2019-2020学年安徽省池州一中高二下学期期中(文科)数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x22x 30，集合 Bx|2x+11，则?BA（）A3，+）B（3，+）C（，1 3，+）D（，1）（3，+）2已知复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（1，1），（2，1），则?2?1的共轭复数为（）A32-12?B32+12?C-32-12?D-32+12?3设 a R，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件4与椭圆C：?216+?212=1 共焦点且过点（1，?）的双曲线的标准方程为（）Ax2-?23=1By22x21C?22-

2、?22=1D?23-x215函数 f（x）=2?-3?2+?+1的定义域为R，则实数m 的取值范围是（）A（0，4）B0，4）C0，4D（0，46设 a 为实数，函数f（x）x3+ax2+（a 3）x，且 f（x）是偶函数，则f（x）的递减区间为（）A（0，+）B（，1），（1，+）C（1，1）D（3，+）7甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知

3、道自己的成绩8如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中、两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A 分析法，综合法B 综合法，分析法C 综合法，反证法D 分析法，反证法9已知偶函数f（x）在区间 0，+）单调递增，则满足f（2x1）f（13）的 x 取值范围是（）A（13，23）B13，23）C（12，23）D12，23）10已知 f（x）是奇函数，当 x0 时 f（x）x（1+x），当 x0 时，f（x）等于（）A x（1x）Bx（1x）C x（1+x）Dx（1+x）11设 F1，F2分别是椭圆E：?2?2+?2?2=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E 于 A，B

4、 两点，|AF1|3|BF1|，若 cosAF2B=35，则椭圆E 的离心率为（）A12B23C 32D 2212定义在R 上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）6，f（x）是 f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex+5（其中 e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（1，+）D（3，+）二、填空题（本大题共4 小题，共20 分）13已知命题p：?x R，x2+2x+a0 是真命题，则实数a 的取值范围是14已知集合Aa|2k （2k+1），k Z，B|5 5，则 A B15对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：x24568y204

5、0607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为?=10.5x+?，据此模型预测，当x10 时，y 的估计值是16若函数y=(12)|?-?|+m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是三、解答题（本大题共6 小题，共70 分）17已知函数f（x）x28lnx（1）求函数 f（x）的极值；（2）求函数 f（x）在区间 1?，?上的最值18为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的

6、老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)19已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：?26+?25=1 的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l 与抛物线C1分别相交于A、B 两点（）写出抛物线C1的标准方程；（）求 ABO 面积的最小值20已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的离心率为 32，椭圆 C 的长轴长为4（1）求

7、椭圆 C 的方程；（2）已知直线l：ykx+?与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）4x+a?2x+3，a R（1）当 a 4 时，且 x 0，2，求函数f（x）的值域；（2）若 f（x）0 在（0，+）对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围22已知函数f（x）x22x+alnx（a R）（）当a2 时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0 时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求

8、实数 m 的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12 小题，共60 分）1已知集合Ax|x22x 30，集合 Bx|2x+11，则?BA（）A3，+）B（3，+）C（，1 3，+）D（，1）（3，+）【分析】根据集合A 是二次不等式的解集，集合B 是指数不等式的解集，因此可求出集合 A，B，根据补集的求法求得?BA解：Ax|x22x30 x|1x3，B x|2x+11x|x 1，?BA3，+）故选：A2已知复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（1，1），（2，1），则?2?1的共轭复数为（）A32-12?B32+12?C-32-12?D-32+12?【分析】由复数z1，z2在复平面内的对

9、应点的分别为（1，1），（2，1），得 z11i，z2 2+i，再由复数代数形式的乘除运算化简?2?1，再求共轭复数即可得答案解：由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，1），（2，1），得 z11i，z2 2+i，则?2?1=-2+?1-?=(-2+?)(1+?)(1-?)(1+?)=-3-?2=-32-12i；?2?1的共轭复数为：-32+12i；故选：D3设 a R，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：由 a2 1得 a1 或 a 1，即“a1”是“a21

