2020届北京市平谷区高三3月质量监控(一模)数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页2020届北京市平谷区高三3 月质量监控（一模）数学试题一、单选题1已知集合|1Ax x，集合|20Bx x x，那么ABU等于（）A|2x xB1|0 xxC|1x xD|12xx【答案】A【解析】求出集合B，然后进行并集的运算即可.【详解】|1Ax x，|20Bxx，|2ABx xU.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.2下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（）AyxBsinfxxxC2fxxxD1yx【答案】C【解析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A：y

2、x为非奇非偶函数，不符合题意；B：sinfxxx在0,上不单调，不符合题意；C：2yxx为偶函数，且在0,上单调递增，符合题意；D：1yx为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.3如果0ba，那么下列不等式成立的是（）第 2 页 共 18 页A22loglogbaB1122baC33baD2abb【答案】D【解析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】0ba，22loglogba，1122ba，33ba，2abb.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.4双曲线221xymcm的

3、一条渐近线方程为20 xy，那么它的离心率为（）A3B5C62D52【答案】D【解析】根据双曲线221xymcm的一条渐近线方程为20 xy，列出方程，求出m的值即可.【详解】双曲线221xymcm的一条渐近线方程为20 xy，可得112m，4m，双曲线的离心率52cea.故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.5设直线l过点0,1A，且与圆C：2220 xyy相切于点B，那么AB ACuu u ruuu r第 3 页 共 18 页（）A3B 3 C3D1【答案】B【解析】过点0,1A的直线l与圆C：2220 xyy相切于点B，可得0BA BCuu r uu u r.因

4、此2AB ACABABBCABAB BCu uu r uu u ruuu ruu u ruu u ruuu ruuu r uuu r222ABACruuu ru uu r，即可得出.【详解】由圆C：2220 xyy配方为2211xy，0,1C，半径1r.过点0,1A的直线l与圆C：2220 xyy相切于点B，0AB BCuuu r uu u r；2AB ACABABBCABAB BCuuu r uuu ruu u ruuu ruu u ru uu ruu u r uuu r2223ABACruuu ruu u r；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.6将

5、函数cos2fxx图象上所有点向左平移4个单位长度后得到函数g x的图象，如果g x在区间0,a上单调递减，那么实数a的最大值为（）A8B4C2D34【答案】B【解析】根据条件先求出g x的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数cos2fxx图象上所有点向左平移4个单位长度后得到函数g x的图象，则cos2cos 242g xxx，设22x，第 4 页 共 18 页则当0 xa时，022xa，22222xa，即222a，要使g x在区间0,a上单调递减，则22a得22a，得4a，即实数a的最大值为4，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求

6、参数，属于中档题.7设点A，B，C不共线，则“ABACBCu uu ru uu ruu u r”是“ABACuu u ru uu r”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】C【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点A，B，C不共线，则0ABACBCABACBCuu u ruuu ru uu ruu u ruuu ruuu r220ABACACABACABu uu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r22ACABuuu ruuu r“ABACuuu ru uu r”；故“ABACBCu

7、uu ru uu ruuu r”是“ABACuu u ruu u r”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）第 5 页 共 18 页A8 B 7 C6 D4【答案】A【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：22444 2+=，从下往上第三层正方体的棱长为：222 22 24，从下往上第四层正方体的棱长

8、为：22222 2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1 时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：22444 2+=，从下往上第三层正方体的棱长为：222 22 24，从下往上第四层正方体的棱长为：22222 2，从下往上第五层正方体的棱长为：22222，从下往上第六层正方体的棱长为：22112，从下往上第七层正方体的棱长为：2222122，从下往上第八层正方体的棱长为：22112222，改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.9某三

9、棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）第 6 页 共 18 页A1 B 2 C3 D0【答案】C【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC，BCD，ADC为直角三角形.该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.10在声学中，声强级L（单位：dB）由公式1210110ILg给出，其中I为声强（单位：2W/m）.160dBL，275dBL，那么12II（）A4510B4510C32D3210【答案】D【解析】由1210110ILg得l

10、g1210LI，分别算出1I和2I的值，从而得到12II的值.【详解】第 7 页 共 18 页1210110ILg，1210 lglg1010 lg12LII，lg1210LI，当160L时，1160lg121261010LI，6110I，当275L时，2275lg12124.51010LI，4.5210I，361.5124.5210101010II，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题11如果复数z满足1i zi，那么z_（i为虚数单位）.【答案】2【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】1i zi，2111i

