2020届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2020 届江苏省南通市高三下学期二模考前综合练习数学试题一、填空题1记复数za+bi（i 为虚数单位）的共轭复数为zabi abR，已知 z2+i，则2z_【答案】34i【解析】计算得到z2（2+i）23+4i，再计算2z得到答案.【详解】z2+i，z2（2+i）23+4i，则234zi故答案为：34i【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2已知集合U1,3,5,9，A1,3,9，B1,9，则?U(AB)_.【答案】5【解析】易得 A BA1,3,9，则?U(AB)5 3某校共有师生1600 人，其中教师有1000 人，现用分层抽样的方法，从

2、所有师生中抽取一个容量为80 的样本，则抽取学生的人数为_【答案】30【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为801160020，抽取学生的人数为60012030故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（）的值是 _【答案】2 55第 2 页 共 21 页【解析】计算 sin 2 55yr，再利用诱导公式计算得到答案.【详解】由题意可得x1，y2，r5，sin 2 55yr，sin（）sin 2 55故答案为：2 55【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，

3、意在考查学生的计算能力.5执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_【答案】28【解析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环ix 循环前1 4 第一圈是4 4+2 第二圈是7 4+2+8 第三圈是10 4+2+8+14 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6设 、为互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：若 mn，则 m；若 m?，n?，m，n，则 ；若 ，m?，n?，则 mn；若 ，m，n?，mn，则 n；第 3 页 共 21 页其中

4、正确命题的序号为_【答案】【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于，当 mn 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m，错误；对于，当 m?，n?，且 m，n 时，由两平面平行的判定定理，不能得出 ，错误；对于，当 ，且 m?，n?时，由两平面平行的性质定理，不能得出m n，错误；对于，当 ，且 m，n?，mn 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n，正确；综上知，正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7已知函数f(x)若关于 x 的方程 f(x)kx 有两个不同的实

5、根，则实数 k 的取值范围是_【答案】【解析】由图可知，当直线 ykx 在直线 OA 与 x 轴(不含它们)之间时，ykx 与 yf(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根8已知关于x 的不等式（axa24）（x4）0 的解集为A，且 A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 _【答案】-2【解析】讨论0,0,0aaa三种情况，a0 时,根据均值不等式得到a4a（第 4 页 共 21 页a4a）24aa4，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x 的不等式（axa24）（x4）0，a0 时，x（a4a）（x4）0，其中 a4a0，故解集为（a4a，4），由于 a4

6、a（a4a）24aa4，当且仅当 a4a，即 a 2 时取等号，a4a的最大值为4，当且仅当a4a4 时，A 中共含有最少个整数，此时实数a的值为 2；a0 时，4（x4）0，解集为（，4），整数解有无穷多，故a0 不符合条件；a0 时，x（a4a）（x4）0，其中 a4a4，故解集为（，4）（a4a，+），整数解有无穷多，故a0 不符合条件；综上所述，a2故答案为：2【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9已知双曲线22221xyab（a0，b0）的两个焦点为1302F，、2302F，点 P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tanPF F，tanP

7、F2F1 2，则双曲线的离心率为 _【答案】3 55【解析】根据正弦定理得1212122PFsinPF FPFsinPF F，根据余弦定理得2212PFPF2PF1?PF2cosF1PF2212F F3，联立方程得到第 5 页 共 21 页122 151533PFPF，计算得到答案.【详解】PF1F2中，sinPF1F255，sinPF1F22 55，由正弦定理得1212122PFsinPF FPFsinPF F，又 1212tanPF F，tanPF2F1 2，tanF1PF2tan（PF2F1+PF1F2）123214122，可得cosF1PF245，PF1F2中用余弦定理，得2212PF

8、PF2PF1?PF2cosF1PF2212F F3，联解，得122 151533PFPF，可得12153PFPF，双曲线的1523a，结合23c，得离心率23 525cea.故答案为：3 55.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10记 Sk1k+2k+3k+nk，当 k1，2，3，时，观察下列等式：S112n212n，S213n312n216n，S314n412n314n2，S5An612n5512n4+Bn2，可以推测，AB_【答案】14【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到：

9、各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，A16，A15212B1，解得 B112，所以 AB1116124第 6 页 共 21 页故答案为：14【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11 设 函 数()|f xx xa，若 对 于任意的1x，2x 2，)，1x2x，不 等式1212()()0f xf xxx恒成立，则实数a 的取值范围是【答案】2a【解析】试题分析：由题意得函数()|f xx xa在2，)上单调递增，当2a时()()f xx xa在2，)上单调递增；当2a时()|f xx xa在,)a上单调递增；在2,)a上单调递减，因此实数a 的取值范围是2

