2019-2020学年北京市东城区八年级上学期期末数学真题试卷(学生版+解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10 个小题）1在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一数字0.0009 用科学记数法表示应为()A49 10B39 10C30.910D40.9102下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A()m abmambB23313(1)1xxx xC232(1)(2)xxxxD22(2)44aaa3如图是 33的正方形网格，其中已有2 个小方格涂成了黑色现在要从编号为?的小方格中选出1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()ABCD4下列各式计算正

2、确的是()A2133aaagB2 36()ababC22(2)4xxD824623xxx5对于任意的实数x，总有意义的分式是()A251xxB231xxC218xxD21x6如图，ABC 中，40A，AB 的垂直平分线分别交AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为()A 40B 50C 80D 1007若分式2213xx的值为正数，则x 需满足的条件是()A x 为任意实数B12xC12xD12x8已知ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点 M 一定在()AA的平分线上B AC 边的高上C BC 边的垂

3、直平分线上D AB 边的中线上9如图，已知MON 及其边上一点A以点 A为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM，ON 于点 B 和 C 再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B 错误的结论是()AAOCABCSSB90OCBC30MOND2OCBC10已知 OP 平分AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合在OB 上确定点 N，使 QNQM，则满足条件的点N 的个数为()A1 个B2 个C1 或 2个D无数个二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）11因式分解：39aa12已知2 是关于 x 的分式方程23xkxx的根，则实数k 的值为1

4、3如图，BE 与 CD 交于点 A，且CD 添加一个条件：，使得ABCAED 14如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A，C 重合，折痕为EF 若28BAE，则AEF 的大小为15如图，等边ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且4AD，E，P 分别是 AC，AD 上的动点，则CPEP 的最小值等于16我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例这个三角形给出了()(1nabn，2，3，4，5，6)的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）222()2abaabb展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好

5、对应着）4432234()464abaa ba babb展开式中各项的系数（1）5()ab展开式中4a b 的系数为；（2）7()ab展开式中各项系数的和为三、解答题（本题共68 分，第 17-22 题，每小题5 分，第 23-26 题，每小题5 分，第 27-28题，每小题5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17计算：323xxx18下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程已知：线段m，n 及O 求作：ABC，使得线 段m，n及O分别是它的两边和一角作法：如图，以点 O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交O 的两边于点M，N；画一条射线AP，以点 A为圆心，m 长

6、为半径画弧，交AP 于点 B；以点 B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；画射线 AD；以点 A 为圆心，n长为半径画弧，交AD 于点 C；连接 BC，则ABC 即为所求作的三角形请回答：（1）步骤 得到两条线段相等，即；（2）AO 的作图依据是；（3）小红说小明的作图不全面，原因是19计算：201()16(5)|53|320 如 图，在ABC 和ADE 中，BACDAE，ADAE 连 接 BD，CE，ABDACE 求证：ABAC 21计算：2()()()4()2mn mnmnm mnm22解方程：215124xxx23在三角形纸片ABC 中，90B，30A，4AC，点

7、E 在 AC 上，3AE将三角形纸片按图1 方式折叠，使点 A的对应点A 落在 AB 的延长线上，折痕为 ED，A E 交 BC于点 F（1）求CFE 的度数；（2）如图 2，继续将纸片沿BF 折叠，点 A 的对应点为A，A F 交 DE 于点 G 求线段 DG的长24如图，ABC（1）尺规作图：过点C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O 不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上 若7.5AB，4.5OC，45A，写出点 B 关于 y 轴的对称点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，求ACD 的面积25先化简，再求值：2

8、2214()2442aaaaaaaa，其中 a 是满足|3|3aa 的最大整数26列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000 平方米增加到330000 平方米 参展企业比首届多了约300 家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参展企业数量企业平均展览面积（

9、平方米）首届270000 x第二届330000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）27在ABC 中，ABBC，直线 l 垂直平分AC（1）如图 1，作ABC 的平分线交直线l 于点 D，连接 AD，CD 补全图形；判断BAD 和BCD 的数量关系，并证明（2）如图2，直线 l 与ABC 的外角ABE 的平分线交于点D，连接 AD，CD 求证：BADBCD 28 对于ABC 及其边上的点P，给出如下定义：如果点1M，2M，3M，nM都在ABC的边上，且123nPMPMPMPM，那么称点1M，2M，3M，nM为ABC关于点 P 的等距点，线段1PM，2PM，3PM，nPM为ABC 关于点 P