11、iiziii，2z，故答案为：2.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.12已知4sin25，那么tansin_.第 8 页 共 18 页【答案】920【解析】由已知利用诱导公式可求cos，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】4sin25，4cos5，22169sin1cos12525，29sin925tansin4cos205.故答案为：920.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.13设常数aR，如果52axx的二项展开式中x项的系数为-80，那么a_.【答案】2【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【详解】52a

12、xx的二项展开式的通项公式：5210 3155rrrrrrraTCxa C xx，令 1031r，解得3r.33580a C，解得2a.故答案为：-2.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.14如果抛物线22ypx上一点4,Am到准线的距离是6，那么m_.【答案】4 2【解析】先求出抛物线22ypx的准线方程，然后根据点4,Am到准线的距离为6，列出462p，直接求出结果.第 9 页 共 18 页【详解】抛物线22ypx的准线方程为2px，由题意得462p，解得4p.点4,Am在抛物线22ypx上，22 44m，4 2m，故答案为：4 2.【点睛】本小题主要考查抛物线

13、的定义，属于基础题.15某公园划船收费标准如表：某班 16 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1 小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能.【答案】360 10【解析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】当租两人船时，租金为：16907202元，当租四人船时，租金为：161004004元，当租 1 条四人船6 条两人船时，租金为：100690640元，当租 2 条四人船4 条两人船时，租金为：2 100490560元，当租 3 条四人船2 条两人船时，租金为：3 100290480元，当租 1 条六人船5 条 2 人船时，租金为：

14、130590580元，当租 2 条六人船2 条 2 人船时，租金为：2 130290440元，当租 1 条六人船1 条四人船 3 条 2 人船时，租金为：1301003 90500元，当租 1 条六人船2 条四人船 1 条 2 人船时，租金为：1302 10090420元，当租 2 条六人船1 条四人船时，租金为：2 130100360元，综上，租船最低总费用为360 元，租船的总费用共有10 种可能.故答案为：360，10.第 10 页 共 18 页【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.三、解答题16在ABC中，3B，7b，.求BC边上的高.21sin7

15、A，sin3sinAC，2ac，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择，利用正弦定理求得a，利用余弦定理求得c，再计算BC边上的高.选择，利用正弦定理得出3ac，由余弦定理求出c，再求BC边上的高.选择，利用余弦定理列方程求出c，再计算BC边上的高.【详解】选择，在ABC中，由正弦定理得sinsinabAB，即732172a，解得2a；由余弦定理得2222cosbacacB，即2221722 22cc，化简得2230cc，解得3c或1c（舍去）；所以BC边上的高为33 3sin322hcB.选择，在ABC中，由正弦定理得sinsinacAC，又因为sin3s

16、inAC，所以3sinsinacCC，即3ac；由余弦定理得2222cosbacacB，即2221732 32ccc c，化简得277c，解得1c或1c（舍去）；第 11 页 共 18 页所以BC边上的高为33sin122hcB.选择，在ABC中，由2ac，得2ac；由余弦定理得2222cosbacacB，即222172222cccc，化简得2230c+c，解得1c或3c（舍去）；所以BC边上的高为33sin122hcB.【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.17为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100 名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：

17、小时）的数据，绘制图表的一部分如表.（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10,20的概率：（2）从参加公益劳动时间25,30的学生中抽取3 人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；（3）当5x时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）【答案】（1）512（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长【解析】（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；（3）由图表直接判断结果.【详解】第 12 页 共 18 页（1）100 名学生中共有男生48 名，

18、其中共有20 人参加公益劳动时间在10,20，设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10,20的事件为A，那么2054812P A；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.373127044CP XC；125731221144C CP XC；21573127222C CP XC；353121322CP XC.随机变量X的分布列为：（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.18如图，在三棱柱ADFBCE中，平面ABCD平面ABEF，侧面ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，ACAB，24AC

19、AB，M为FD的中点.（1）求证：/FB平面ACM；（2）求二面角MACF的大小.【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】（1）连接BD，交AC与O，连接MO，由/MOFB，得出结论；（2）以A为原点，AC，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角公式求出即可.【详解】（1）连接BD，交AC与O，连接MO，第 13 页 共 18 页在DFB中，/MOFB，又FB平面ACM，MO平面ACM，所以/FB平面ACM；（2）由平面ABCD平面ABEF，ACAB，AB为平面ABCD与平面ABEF的交线，故AC平面ABEF，故AFAC，又AFAB，所以AF平面AB