10、a【考点】函数单调性12已知平面向量ar，br，cr满足|ar|1，|br|2，ar，br的夹角等于3，且（acrr）?（bcrr）0，则|cr|的取值范围是_【答案】737322，【解析】计算得到|abrr|7，27cr|cr|cos 1，解得 cos 217ccrr，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（acrr）?（bcrr）0 可得2cr（abrr）?ca brr|abrr|?|cr|cos 1 2cos3|abrr|?|cr|cos 1，为abrr与cr的夹角再由222ababrrrr2ar?br1+4+2 1 2cos37 可得|abrr|7，27cr|cr|cos 1

11、，解得 cos 217ccrr 0 ，1 cos 1，217ccrr1，即27cr|cr|+1 0，解得732|cr|732，第 7 页 共 21 页故答案为737322，【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13 在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22211xyaa上，其中A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_【答案】3【解析】设直线 AB 的方程为ykx+1，则直线 AC 的方程可设为y1kx+1，（k0），联立方程得到B（22221a ka k，222211a ka k）

12、，故 S442221211akkaakk，令 t1kk，得 S42222(1)aaa tt，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线 AB 的方程为ykx+1，则直线 AC 的方程可设为y1kx+1，（k0）由22211ykxxya消去 y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以 x0 或 x22221a ka k A的坐标（0，1），B的坐标为（22221a ka k，k?22221a ka k1），即 B（22221a ka k，222211a ka k），因此 AB222222222221(0)(1)111a ka kka ka k?22221a ka k，同理可得：AC211k?22

13、221akak.RtABC 的面积为第 8 页 共 21 页S12AB?AC2212kk?44422422221221111akakaakaakkk令 t1kk，得 S4422422222(1)12a taaaata tt.t1kk2，S ABC4422222(1)(1)2aaa aaa tt.当且仅当21aa tt，即t21aa时，ABC的面积S有最大值为4227(1)8aa a.解之得 a3 或 a329716.a329716时，t21aa2 不符合题意，a3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14设 f（x）etx（t0），过点

14、 P（t，0）且平行于y 轴的直线与曲线C：yf（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1），则PRS的面积的最小值是 _【答案】2e【解析】计算 R（t1t，0），PRt（t1t）1t，PRS的面积为S2tet，导数第 9 页 共 21 页S212tett，由 S 0 得 t1，根据函数的单调性得到最值.【详解】PQy 轴，P（t，0），Q（t，f（t）即 Q（t，2te），又 f（x）etx（t0）的导数f（x）tetx，过 Q 的切线斜率k t2te，设 R（r，0），则 k220ttetetr，rt1t，即 R（t1t，0），PRt（t1t）1t，又 S（1，f

15、（1）即 S（1，et），PRS的面积为S2tet，导数 S212tett，由 S0 得 t1，当 t1 时，S0，当 0t1 时，S 0，t1 为极小值点，也为最小值点，PRS的面积的最小值为2e故答案为：2e【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题15在三角形ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，若31sin,tan53AAB，角C为钝角，5.b（1）求sinB的值；（2）求边c的长.第 10 页 共 21 页【答案】（1）10sin10B（2）13c【解析】（1）由sinsinBAAB，分别求得sincosAA，sincosA

16、BAB，得到答案；（2）利用正弦定理sinsinaAbB得到3 10a，利用余弦定理解出13c【详解】(1)因为角C为钝角，3sin5A，所以24cos1sin5AA，又1tan3AB，所以02AB，且13sin,cos1010ABAB，所以sinsinsin coscos sinBAABAABAAB3341155101010.(2)因为sin3 10sin5aAbB，且5b，所以3 10a，又9coscoscos cossin sin5 10CABABAB，则22292cos95252 3 1051695 10cababC，所以13c.16 如图，四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是菱

17、形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，VO平面 ABCD，E 是棱 VC 的中点（1）求证：VA平面 BDE；（2）求证：平面VAC平面 BDE 第 11 页 共 21 页【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连结 OE，证明 VAOE 得到答案.（2）证明 VO BD，BDAC，得到 BD平面 VAC，得到证明.【详解】（1）连结 OE因为底面ABCD 是菱形，所以O 为 AC 的中点，又因为 E 是棱 VC 的中点，所以VAOE，又因为 OE?平面 BDE，VA?平面 BDE，所以 VA平面 BDE；（2）因为 VO 平面 ABCD，又 BD?平面 ABCD，所以 VOBD，因为

18、底面ABCD是菱形，所以BDAC，又VO ACO，VO，AC?平面VAC，所以 BD 平面 VAC又因为BD?平面 BDE，所以平面VAC 平面 BDE【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17已知半径为5 的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y290 相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+50（a 0）与圆相交于A，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦 AB 的垂直平分线l 过点 P（2，4），若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（x 1）2+y225（2）（51

