(最新)平面向量知识归纳和题型总结材料.pdf

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1、实用文档文案大全平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离 等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量

2、的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量ar与向量br共线,当且仅当存在唯一一个实数,使barr。延伸结论:,A B C三点共线/ABACuuu ru uu r当且仅当有唯一R,使ABACuuu ruuu r4.平面向量的基本定理实用文档文案大全如果12,e eu r u u r是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量ar,有且只有一对实数1,2使:1122aeeru ru u r,其中不共线的向量12,e eu r u u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知12,e eu r u u r是平面向量的一组基底,1

3、 1122122,ax ey e bx ey eru ru u r ru ru u r,若abrr当且仅当12xx且12yy.若0,arr则120 xx.（2）如图,OA OBu uu r uuu r为单位向量，|2 3OCuuu r，其中,OA OBuuu r u uu r的夹角为120o，,OA OCuu u r uu u r的夹角为30o。若OCOBOAuuu ru uu ru uu r，求,的值。5.一个常用结论:ABC中,M为边BC的中点,则有:2AMABACuuuu ruuu ru uu r.练习:设ABC的重心为点G,设,.ABa ACbu uu rr uuu rr试用,a br

4、 r表示AGuuu r.典型例题分析:知识点一:基本概念例 1.1.如果12,e eu r u u r是平面内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有()12uruu ree(,R)可以表示平面内的所有向量;平面内的所有向量都可以表示成12u ru u ree(,R)。对于平面中的任一向量a使12ru ru u raee的,有无数多对;若向量1112u ruu ree与2122u ruu ree共线,则有且只有一个kR,21221112()ku ruu ru ru u reeee若实数,使12u ru u ree0r,则0.A.B.C.D.练习:1)判断下列命题的真假(1)向量AB与向量CD为共

5、线向量,则DCBA,四点共线.(2)若ABCD则四边形ABCD为平行四边形.(3)若向量abrr,bcrrP则acrrP.(4),a br r是两个向量,则|ababrrrr当且仅当,a br r不共线时成立知识点二:向量的线性运算例 1.化简:(1);ABBCCAuuu ruuu ruu u r(2)();ABMBBOOMu uu ru uu ruuu ruuuu r(3);OAOCBOCOu uu ruuu ruu u ruuu r(4);ABACBDCDu uu ruuu ru uu ru uu r(5);OAODADuuu ruuu ruuu r(6);ABADDCuuu ruuu r

6、uuur(7).NQQPMNMPuuu ru uu ru uu u ruuu r例2.如 图,四 边 形ABCD,E,F分 别 为AD,BC的 中 点,求 证:2ABDCEFuuuruuuu ruuu r.练习:（1)已知ABC三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PAPBPCABuuu ruuu ruuuruuur,则()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P在线段BC上(2)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点,则OAOBOCODuu u ruuu ruu u ruuu r=.2 C.3OM D.4AOMBOMOMuuuu ruuuu ru uu

7、u ruuu u r实用文档文案大全知识点三:平面向量基本定理和共线定理例 1.1）已知12,e eu r u u r为不共线向量,1232,aeeru ru u r122,beeru ru u r1274ceeru ru u r用,a br r表示cr.2)设1eu r,2eu u r是两个不共线的向量,已知122ABekeuuu ru ru u r,1223CBeeuuu ru ru u r,122CDeeuuu u ru ru u r若A,B,D三点共线,求k的值.例 2.证明:平面内三点,A B C共线存在两个均不为0的实数,m n,使,OAmOBnOCuuu ruuu ruuu r且

8、1.mn练习:证明:平面内三点,A B C共线存在三个均不为0的实数,l m n,使0,lOAmOBnOCuu u ru uu ruu u rr且0.lmn向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾:1、已知向量,a br r其中1122(,),(,)ax ybxyrr:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法1212(,)abxxyyrr实数 与向量ar的积是一个向量,记作 ar实数与向量的积1112(,)(,)ax yxxra br rco