10、的等距线段（1）如图 1，ABC 中，90A，ABAC，点 P 是 BC 的中点点 B，CABC 关于点 P 的等距点，线段 PA，PBABC 关于点 P 的等距线段；（填“是”或“不是”)ABC 关于点 P 的两个等距点1M，2M分别在边AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段1PM，2PM；（2）ABC 是边长为4 的等边三角形，点P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点，且1PC，求线段DC 的长；（3）如图2，在 RtABC 中，90C，30B点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 若 BCa，直接写出PC

11、 长的取值范围（用含 a 的式子表示）参考答案一、选择题（本题共20 分，每小题2 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一数字0.0009 用科学记数法表示应为()A49 10B39 10C30.910D40.910解：数字 0.0009 用科学记数法表示应为4910故选：A 2下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A()m abmambB23313(1)1xxx xC232(1)(2)xxxxD22(2)44aaa解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B

12、、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C 3如图是 33的正方形网格，其中已有2 个小方格涂成了黑色现在要从编号为?的小方格中选出1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()ABCD解：要从编号为?的小方格中选出1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是，故选：D 4下列各式计算正确的是()A2133aaagB2 36()ababC22(2)4xxD824623xxx解：2133aaaQg，故本选项符合题意；2 336()aba bQ，故本选项不符合题意；2

13、2(2)44xxxQ，故本选项不符合题意；826623xxxQ，故本选项不符合题意；故选：A 5对于任意的实数x，总有意义的分式是()A251xxB231xxC218xxD21x解：A、当1x时，251xx无意义，故此选项错误；B、无论 x 为何值，210 x，则231xx总有意义，故此选项正确；C、当0 x时，218xx无意义，故此选项错误；D、当1x时，21x无意义，故此选项错误；故选：B 6如图，ABC 中，40A，AB 的垂直平分线分别交AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为()A 40B 50C 80D 100解：DEQ是 AB 的垂直平分线，EAEB，40EBAA

14、，80BECEBAA，故选：C 7若分式2213xx的值为正数，则x 需满足的条件是()A x 为任意实数B12xC12xD12x解：Q 分式2213xx的值为正数，23x恒为正数，210 x，12x故选：C 8已知ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点 M 一定在()AA的平分线上B AC 边的高上C BC 边的垂直平分线上D AB 边的中线上解：作射线 AM，由题意得，MGMH，MGAB，MHAC，AM 平分BAC，故选：A 9如图，已知MON 及其边上一点A以点 A为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM，ON 于

15、点 B 和 C 再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B 错误的结论是()AAOCABCSSB90OCBC30MOND2OCBC解：由题意可知 OAACABBC，ABC 是等边三角形，60CAB，30MONOCA，306090OCBAOCABCSS，A，B，C，正确故选：D 10已知 OP 平分AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合在OB 上确定点 N，使 QNQM，则满足条件的点N 的个数为()A1 个B2 个C1 或 2个D无数个解：如图，过点 Q 作 EQOA 于点 E，作 QFOB 于 F，OPQ平分AOB，AOPBOP，且 OQ

16、QO，90OEQOFQ，()OEQOFQ AASEQQF，若点 M 与点 E 重合，则点N 与点 F 重合，此时满足条件的点N 的个数为1 个，若点 M 与点 E 不重合，则以Q 为圆心，MQ 为半径作圆，与OB 有两个交点N，N，此时满足条件的点N 的个数为2 个，故选：C 二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）11因式分解：39aa(3)(3)a aa解：原式2(9)a a(3)(3)a aa，故答案为：(3)(3)a aa12已知2 是关于 x 的分式方程23xkxx的根，则实数k 的值为2解：将2x代入分式方程23xkxx，可得：24k，解得：2k，故答案为213如图，BE 与 C

17、D 交于点 A，且CD 添加一个条件：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：ACAD，使得ABCAED 解：已知CD BACEAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：ACAD 14如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A，C 重合，折痕为EF 若28BAE，则AEF 的大小为59解：90BAEEAFQ，28BAE，902862EAF/AFBEQ，62AEBEAF由折叠的性质，可知：AEFC EF 180AEBAEFC EFQ，11(180)(18062)5922AEFAEB故答案为：5915如图，等边ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且4

