAx(0,0,|)2A的图象如图所示,令()()()g xf xfx,则下列关于函数()g x的说

4、法中不正确的是（）A.函数()g x图象的对称轴方程为()12xkkZB函数()g x的最大值为2 2C.函数()g x的图象上存在点 P,使得在 P点处的切线与直线:31lyx平行D方程()2g x的两个不同的解分别为1x,2x,则12|xx最小值为212.已知函数32()31f xaxx,若()f x存在三个零点,则a的取值范围是（）A(,2)B(2,2)C.(2,)D(2,0)(0,2)U第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题第 21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22题和第 23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分1

5、3.向量(,)am nr,(1,2)br,若向量ar,br共线,且|2|abrr,则mn的值为14.设点 M 是椭圆22221(0)xyabab上的点,以点 M 为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆 M 与 y 轴相交于不同的两点P、Q,若PMQ为锐角三角形,则椭圆的离心率的取值范围为15.设x,y 满足约束条件230,220,220,xyxyxy则yx的取值范围为16.在平面五边形 ABCDE 中,已知120A,90B,120C,90E,3AB,3AE,当五边形 ABCDE的面积63,93)S时,则 BC 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列n

6、a的前n项和为nS,112a,121nnSS*(2,)nnN.（1）求数列na的通项公式；（2）记12lognnba*()nN求11nnb b的前n项和nT.18.如图所示的几何体ABCDEF 中,底面 ABCD为菱形,2ABa,120ABC,AC 与 BD 相交于 O点,四边形 BDEF 为直角梯形,/DEBF,BDDE,22 2DEBFa,平面 BDEF底面 ABCD.（1）证明：平面 AEF平面 AFC；（2）求二面角 EACF 的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力,经常举行一些心理素质综合能力训练活动,经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100 名学生进行测试,并

7、将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级,统计数据如图所示（视频率为概率）,根据以上抽样调查数据,回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级 A、B、C、D、E分别对应 100分、90 分、80 分、70 分、60 分,学校要求平均分达 90 分以上为“考前心理稳定整体过关”,请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点,现从 A、B两种级别中,用分层抽样的方法抽取11个学生样本,再从中任意选取 3 个学生样本分析,求这 3 个样本为 A级的个数的分布列与数学期望.20.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的

8、离心率为22,且过点23(,)22P,动直线 l：ykxm交椭圆 C 于不同的两点 A,B,且0OA OBuuu r uuu r（O为坐标原点）（1）求椭圆 C的方程.（2）讨论2232mk是否为定值？若为定值,求出该定值,若不是请说明理由.21.设函数22()lnf xaxxax()aR.（1）试讨论函数()f x的单调性；（2）设2()2()lnxxaax,记()()()h xf xx,当0a时,若方程()()h xm mR有两个不相等的实根1x,2x,证明12()02xxh.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.选修 4-4：坐

9、标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1C：3cos,2sinxtyt（t 为参数,0a）,在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C：4sin.（1）试将曲线1C与2C化为直角坐标系xOy中的普通方程,并指出两曲线有公共点时a的取值范围；（2）当3a时,两曲线相交于 A,B 两点,求|AB.23.选修 4-5：不等式选讲.已知函数()|21|1|f xxx.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()yf x的图象,并由图象找出满足不等式()3f x的解集；（2）若函数()yf x的最小值记为m,设,a bR,且有22abm,试证明：221418117ab.2018 届河

10、北省衡水中学2015 级高三高考押题考试理科数学试卷（二）参考答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD 二、填空题13.-8 14.625122e 15.2 7,5 4 16.3,33)三、解答题17.解：（1）当2n时,由121nnSS及112a,得2121SS,即121221aaa,解得214a.又由121nnSS,可知121nnSS,-得12nnaa,即11(2)2nnana.且1n时,2112aa适合上式,因此数列na是以12为首项,12为公比的等比数列,故12nna*()nN（2）由（1）及12lognnba*()nN,可知121log()2nnbn,

11、所以11111(1)1nnb bn nnn,故2231111nnnnTb bb bb bL11111(1)()()2231nnL1111nnn.18.解：（1）因为底面 ABCD为菱形,所以 ACBD,又平面 BDEF底面 ABCD,平面 BDEF I 平面 ABCDBD,因此 AC平面 BDEF,从而 ACEF.又 BDDE,所以 DE平面 ABCD,由2ABa,222DEBFa,120ABC,可知22426AFaaa,2BDa,22426EFaaa,22482 3AEaaa,从而222AFFEAE,故 EFAF.又 AFACAI,所以 EF平面 AFC.又 EF平面 AEF,所以平面 AE

12、F平面 AFC.（2）取 EF 中点 G,由题可知/OGDE,所以 OG平面 ABCD,又在菱形 ABCD 中,OAOB,所以分别以OAuu u r,OBuuu r,OGuuu r的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz（如图示）,则(0,0,0)O,(3,0,0)Aa,(3,0,0)Ca,(0,2 2)Eaa,(0,2)Faa,所以(0,22)(3,0,0)AEaaauuu r(3,2 2)aaa,(3,0,0)(3,0,0)ACaau uu r(2 3,0,0)a,(0,2)(0,2 2)EFaaaauuu r(0,2,2)aa.由（1）可知 EF平面 AFC,所以平面 AFC

