2019-2020学年北京市101中学高一下学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京市101 中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共10 小题）.1已知角的终边经过点P（3，4），则 sin 2已知 f（x）cos2x sin2x，则 f（x）的最小正周期是3已知 A（1，2），B（2，3），C（2，5），则；4在 ABC 中，a2，b2，A30，则角B5设 ，是两个不同的平面，1 是直线且1?，则“1”是“”的条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）6如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积为60，E 为 CC1的中点，则三棱锥EBCD 的体积是7若在 ABC 中，A60，b 1，SABC，则8已知三棱柱ABC

2、A1B1C1的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB3cm，AC4cm，ABAC，AA112cm，则球 O 的表面积为cm29 如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若，则的值是10如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1 的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是二、选择题（共5 小题）.11设向量，满足|2，|1，60，则|+2|（）A2 B2 CD1212下列函数中，周期为1 的奇函数是（）Ay12sin2 xBCDysin xcos x13要想得到函数的图象，只需将函数ysinx 的图象上所有的点（）A先向右平移个单位长度，再将横坐

3、标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变B先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D横坐标变伸长原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度14在 ABC 中，sin2（a、b、c 分别为角A、B、C 的对边），则ABC 的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形15在正方体AC1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A点 F 的轨迹是一条线段B A1F 与 BE 是异面直线CA1F 与 D1E 不可能

4、平行D三棱锥FABD1的体积为定值三、解答题共5小题，共55 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16已知函数f（x）2sin（2x）（1）求函数 f（x）的对称轴；（2）当 x 0，时，求函数f（x）的最大值与最小值17在 ABC 中，a，b，c 分别是角AB，C 的对边，且c（1）求 b 的值（2）ABC 的面积18如图，三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，F 分别为棱AB，BC，C1B1中点（1）求证：AC1平面 B1DE；（2）求证：AF 平面 B1DE19已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 acosC+cb（1）求角 A 的大小；（2）若 a1，求 A

5、BC 周长 l 的最大值20如图 1，在 ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，BC4 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使得平面A1DE 平面 BCED，F 为 A1C的中点，如图2（）求证：EF平面 A1BD；（）求证：平面A1OB平面 A1OC；（）线段OC 上是否存在点G，使得 OC平面 EFG？说明理由参考答案一、填空题共10 道小题每道小题4分，共 40 分1已知角的终边经过点P（3，4），则 sin【分析】由三角函数的定义可直接求得sin 解：知角a 的终边经过点P（3，4），sin 故答案为：2已知 f（x）cos2x sin2x，

6、则 f（x）的最小正周期是【分析】利用二倍角的余弦函数以及函数的周期求解即可解：函数f（x）cos2xsin2xcos2x，函数的周期为：故答案为：3已知 A（1，2），B（2，3），C（2，5），则0；【分析】首先求出、的坐标，而后可求?0解：（1，1），（3，3），?1（3）+130故答案为：04在 ABC 中，a2，b2，A30，则角B60或 120【分析】由已知及正弦定理可求sinB 的值，结合范围B（30，180），可求 B 的值解：，A30，由正弦定理，可得：sinB，ba，可得：B（30，180），B60或 120故答案为：60或 1205设 ，是两个不同的平面，1 是直线且1?

7、，则“1”是“”的充分不必要条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直根据题意由判断定理得l?若 ，直线l?则直线l ，或直线l，或直线 l 与平面 相交，或直线l 在平面 内由 ，直线 l?得不到 l，故可得出结论解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直因为直线l?，且 l 所以由判断定理得 所以直线l?，且 l?若 ，直线 l?则直线 l，或直线l，或直线l 与平面 相交，或直线l 在平面内所以“l”是“”成立的充分不必要条件故答案为：充分不必要6如图，长方体ABC

8、D A1B1C1D1的体积为60，E 为 CC1的中点，则三棱锥EBCD 的体积是5【分析】设ABa，AD b，AA1c，由题意可得abc60，再由棱锥体积公式求得三棱锥 EBCD 的体积解：在长方体ABCD A1B1C1D1中，设 AB a，AD b，AA1c，由题意可得，abc 60，E 为 CC1的中点，故答案为：57若在 ABC 中，A60，b 1，SABC，则【分析】又A 的度数求出sinA 和 cosA 的值，根据sinA 的值，三角形的面积及b 的值，利用三角形面积公式求出c 的值，再由cosA，b 及 c 的值，利用余弦定理求出a 的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式