9、s,a ba br rr r数量积a brra br r2121yyxx存在唯一的实数，使abrr（0brr）向量/abrr(0)brr12212121yxyxyyxx0a br r向量abrr02121yyxxar2ar(22aarr)向量的模arar2121yxcos,a br ra ba br rr r向量夹角 121222221122cos,x xy ya bxyxyr r/ABBCu uu ruu u rBCABCBA,三点共线,1OAxOByOCxyuuu ruuu ruuu r且练习:1、判断下列命题的真假1）若向量/abrr,/bcrr,则/acrr.2）若,a bb cr r

10、r r则acrr3）()(),a bcab cr rrrr r4）222()2abaa bbrrrr rr5）ababrrrr6）00,00aar rrr2、已知(4,2),(,3)abxrr.若/abrr,则x;若abrr,则x.3、已知),3,7(),1,4(BA则与ABuuu r同向的单位向量是,与ABuuu r平行的单位向量是.4、已知点(1,5)A和向量(2,3)ar,若3ABauu u rr,则点B的坐标为5、已知(5,5),(6,3)abrr,(1,8)cr,若ambncrrr,求实数.,nm6、已知(1,0),(2,1)abrr,则|3|abrr7）下列各组向量中,可以作为平面

11、基底的是（）A.12(0,0),(2,1)eeu ru u r B.12(4,6),(6,9)eeu ru u r实用文档文案大全C.12(2,5),(6,4)eeu ru u r D.1213(2,3),(,)24eeu ru u r8）已知/abrr,3,4,abrr则ar在br方向上的投影为二、典型例题讲解例 1:1）已知3,4,abrrar与br的夹角为43,求:（1）ar在br方向上的投影（2）(32)(2)ababrrrr（3）abrr2）4、在直角ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是（）A.2|ACAC ABuuu ru uu r uu u rB.2|BCBA B

12、Cuu u ruu u r u uu rC.2|ABAC CDuu u ruuu r uuu rD.22|AC ABBA BCCDABuu u r uuu ruu u r uuu ru uu ruu u r（）（）3）已知向量21,ee夹角为o60，baetebeeaee与若212121,72,1,2的夹角为锐角，求t的范围。练习:1）已知向量ar,br满足1,2,2,ababrrrr则abrr2）在ABC中，已知8,7,120,ABBCABCo求边AC的长度例 2:1）已知(2,3),A(4,3)B,点P在线段AB的延长线上,且3|2APPBuu u ruuu r,求点P的坐标（若点P在直线

13、AB上）2）在ABC中,点P在BC上,且PCBP2,点Q是AC的中点,若),3,4(PA)5,1(PQ,则BC例 3:已知向量)21,sin(am,)cos,21(n.（）当22a,且nm时,求2sin的值;（）当0a,且mn时,求tan的值.解:（）当22a时,)21,sin22(m,nm,由0nm,得22cossin,3 分上式两边平方得212sin1,因此,212sin.6 分（）当0a时,)1,sin(m,由mn得41cossin.即212sin.9 分2tan1tan22sin,32tan或32.12 分例 4、已知向量)2sin,2(cos),23sin,23(cosxxbxxa.

14、且2,0 x实用文档文案大全1)当ba时,求x的集合;2)求ba;3）求函数4|ya babr rrr的最小值4）求函数2|ya babr rrr的最小值5）若babaxf2的最小值是23,求实数的值.练习:1）设,a br r是不共线的两非零向量,若|abrr,且,a br r夹角为60o,求t为何值时,|atbrr的值最小.2）已知向量ar=33(cos,sin),22xxbr=(cos,sin)22xx且x,3 4.（1）求arbr及|ar+br|;(2)若()f x=arbr-|ar+br|,求()f x的最大值和最小值.向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视

15、为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.是三角形三边中垂线的交点.（下左图）二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍.（上右图）三、垂心三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形