18、AD，E，P 分别是 AC，AD 上的动点，则CPEP 的最小值等于4解：作点 E 关于 AD 的对称点 F，连接 CF，ABCQ是等边三角形，AD 是 BC 边上的中线，ADBC，AD 是 BC 的垂直平分线，点 E 关于 AD 的对应点为点F，CF 就是 EPCP 的最小值ABCQ是等边三角形，E 是 AC 边的中点，F 是 AB 的中点，CF 是ABC 的中线，4CFAD，即 EPCP 的最小值为4，故答案为：416我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例这个三角形给出了()(1nabn，2，3，4，5，6)的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律例如，第

19、三行的三个数1，2，1，恰好对应）222()2abaabb展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）4432234()464abaa ba babb展开式中各项的系数（1）5()ab展开式中4a b 的系数为5；（2）7()ab展开式中各项系数的和为解：（1）由图可得：554322345()510105abaa ba ba babb；4a b 的系数为5，故答案为：5；（2）1()abQ的展开式的各项系数之和11122，2()ab的展开式的各项系数之和212142，3()ab的展开式的各项系数之和3133182，4()ab的展开式的各项系数之和414641162，()(

20、nabn取正整数）的展开式的各项系数之和是2n，7()ab展开式中各项系数的和为72128 故答案为：128三、解答题（本题共68 分，第 17-22 题，每小题5 分，第 23-26 题，每小题5 分，第 27-28题，每小题5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17计算：323xxx解：原式2(3)3(2)6(2)(3)(2)(3)x xxxxxxx18下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程已知：线段m，n 及O 求作：ABC，使得线 段m，n及O分别是它的两边和一角作法：如图，以点 O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交O 的两边于点M，N；画一条射线AP，以

21、点 A为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点 B；以点 B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；画射线 AD；以点 A 为圆心，n长为半径画弧，交AD 于点 C；连接 BC，则ABC 即为所求作的三角形请回答：（1）步骤 得到两条线段相等，即BD；（2）AO 的作图依据是；（3）小红说小明的作图不全面，原因是解：（1）BD，MN（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论故答案为 BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论19计算：201()16(

22、5)|53|3解：201()16(5)|53|3941359520 如 图，在ABC 和ADE 中，BACDAE，ADAE 连 接 BD，CE，ABDACE 求证：ABAC【解答】证明：BACDAEQ，BACCADDAECAD，即BADCAE，在BAD 和CAE 中，BADCAEABDACEADAE()BADCAE AAS，ABAC 21计算：2()()()4()2mn mnmnm mnm解：2()()()4()2mn mnmnm mnm22222(244)2mnmmnnmmnm2(22)2mmnmmn22解方程：215124xxx解：去分母得：223245xxx，解得：13x，经检验13x是

23、原方程的解23在三角形纸片ABC 中，90B，30A，4AC，点 E 在 AC 上，3AE将三角形纸片按图1 方式折叠，使点 A的对应点A 落在 AB 的延长线上，折痕为 ED，A E 交 BC于点 F（1）求CFE 的度数；（2）如图 2，继续将纸片沿BF 折叠，点 A 的对应点为A，A F 交 DE 于点 G 求线段 DG的长解：（1）Q 将三角形纸片按图1 方式折叠，使点A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上，AA，AEA E，30AQ，30A，90A BFQ，60A FB，CFEAFBQ，60CFE；（2）Q 点 A 与点 A 关于直线 DE 对称，DEAA 30AQ，3AE，132

24、2DEAE，由（1）知，60CFE，60C，CFE 是等边三角形1EFCEACAE，同理，EFG 也是等边三角形，1EGEF，12DGDEEG24如图，ABC（1）尺规作图：过点C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O 不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上 若7.5AB，4.5OC，45A，写出点 B 关于 y 轴的对称点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，求ACD 的面积解：（1）如图所示：即为所求作的图形；（2）COQ是 BD 的垂直平分线，ODOB，45AQ，45ACO，4.5OAOC，7.54.53OBOD，