19、2，）（3）存在，34a【解析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m，计算得到答案.（2）把直线axy+50，代入圆的方程，计算4（5a1）24（a2+1）0 得到答案.（3）l 的方程为124yxa，即 x+ay+24a0，过点 M（1，0），计算得到答案.【详解】（1）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y290 相切，且半径为5，第 12 页 共 21 页所以42955m，即|4m29|25因为 m 为整数，故m1故所求圆的方程为（x1）2+y225（2）把直线axy+50，即 yax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a1）x+10，由

20、于直线axy+50 交圆于 A，B 两点，故 4（5a1）24（a2+1）0，即 12a25a0，由于 a0，解得 a512，所以实数a 的取值范围是（512，）（3）设符合条件的实数a 存在，则直线l 的斜率为1a，l 的方程为124yxa，即 x+ay+24a0，由于 l 垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在 l 上，所以 1+0+24a0，解得34a由于35412，故存在实数34a使得过点P（2，4）的直线 l 垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18如图，两座建筑物AB，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分

21、别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD60（1）求 BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P（点 P 与点 B，C 不重合），从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 APB，DPC ，问点 P 在何处时，+最小？【答案】（1）103m；（2）当 BP 为20 210 3tcm 时，+取得最小值【解析】（1）作 AECD，垂足为E，则 CE 10，DE 10，设 BCx，根据2tan CADtanCAE得到232010030 xx，解得答案.（2）设 BPt，则10 3010 3CPtt，故210 10 310 3200ttantt，第 13 页 共 21 页设210

22、310 3200tf ttt，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作 AECD，垂足为E，则 CE10，DE 10，设 BCx，则222022310011tan CAExtan CADtanCAEtanCAEx，化简得232010030 xx，解之得，103x或103x（舍），（2）设 BPt，则10 3010 3CPtt，22102010 10 310031010 3102010 320010 32001103tttttantttttt，设210 310 3200tf ttt，22220 350010 3200ttfttt，令 f（t）0，因为010 3t，得20210 3t，当0

23、20 210 3t，时，f（t）0，f（t）是减函数；当20210 3103t，时，f（t）0，f（t）是增函数，所以，当20210 3t时，f（t）取得最小值，即tan（+）取得最小值，因为210 32000tt恒成立，所以f（t）0，所以 tan（+）0，2，因为 y tanx 在2，上是增函数，所以当20210 3t时，+取得最小值第 14 页 共 21 页【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.19设首项为1 的正项数列 an的前 n 项和为 Sn，数列2na的前 n 项和为 Tn，且243nnSpT，其中 p 为常数（1）求 p 的值；（2）

24、求证：数列an为等比数列；（3）证明：“数列 an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数”的充要条件是“x1，且y2”【答案】（1）p2；（2）见解析（3）见解析【解析】（1）取 n1 时，由24113p得 p0 或 2，计算排除p 0 的情况得到答案.（2）241(2)33nnTS，则21141(2)33nnTS，相减得到3an+14 Sn+1 Sn，再化简得到2112nnaa，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数，计算化简得2x2y21，设 k x（y2），计算得到k1，得到答案.【详解】（1）n

25、1 时，由24113p得 p0 或 2，若 p0 时，243nnST，当 n 2 时，22224113aa，解得 a20 或212a，第 15 页 共 21 页而 an0，所以 p0 不符合题意，故p2；（2）当 p2 时，241(2)33nnTS，则21141(2)33nnTS，并化简得3an+14Sn+1Sn，则 3an+24Sn+2 Sn+1，得2112nnaa（nN），又因为2112aa，所以数列 an是等比数列，且112nna；（3）充分性：若 x1，y2，由112nna知 an，2xan+1，2yan+2依次为112n，22n，142n，满足112142222nnn，即 an，2x

26、an+1，2yan+2成等差数列；必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数，又112nna，所以111112 22222xynnn，化简得2x2y21，显然 x y2，设 kx（y 2），因为 x、y均为整数，所以当k2 时，2x2y21 或 2x2y2 1，故当 k 1，且当 x1，且 y20 时上式成立，即证【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.20（本小题满分16 分）已知函数123()()()()f xxxxxxx，123,xxxR，且123xxx（1）当123012xxx，时，求函数()f x 的减区

27、间；（2）求证：方程()0fx有两个不相等的实数根；（3）若方程()0fx的两个实数根是()，试比较122xx，232xx与，的大小，并说明理由【答案】（1）33(1,1)33（2）详见解析（3）231222xxxx【解析】试题分析：（1）当123012xxx，时，322()(1)(2)=32,()362,f xx xxxxx fxxx，由()0f x得()f x减 区 间33(1,1)33；（2）因为32123122331123()()()f xxxxxxx xx xx x xx x x，所以2123122331()32()()fxxxxxxx xx xx x，因为第 16 页 共 21 页