9、子的比值解：由 A60，得到sinA，cosA，又 b1，SABC，bcsinA1c，解得 c4，根据余弦定理得：a2b2+c22bccosA1+16413，解得 a，根据正弦定理，则故答案为：8已知三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O 的球面上，若AB3cm，AC4cm，ABAC，AA112cm，则球 O 的表面积为169cm2【分析】由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面 ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积解：由题意，三棱柱 ABCA

10、1B1C1为直三棱柱ABC A1B1C1，底面 ABC 为直角三角形，把直三棱柱ABC A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为13，则三棱柱ABC A1B1C1外接球的表面积是4 R2169 cm2故答案为：169 9 如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若，则的值是【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果解：，|，|1，|1，（）（）2+2，故答案为：10如图，以正方形的各边为底可向外作四个

11、腰长为1 的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是2+2【分析】由三角函数的定义设等腰三角形的底角为，则 （0，），则等腰三角形的底边为2cos，高为 sin，由二倍角公式及辅助角公式S阴（2cos）2+42sin2+2cos2+22sin（2+）+2，再求函数的最大值即可解：设等腰三角形的底角为，则 （0，），则等腰三角形的底边为2cos，高为 sin，则 S阴（2cos）2+42sin2+2cos2+22sin（2+）+2，又 2（，），当 2，即时，S阴取最大值2+2，故答案为：2+2二、选择题共5道小题，每道小题5 分，共 25 分每道小题给出的选项中有且仅有一个选项正确11设向量，满足

12、|2，|1，60，则|+2|（）A2 B2 CD12【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可解：向量，满足|2，|1，60，则|+2|24+41+412，则|+2|2故选：B12下列函数中，周期为1 的奇函数是（）Ay12sin2 xBCDysin xcos x【分析】对A 先根据二倍角公式化简为ycos2 x 为偶函数，排除；对于B 验证不是奇函数可排除；对于C 求周期不等于1 排除；故可得答案解：y1 2sin2 xcos2 x，为偶函数，排除A对于函数，f（x）sin（2 x+）sin（2 x+），不是奇函数，排除B对于，T1，排除 C对于 ysin xcos xsin2 x

13、，为奇函数，且T，满足条件故选：D13要想得到函数的图象，只需将函数ysinx 的图象上所有的点（）A先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变B先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D横坐标变伸长原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论解：将函数 ysinx 的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得 ysin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得ysin2（x）sin（2x）故选：C14在 ABC 中，sin2（a、b、c 分别为

14、角A、B、C 的对边），则ABC 的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【分析】由倍角公式化简已知可得，结合余弦定理可得，可得：a2+b2c2，即可判定得解解：sin2，cosB，又由余弦定理可得cosB，可得：a2+b2c2，三角形为以C 为直角的直角三角形故选：A15在正方体AC1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A点 F 的轨迹是一条线段B A1F 与 BE 是异面直线CA1F 与 D1E 不可能平行D三棱锥FABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平

15、行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断解：对于A设平面AD1E 与直线 BC 交于点 G，连接 AG、EG，则 G 为 BC 的中点分别取 B1B、B1C1的中点 M、N，连接 AM、MN、AN，则A1MD1E，A1M?平面 D1AE，D1E?平面 D1AE，A1M平面 D1AE同理可得MN平面 D1AE，A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线平面 A1MN 平面 D1AE，由此结合A1F平面 D1AE，可得直线A1F?平面 A1MN，即点 F 是线段 MN 上上的动点A 正确对于 B平面A1MN 平面 D1AE，BE 和平面 D1AE 相交，A1F 与 BE 是异面直

16、线，B 正确对于 C，由 A 知，平面A1MN 平面 D1AE，A1F 与 D1E 不可能平行，C 错误对于 D，因为 MN EG，则 F 到平面 AD1E 的距离是定值，三棱锥FAD1E 的体积为定值，所以D 正确；故选：C三、解答题共5小题，共55 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16已知函数f（x）2sin（2x）（1）求函数 f（x）的对称轴；（2）当 x 0，时，求函数f（x）的最大值与最小值【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值解：（1）函数 f（x）2sin（2x）令 2x（