13、 的法向量可取为(0,2,2)EFaau uu r.设平面 AEC的法向量为(,)nx y zr,则0,0,n AEn ACr uuu rr uuu r即3220,0,xyzx即2 2,0,yzx令2z,得4y,所以(0,4,2)nr.从而cos,n EFr uu u r633|6 3n EFanEFar u uu rruuu r.故所求的二面角 EACF 的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这100人中,有 56 名学生成绩等级为B,所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为561410025,则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有1480044825.（2）这 100 名学生

14、成绩的平均分为1(3210056907 803702 60)10091.3,因为 91.390,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11 个学生样本,其中 A级 4 个,B级 7 个,从而任意选取3 个,这 3 个为 A级的个数的可能值为 0,1,2,3.则03473117(0)33C CPC,124731128(1)55C CPC,214731114(2)55C CPC,30473114(3)165C CPC.因此可得的分布列为：则728144()0123335555165E1211.20.解：（1）由题意可知22ca,所以222222()

15、acab,即222ab,又点23(,)22P在椭圆上,所以有2223144ab,由联立,解得21b,22a,故所求的椭圆方程为2212xy.（2）设1122(,),(,)A x yB xy,由0OA OBuuu r uuu r,可知12120 x xy y.联立方程组22,1,2ykxmxy消去 y 化简整理得222(12)4220kxkmxm,由2222168(1)(12)0k mmk,得2212km,所以122412kmxxk,21222212mx xk,又由题知12120 x xy y,即1212()()0 x xkxmkxm,整理为221212(1)()0kx xkm xxm.将代入上

16、式,得22222224(1)01212mkmkkmmkk.化简整理得222322012mkk,从而得到22322mk.21.解：（1）由22()lnf xaxxax,可知2()2afxxax222(2)()xaxaxaxaxx.因为函数()f x的定义域为(0,),所以,若0a时,当(0,)xa时,()0fx,函数()f x单调递减,当(,)xa时,()0fx,函数()f x单调递增；若0a时,当()20fxx在(0,)x内恒成立,函数()f x单调递增；若0a时,当(0,)2ax时,()0fx,函数()f x单调递减,当(,)2ax时,()0fx,函数()f x单调递增.（2）证明：由题可知

17、()()()h xf xx2(2)lnxa xax(0)x,所以()2(2)ah xxax22(2)(2)(1)xa xaxaxxx.所以当(0,)2ax时,()0h x；当(,)2ax时,()0h x；当2ax时,()02ah.欲证12()02xxh,只需证12()()22xxahh,又2()20ahxx,即()h x单调递增,故只需证明1222xxa.设1x,2x是方程()h xm的两个不相等的实根,不妨设为120 xx,则21112222(2)ln,(2)ln,xa xaxmxa xaxm两式相减并整理得1212(lnln)a xxxx22121222xxxx,从而22121212122

18、2lnlnxxxxaxxxx,故只需证明2212121212122222(lnln)xxxxxxxxxx,即22121212121222lnlnxxxxxxxxxx.因为1212lnln0 xxxx,所以（*）式可化为12121222lnlnxxxxxx,即11212222ln1xxxxxx.因为120 xx,所以1201xx,不妨令12xtx,所以得到22ln1ttt,(0,1)t.记22()ln1tR ttt,(0,1)t,所以22214(1)()0(1)(1)tR tttt t,当且仅当1t时,等号成立,因此()R t在(0,1)单调递增.又(1)0R,因此()0R t,(0,1)t,故

19、22ln1ttt,(0,1)t得证,从而12()02xxh得证.22.解：（1）曲线1C：3cos,2sin,xtyt消去参数 t 可得普通方程为222(3)(2)xya.曲线2C：4sin,两边同乘.可得普通方程为22(2)4xy.把22(2)4yx代入曲线1C的普通方程得：222(3)4136axxx,而对2C有222(2)4xxy,即 22x,所以2125a故当两曲线有公共点时,a的取值范围为1,5.（2）当3a时,曲线1C：22(3)(2)9xy,两曲线交点 A,B所在直线方程为23x.曲线22(2)4xy的圆心到直线23x的距离为23d,所以48 2|2 493AB.23.解：（1）因为()|21|1|f xxx3,1,12,1,213,.2x xxxx x所以作出图象如图所示,并从图可知满足不等式()3f x的解集为 1,1.（2）证明：由图可知函数()yf x的最小值为32,即32m.所以2232ab,从而227112ab,从而221411ab2222214(1)(1)()71abaab2222214(1)5()711baab222221 4(1)18527117baab.当且仅当222214(1)11baab时,等号成立,即216a,243b时,有最小值,所以221418117ab得证.2018 届河北省衡水中学2015 级高三高考押题考试理科数学试卷（二）