25、(3,0)D；（3）11392722228ACDSAD COg25先化简，再求值：22214()2442aaaaaaaa，其中 a 是满足|3|3aa 的最大整数解：原式2212(2)(2)4aaaa aaag，22(2)(2)(1)2(2)(2)4aaa aaa aa aag，22242(2)4aaa aa aag，242(2)4aaa aag，1(2)a a，212aa，aQ是满足|3|3aa 的最大整数，30a，3a,3a，当3a时，原式11961526列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行与首届相比，第二届进博会的展

26、览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000 平方米增加到330000 平方米 参展企业比首届多了约300 家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参展企业数量企业平均展览面积（平方米）首届270000270000 xx第二届330000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）解：（1）届别总面积（平方米）参展企业数量企业展平均面积（平方米）首届270 000270000 xx第二届330 0

27、00330000(112.8%)x(112.8%)x故答案为：270000 x，330000(112.8%)x，(1 12.8%)x；（2）由题意可得：270000330000300(112.8%)xx27在ABC 中，ABBC，直线 l 垂直平分AC（1）如图 1，作ABC 的平分线交直线l 于点 D，连接 AD，CD 补全图形；判断BAD 和BCD 的数量关系，并证明（2）如图2，直线 l 与ABC 的外角ABE 的平分线交于点D，连接 AD，CD 求证：BADBCD 解：（1）补全图形；结论：180BADBCD，理由如下：过点D 作 DEAB 于 E，作 DFBC 交 BC 的延长线于F

28、，则90AEDCFDBDQ平分ABC，DEDF Q 直线 l 垂直平分AC，DADC，在 Rt ADE 和 Rt CDF 中，DADCDEDFRtADERtCDF(HL)BADFCD 180FCDBCDQ，180BADBCD；（2）结论：BADBCD，理由如下：过点D 作 DNAB 于 N，作 DMBE 于 M，则90ANDCMDBDQ平分ABE，DMDN Q 直线 l 垂直平分AC，DADC，在 Rt ADN 和 RtCDM 中，DADCDNDMRt ADNRt CDM(HL)BADBCD 28 对于ABC 及其边上的点P，给出如下定义：如果点1M，2M，3M，nM都在ABC的边上，且123

29、nPMPMPMPM，那么称点1M，2M，3M，nM为ABC关于点 P 的等距点，线段1PM，2PM，3PM，nPM为ABC 关于点 P 的等距线段（1）如图 1，ABC 中，90A，ABAC，点 P 是 BC 的中点点 B，C是ABC 关于点 P 的等距点，线段PA，PBABC 关于点 P 的等距线段；（填“是”或“不是”)ABC 关于点 P 的两个等距点1M，2M分别在边AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段1PM，2PM；（2）ABC 是边长为4 的等边三角形，点P 在 BC 上，点 C，D 是ABC 关于点 P 的等距点，且1PC，求线段DC 的长；（3）如图2，在

30、 RtABC 中，90C，30B点 P 在 BC 上，ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 若 BCa，直接写出PC 长的取值范围（用含 a 的式子表示）解：（1）Q 点 P 是 BC 的中点，PBPC，点 B，C 是ABC 关于点 P 的等距点；ABACQ，PABC，PAPB，线段 PA，PB 不是ABC 关于点 P 的等距线段；故答案为：是，不是；作1PMAB 于1M，2PMAC 于2M，连接 PA，如图 11所示：ABACQ，点 P 是 BC 的中点，PA 平分BAC，12PMPM；由垂线段最短可知：1PM，2PM是ABC 关于点 P 等距线段最短的线段；（2）如图

31、12，以 P 为圆心，PC 长为半径作圆P，交 AC 于 D，交 BC 于 D，连接 PD，则1PDPCPD，2CDPCPD；ABCQ是等边三角形，4BCAC，60C，PCD 是等边三角形，1CDPC；即线段 DC 的长为 2 或 1；（3）当1122PCBCa 时，当 P 为 BC 的中点，则PBPC，B、C 是，ABC 关于点 P 的等距点，作 PEAB 于 E，截取 EFEB，连接 PF，如图 2 所示：则12PFPBa，30BQ，1124PEBPa，AB 边上存在2 个ABC 关于点 P 的等距点，ABCQ关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 12PCBC，即2aPC；当1133PCBCa 时，23PBa，1123PEBPa，则ABC 关于点 P 的等距点有2 个在 BC 上，有 1 个在 AB 上，ABCQ关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 13PCBC，PC 长的取值范围是32aaPC