10、”的充分不必要条件，故选：A4与椭圆C：?216+?212=1 共焦点且过点（1，?）的双曲线的标准方程为（）Ax2-?23=1By22x21C?22-?22=1D?23-x21【分析】设双曲线的方程为?2?2-?2?2=?，根据双曲线基本量的关系结合题意建立关于a、b 的方程组，解之得a2b22，即得该双曲线的标准方程解：设双曲线的方程为?2?2-?2?2=?(?，?)，根据题意得?+?=?-?=?(3)2?2-12?2=?，解之得a2b22该双曲线的标准方程为?22-?22=1故选：C5函数 f（x）=2?-3?2+?+1的定义域为R，则实数m 的取值范围是（）A（0，4）B0，4）C0，

11、4D（0，4【分析】由题意知mx2+mx+1 0 在 R 上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m0和 m0 两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起解：函数?(?)=2?-3?2+?+1的定义域为R，mx2+mx+10 在 R 上恒成立，当 m 0 时，有 10 在 R 上恒成立，故符合条件；当 m 0 时，由?=?-?，解得 0 m 4，综上，实数m 的取值范围是0，4）故选：B6设 a 为实数，函数f（x）x3+ax2+（a 3）x，且 f（x）是偶函数，则f（x）的递减区间为（）A（0，+）B（，1），（1，+）C（1，1）D（3，

12、+）【分析】求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可解：函数的导数f（x）3x2+2ax+（a3），f（x）是偶函数，2a0，得 a0，即 f（x）x33x，f（x）3x23，令 f（x）0，解得：1x 1，故选：C7甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看

13、到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩

14、了故选：D8如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中、两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（）A 分析法，综合法B 综合法，分析法C 综合法，反证法D 分析法，反证法【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故 两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：综合法，分析法，故选：B9已知偶函数f（x）在区间 0，+）单调递增，则满足f（2x1）f（13）的 x 取值范围是

15、（）A（13，23）B13，23）C（12，23）D12，23）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可解：f（x）是偶函数，f（x）f（|x|），不等式等价为f（|2x1|）?(13)，f（x）在区间 0，+）单调递增，|?-?|13，解得13?23故选：A10已知 f（x）是奇函数，当 x0 时 f（x）x（1+x），当 x0 时，f（x）等于（）A x（1x）Bx（1x）C x（1+x）Dx（1+x）【分析】当 x0 时，x0，由已知表达式可求得f（x），由奇函数的性质可得f（x）与 f（x）的关系，从而可求出f（x）解：当 x0 时，x0，则 f（x）x（1x）又

16、 f（x）是 R 上的奇函数，所以当x0 时 f（x）f（x）x（1x）故选：A11设 F1，F2分别是椭圆E：?2?2+?2?2=1（ab0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|3|BF1|，若 cosAF2B=35，则椭圆E 的离心率为（）A12B23C 32D 22【分析】设|F1B|k（k 0），则|AF1|3k，|AB|4k，由cosAF2B=35，利用余弦定理，可得a3k，从而 AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率解：设|F1B|k（k0），则|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2akcos AF2B=35，在

17、ABF2中，由余弦定理得，|AB|2|AF2|2+|BF2|22|AF2|?|BF2|cos AF2B，（4k）2（2a3k）2+（2ak）2-65（2a3k）（2ak），化简可得（a+k）（a3k）0，而 a+k0，故 a3k，|AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|BF2|2|AF2|2+|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形，c=22a，椭圆的离心率e=?=22，故选：D12定义在R 上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）6，f（x）是 f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex+5（其中 e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，

18、0）（1，+）D（3，+）【分析】构造函数g（x）exf（x）ex，（x R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解：设 g（x）exf（x）ex，（x R），则 g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+5，g（x）5，又 g（0）e0f（0）e0615，g（x）g（0），x0，不等式的解集为（0，+）故选：A二、填空题（本大题共4 小题，共20 分）13已知命题p：?x R，x2+2x+a0 是真命题，则实数a 的取值范围是（，1【分析】根据