16、内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量321,OPOPOP满足条件0321OPOPOP,且1|321OPOPOP,求证321PPP是正三角形.2、O是ABC所在平面上的一点,若0)2()(OAOCOBOCOB,则ABC是三角形.实用文档文案大全3、已知非零向量,AB ACuuu v uuu v和BCuuu v满足()0|ABACBCABACuu u vuuu vu uu vuu uu vuuuu v且22|AC BCACBCuuu v uu u vuu uu vu uu u v,则ABC为.4、若O为ABC所在平面内一点,且满足

17、,2OAOCOBOCOB则ABC的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5、已知非零向量AB与AC满足0)|(BCACACABAB且21|ACACABAB,则 ABC为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形思路分析:1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选 D.2.由于|ACACABAB所在直线穿过ABC的内心,则由0)|(BCACACABAB知,ACAB（等腰三角形的三线合一定理）;又21|ACACABAB,所以3A,即 ABC为等边三角形

18、,故选 D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在 ABC 中,AD 为BC 边 上 的 中 线,根 据 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则,可 得ADACAB2.这说明ACAB所在的直线过BC的中点D,从而一定通过ABC的重 心.另 外,G为ABC的 重 心 的充 要 条 件 是0GCGBGA或)(31OCOBOAOG,（其中O为ABC所在平面内任意一点）,这也是两个常用的结论.例1.已 知CBA,是 平 面 上 不 共 线 的 三 点,O是ABC的 外 心,动 点P满 足1(1)(1)(1 2)()3OPOAOBOCRuuu ruuu ruuu ruuu r,则P的轨迹一定通过A

19、BC的（）A.内心B.垂心C.外心D.重心思路分析:取 AB边的中点M,则OMOBOA2,由1(1)(1)(12)()3OPOAOBOCRuu u ru uu ruu u ruu u r可得322()3(12)OPOMOCOCOMOMMCuuu ru uuu ruu u ruuu ruu uu ru uu u ru uu u r,所以MCMP321)(R,即点 P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选 D.垂心在ABC中,由向量的数量积公式,可得0)cos|cos|(BCCACACBABAB,这说明CACACBABABcos|cos|所在直线是BC 边上的高所在直线,从而它一定通过ABC的垂实用

20、文档文案大全心.例:若动点P满足(),0|cos|cosABACOPOAABBACCuuu ru uu ruuu ruuu ruu u ruu u r,则点P 轨迹一定通过ABC的（）A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心例 2.点O是ABC所在平面内的一点,满足OA OBOB OCOC OAuu u r u uu ru uu r uuu ruu u r uuu r,则点O是ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D.三条高的交点思路分析:由OA OBOB OCuu u r uuu ruuu r u uu r,得0)(CAOBOCOAOB,所以

21、ACOB,即ACOB.同理BCOAABOC,.因此O是ABC三条高的交点,故选 D.练习:点O是ABC所在平面内的一点,满足22|ABOC22|ACOB22|BCOA,则点O是ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D.三条高的交点内心在ABC中,由两单位向量相加,可得|ACACABAB所在直线是A 的平分线所在的直线,从而一定经过ABC的内心.例3 O是 平 面 上 定 点,A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点,动 点P 满 足(),0,)|ABACOPOAABACuuu ruu u ru uu ru u u ruuu ru

22、u u r,则 P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心思路分析:设()|ABABABuuu ru uu u ruuu r为ABu uu r上的单位向量,()|ACACACuuu ruuuu ruuu r为ACuuu r上的单位向量,则)|(ACACABAB的方向为 BAC的角平分线AD的方向,又,0,所以)|(ACACABAB与)|(ACACABAB的方向相同,而()|ABACOPOAABACuu u ruu u ruuu ruuu ruu u ruu u r,所以点P在AD上移动,故 P的轨迹一定是通过ABC的内心,选 B.外心1、如图已知G为ABC内的一点,若222GAGBGCuu u ruuu ruuu r,则G点为ABC的心2、O是ABC所在平面上的一点,若动点P满足()2coscosOBOCABACOPABBACCuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuur,(0,),则动点P的轨迹通过ABC的心.