17、k Z），解得 x（k Z），所以函数f（x）的对称轴方程为：x（k Z）（2）由于 x 0，所以，故 sin（2x）则：1f（x）2故：当 x0 时，函数的最小值为1当 x时，函数的最大值为217在 ABC 中，a，b，c 分别是角AB，C 的对边，且c（1）求 b 的值（2）ABC 的面积【分析】（1）由 A 与 C 度数求出B 的度数，再由c 及 C 的度数，利用正弦定理求出b的值即可；（2）由 b，c 及 sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积解：（1）A105，C30，B45，又 c，sinC，由正弦定理得：b2；（2）b2，c，sinAsin105 sin（

18、60+45）sin60cos45+cos60sin45，SABCbcsinA 218如图，三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，F 分别为棱AB，BC，C1B1中点（1）求证：AC1平面 B1DE；（2）求证：AF 平面 B1DE【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证DE AC，进而利用线面平行的判定定理即可证明AC平面 B1DE（2）由已知可证B1ECF 是平行四边形，进而证明FC B1E，利用线面平行的判定证明FC平面B1DE，根据面面平行的判定证明平面ACF 平面B1DE，根据面面平行的性质即可可证AF平面 B1DE【解答】证明：（1）在 ABC 中，D，E 分别为棱AB，BC

19、 中点所以 DEAC，因为 DE?平面 B1DE，AC?平面 B1DE，所以 AC平面 B1DE（2）在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，因为 E，F 分别为 BC，C1B1中点，所以 CEB1F，所以 B1ECF 是平行四边形，所以 FC B1E，因为 FC?平面 B1ED，B1E?平面 B1ED，所以 FC 平面 B1DE，又因为 AC平面 B1DE，ACCF C，所以平面ACF 平面 B1DE，所以 AF 平面 B1DE19已知 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 acosC+cb（1）求角 A 的大小；（2）若 a1，求 ABC 周长 l 的最大值【分析】（

20、1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cosA 的值，可得A 的值（2）利用正弦定理求得b、c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长 l 的最大值解：（1）ABC 中，由正弦定理可得sinAcosC+sinCsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，sinCcosAsinC，cosA结合 A（0，），可得A（2）由正弦定理得，周长，故 ABC 的周长 l 的最大值为320如图 1，在 ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，BC4 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使得平面A1D

21、E 平面 BCED，F 为 A1C的中点，如图2（）求证：EF平面 A1BD；（）求证：平面A1OB平面 A1OC；（）线段OC 上是否存在点G，使得 OC平面 EFG？说明理由【分析】（）取线段A1B 的中点H，连接 HD，HF，推导出四边形DEFH为平行四边形，从而EF HD 由此能证明EF平面 A1BD（）推导出A1ODE，COA1O，COBO，从而CO平面A1OB，由此能证明平面 A1OB平面 A1OC（）假设线段OC 上存在点G，使得 OC平面 EFG，连接GE，GF，则必有OCGF，且 OCGE推导出EOEC，这与EO1，矛盾，从而线段OC 上不存在点 G，使得 OC平面 EFG【

22、解答】（本小题满分14 分）证明：（）取线段A1B 的中点 H，连接 HD，HF（1 分）因为在 ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以DE BC，因为H，F 分别为 A1B，A1C 的中点，所以HF BC，所以HF DE，HF DE，所以四边形 DEFH为平行四边形，所以EFHD 因为EF?平面 A1BD，HD?平面 A1BD，所以EF 平面 A1BD（）因为在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以ADAE所以 A1D A1E，又 O 为 DE 的中点，所以A1ODE 因为平面A1DE平面 BCED，且 A1O?平面 A1DE，所以A1O平面 BCED，所以COA1O在 OBC 中，BC4，OBOC 2，所以COBO，所以CO平面 A1OB，所以平面 A1OB平面 A1OC解：（）线段OC 上不存在点G，使得 OC平面 EFG 否则，假设线段OC 上存在点G，使得 OC平面 EFG，连接GE，GF，则必有OCGF，且 OCGE在 Rt A1OC 中，由 F 为 A1C 的中点，OCGF，得 G 为 OC 的中点在 EOC 中，因为OCGE，所以 EOEC，这与 EO1，矛盾！所以线段OC 上不存在点G，使得 OC平面 EFG