19、特称命题的等价条件，建立不等式关系即可解：若命题p：?x R，x2+2x+a0是真命题，则判别式44a0，即 a1，故答案为：（，114已知集合A a|2k （2k+1），k Z，B|5 5，则 AB5，0，【分析】由已知中集合Aa|2k （2k+1），k Z，B|5 5，结合集合交集运算定义，可得答案解：集合Aa|2k （2k+1），k Z，B|5 5，AB5，0，故答案为：5，0，15对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为?=10.5x+?，据此模型预测，当x10 时，y 的估计值是106.5【分析

20、】根据表中数据计算?、?，代入回归直线方程求得?的值，写出回归直线方程，利用方程求出x10 时?的值即可解：根据表中数据，计算?=15（2+4+5+6+8）5，?=15（20+40+60+70+80）54，代入回归直线方程?=10.5x+?中，求得?=5410.551.5，回归直线方程为?=10.5x+1.5，据此模型预测，x 10 时，?=10.510+1.5106.5，即 y 的估计值是106.5故答案为：106.516若函数y=(12)|?-?|+m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是1，0）【分析】利用指数函数的性质，求出函数函数?=(12)|?-?|+?的最小值，利用最小值大

21、于等于 0即可解：作出函数?(?)=(12)?-?，?-?，?的图象如图，由图象可知0g（x）1，则mg（x）+m1+m，即 mf（x）1+m，要使函数?=(12)|?-?|+?的图象与x 轴有公共点，则?+?，解得 1m0故答案为：1，0）一、选择题17已知函数f（x）x28lnx（1）求函数 f（x）的极值；（2）求函数 f（x）在区间 1?，?上的最值【分析】（1）求出导函数，通过导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的极值（2）由（1）函数的单调性，求出函数的端点值，以及函数的极值，判断函数的最值即可解：（1）?(?)=?-8?=2(?+2)(?-2)?，当 0 x 2 时，f（x

22、）0，f（x）单调递减；当x2 时，f（x）0，f（x）单调递增所以当 x2 时，f（x）取得极小值，且极小值为f（2）48ln2，f（x）无极大值（2）由（1）得 f（x）在1?，?)上单调递减，在（2，e上单调递增，所以 f（x）在区间 1?，?上的最小值为f（2）48ln2因为?(1?)=1?2+?，?(?)=?-?(1?)，所以 f（x）在区间 1?，?上的最大值为?(1?)=1?2+?18为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助

23、的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求 K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样解：（1）调查的 500 位老年人中有70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助

24、的老年人的比例的估计值为70500=?%（2）K2的观测值?=500(40 270-30 160)2200 300 70 430?.?因为 9.9676.635，且 P（K26.635）0.01，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好19已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：?26+?25=1 的右焦点重合

25、，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点（）写出抛物线C1的标准方程；（）求 ABO 面积的最小值【分析】（）求得椭圆的右焦点，可得抛物线的p2，进而得到抛物线的方程；（）设直线AB 的方程为xmy+4，代入抛物线方程，运用韦达定理，由ABO 面积为 S SOAM+SOBM=12?|OM|?|y1y2|，代入韦达定理，化简由不等式的性质，即可得到最小值解：（）椭圆C2：?26+?25=1 的右焦点为（1，0），设抛物线的方程为y22px（p0），即有?2=1，解得 p2，则抛物线的方程为y24x；（）设直线AB 的方程为xmy+4，代入抛物线方程可

26、得，y24my160，判别式为16m2+640 恒成立，y1+y24m，y1y2 16，则 ABO 面积为 SSOAM+SOBM=12?|OM|?|y1 y2|2|y1y2|2(?+?)?-?2?+?2?=16，当且仅当m0 时，ABO 的面积取得最小值1620已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的离心率为 32，椭圆 C 的长轴长为4（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知直线l：ykx+?与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：?=?=?=32，