28、2221223312()()()0 xxxxxx所以，方程()0fx有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024xxxxf，22323()()024xxxxf，所 以231222xxxx试题解析：（1）()f x减区间33(1,1)33；4 分（2）法 1：3212312233 1123()()()f xxxxxxx xx xx xxx x x，6 分2123122331()32()()fxxxxxxx xx xx x2221223312()()()0 xxxxxx，123xxx，8 分所以，方程()0fx有两个不相等的实数根；10 分法 2：122331()()()()()()(

29、)fxxxxxxxxxxxxx，6 分22321()()()0fxxxxx，8 分()f x是开口向上的二次函数，所以，方程()0fx有两个不相等的实数根；10 分（3）因为21221()()024xxxxf，12 分22323()()024xxxxf，14 分又()f x在(,)和(,)增，()f x在(,)减，所以231222xxxx16 分【考点】利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系21 试求曲线y sinx 在矩阵 MN 变换下的函数解析式，其中 M1002，N10201【答案】y2sin2x【解析】计算 MN11100022020102，计算得到函数表达式.【详解】第 17

30、页 共 21 页 M1002，N10201，MN11100022020102，在矩阵 MN 变换下，xy122xxyy 曲线 ysinx 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为y2sin2x【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.22 已知直线l 的极坐标方程为63sin，圆 C 的参数方程为1010 xcosysin（为参数）（1）请分别把直线l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 被圆截得的弦长【答案】（1）3120 xyx2+y2100（2）16【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.（2）圆心0,0到直线的距离为1262d，故弦长为222 rd

31、得到答案.【详解】（1）sin63，即13sincos622，即13622yx，即3120 xy.10cos10sinxy，故22100 xy.（2）圆心0,0到直线的距离为1262d，故弦长为22216rd.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.23 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF 平面 ABCD，EFAB，BAF 90，AD2，ABAF2EF 2，点 P 在棱 DF 上第 18 页 共 21 页（1）若 P 是 DF 的中点，求异面直线BE 与 CP 所成角的余弦值；（2）若二面角DAPC 的正弦值为63，求 P

32、F 的长度【答案】（1）2 3015（2）2【解析】（1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AF 为 z轴，建立空间直角坐标系，则BEuuu r（1，0，2），CPu uu r（2，1，1），计算夹角得到答案.（2）设FPFDuu u ruu u r，0 1，计算 P（0，2，22），计算平面APC 的法向量nr（1，1，222），平面 ADF 的法向量mr（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）BAF 90，AFAB，又 平面 ABEF平面 ABCD，且平面ABEF平面 ABCD AB，AF平面 ABCD，又四边形ABCD 为矩形，以 A 为原点，AB 为

33、x 轴，AD 为 y 轴，AF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，AD2，AB AF2EF2，P 是 DF 的中点，B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），BEuuu r（1，0，2），CPu uu r（2，1，1），设异面直线BE 与 CP 所成角的平面角为，则 cos42 301556BE CPBECPu uu r u uu ruu u ruu u r，异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为2 3015（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设 P（a，b，c），FPFDuu u ruu u r，0 1，即（a，b，c

34、2）（0，2，2），解得 a0，b2，c22，P（0，2，2 2），第 19 页 共 21 页APuuu r（0，2，22），ACuuu r（2，2，0），设平面APC的法向量nr（x，y，z），则2220220n APyzn ACxyuuu vruuu vr，取 x1，得nr（1，1，222），平面 ADP 的法向量mr（1，0，0），二面角 DAPC 的正弦值为63，|cosmnrr，|22161()322()22m nmnrrrr，解得12，P（0，1，1），PF 的长度|PF|222(00)(10)(12)2【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和

35、计算能力.24甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,2a a(01)a，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率()Pi(i=0，1，2，3)中,若(1)P的值最大,求实数a的取值范围.【答案】（1）412a，的分布列为第 20 页 共 21 页0 1 2 3 P 12(1a)212(1a2)12(2aa2)22a（2）10,2【解析】(1)P()是“个人命中，3 个人未命中”的概率其中 的可能取值为0、1、2、3.P(0)01C11202C(1a)212(1a)2；P(1)11C1202C(1a)201C11212Ca(1a)12(1a2)；P(2)11C1212Ca(1a)01C11222Ca212(2aa2)；P(3)11C1222Ca222a.所以 的分布列为0 1 2 3 P 12(1a)212(1a2)12(2aa2)22a 的数学期望为E()012(1a)2 112(1a2)212(2aa2)322a412a.(2)P(1)P(0)12(1a2)(1a)2a(1a)；P(1)P(2)12(1a2)(2aa2)122a；第 21 页 共 21 页P(1)P(3)12(1a2)a22122a.由2(1)0,120,21202aaaa和 0 a1，得 0a12，即 a 的取值范围是10,2.