27、解得 a，b，c 值，可得椭圆 C 的方程；（2）设点 A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程 ykx+?代入?24+x21，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k 值解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：?=?=?=32，解得?=?=?所以 b2a2c2431，故所求椭圆C 的方程为?24+x21（2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点 A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 l 的方程 ykx+?代入?24+x21，并整理，得（k2+4）x2+2?kx 10（*）则 x1+x2=-23?2+4，x1x2=-1?2+

28、4因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以?=0，即 x1x2+y1y20又 y1y2k2x1x2+?k（x1+x2）+3，于是-1+?2?2+4-6?2?2+4+30，解得 k 112，经检验知：此时（*）式的 0，符合题意所以当 k 112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O21已知函数f（x）4x+a?2x+3，a R（1）当 a 4 时，且 x 0，2，求函数f（x）的值域；（2）若 f（x）0 在（0，+）对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围【分析】（1）把 a 4 代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；（2）令 t 2x，由 x 的范围得到

29、t 的范围，则问题转化为t2+at+30 在 t（1，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可解：（1）当 a 4 时，令 t2x，由 x 0，2，得 t 1，4，yt24t+3（t2）21当 t2 时，ymin 1；当 t 4时，ymax3函数 f（x）的值域为 1，3；（2）设 t 2x，则 t 1，f（x）0 在（0，+）对任意的实数x 恒成立等价于 t2+at+30 在 t（1，+）上恒成立，a（t+3?）在（1，+）上恒成立，a（t+3?）max，设 g（t）（t+3?），t 1，函数 g（t）在（1，?）上单调递增，在（?，+）上单调递减g（t）max g（?）2?，a 2?22

30、已知函数f（x）x22x+alnx（a R）（）当a2 时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0 时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】（）求当a2 时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出 f（x）的导数，令 f（x）0，得 2x2 2x+a0，对判别式讨论，即当?12时，当?12时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（）函数 f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得?12，不等式 f（x1）mx2恒成立即为?(?

31、1)?2m，求得?(?1)?2=1 x1+1?1-1+2x1lnx1，令h（x）1x+1?-1+2xlnx（0 x12），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得 m 的范围解：（）当a2 时，f（x）x22x+2lnx，?(?)=?-?+2?，则 f（1）1，f（1）2，所以切线方程为y+12（x1），即为 y2x3（）?(?)=?-?+?=2?2-2?+?（x0），令 f（x）0，得 2x22x+a0，（1）当 48a0，即?12时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当 48a0 且 a0，即?12时，由 2x2 2x+a0，得?，?=11-2?2，由

32、f（x）0，得?1-1-2?2或?1+1-2?2；由 f（x）0，得1-1-2?2?1+1-2?2综上，当?12时，f（x）的单调递增区间是（0，+）；当?12时，f（x）的单调递增区间是(?，1-1-2?2)，(1+1-2?2，+)；单调递减区间是(1-1-2?2，1+1-2?2)（）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得?12，由 f（x）0，得 2x22x+a0，则 x1+x21，?=1-1-2?2，?=1+1-2?2，由?12，可得?12，12?，?(?1)?2=?12-2?1+?1?2=?12-2?1+(2?1-2?12)?1?2=?12-2?1+(2?1-2?12)?11-?1=1 x1+1?1-1+2x1lnx1，令 h（x）1 x+1?-1+2xlnx（0 x12），h（x）1-1(?-1)2+2lnx，由 0 x12，则 1 x1-12，14（x1）21，4-1(?-1)2-1，又 2lnx 0，则 h（x）0，即 h（x）在（0，12）递减，即有 h（x）h（12）=-32-ln2，即?(?)?-32-ln 2，即有实数m 的取值范围为（，-32-ln 2