20、CD，以A为原点，AC，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0,0,0A，4,0,0C，0,2,0B，4,2,0D，0,0,2F，2,1,1M，设平面ACM的法向量为,mx y zu r，4,0,0ACuuu r，2,1,1AMu uu u r，由4020m ACxm AMxyzu uu vvu uu u vv，得0,1,1mu r，平面ACF的法向量为0,1,0ABu uu r，由12cos,22AB muuu r u r，故二面角MACF的大小为45.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19已知函数2xxaxafx

21、e，其中aR.（1）当0a时，求fx在1,1f的切线方程；（2）求证：fx的极大值恒大于0.【答案】（1）1yxe（2）证明见解析【解析】（1）求导，代入0a，求出在1x处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.第 14 页 共 18 页【详解】（1）2222xxxaxaxaxfxee，当0a时，1 1fe，11fe，则fx在1,1f的切线方程为1yxe；（2）证明：令0fx，解得2x或xa，当2a时，0fx恒成立，此时函数fx在R上单调递减，函数fx无极值；当2a时，令0fx，解得2ax，令0fx，解得 xa 或2x，函数fx在,2a上单调递增，在,a，2,

22、上单调递减，2420afxfe极大值；当2a时，令0fx，解得2xa，令0fx，解得2x或xa，函数fx在2,a上单调递增，在,2，,a上单调递减，0aafxfae极大值，综上，函数fx的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20已知椭圆C：222210 xyabab的两个焦点是1F，2F，2,1M在椭圆C上，且124MFMF，O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：ODOEuu u ruu u r为定值.【答案】（

23、1）22142xy（2）证明见解析第 15 页 共 18 页【解析】（1）根据椭圆的定义可得2a，将M代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线MA和MB的方程，求得D和E的横坐标，表示出ODOEu uu ru uu r，根据韦达定理即可求证ODOEuuu ruuu r为定值.【详解】（1）因为124MFMF，由椭圆的定义得24a，2a，点2,1M在椭圆C上，代入椭圆方程，解得22b，所以C的方程为22142xy；（2）证明：设11,A x y，22,B xy，直线AB的斜率为22，设直线l的方程为22yxt，联立方程组2222142yxtxy，

24、消去y，整理得22220 xtxt，所以122xxt，2122x xt，直线MA的直线方程为111122yyxx，令0y，则11221Dxxy，同理22221Exxy，所以：1212222211xOxyOEyDuuu ruu u r1212222 211xxyy122112222121222 211xyttxxyx12121212212 22 211x xxxtxxyy，第 16 页 共 18 页代入整理得2 2ODOEuu u ruuu r，所以ODOEuuu ruuu r为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.21记无穷

25、数列na的前n项中最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb，则称nb是na“极差数列”.（1）若32nan，求nb的前n项和；（2）证明：nb的“极差数列”仍是nb；（3）求证：若数列nb是等差数列，则数列na也是等差数列.【答案】（1）23344nn（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由na是递增数列，得3213122nnbn，由此能求出nb的前n项和.（2）推导出11,2,3,nnbbn，12121max,min,nnnnb bbb bbbbb，由此能证明nb的“极差数列”仍是nb.（3）证当数列nb是等差数列时，设其公差为d，11122nnnnnnMMmmbb1122nnn

26、nMmMmd，na是一个单调递增数列，从而nnMa，1nma，由0d，0d，0d，分类讨论，能证明若数列nb是等差数列，则数列na也是等差数列.【详解】（1）解：无穷数列na的前n项中最大值为nM，最小值为nm，2nnnMmb，32nan，第 17 页 共 18 页na是递增数列，32 13122nnbn，nb的前n项和213332244nn nSnn.（2）证明：12121max,max,1,2,3,nna aaa aan，12121min,min,1,2,3,nna aaa aan，121121max,min,nna aaa aa1212max,min,1,2,3,nna aaa aan，

27、11,2,3,nnbbn，1110baa，12121max,min,nnnnb bbb bbbbb，nb的“极差数列”仍是nb（3）证明：当数列nb是等差数列时，设其公差为d，11122nnnnnnMMmmbb1122nnnnMmMmd，根据nM，nm的定义，得：1nnMM，1nnmm，且两个不等式中至少有一个取等号，当0d时，必有1nnMM，11nnnnaMMa，na是一个单调递增数列，nnMa，1nma，11111222nnnnnnaaaaaabbd，12nnaad，na是等差数列，当0d时，则必有1nnmm，11nnnnamma，na是一个单调递减数列，1nMa，nnma，11111222nnnnnnaaaaaabbd，第 18 页 共 18 页12nnaad.na是等差数列，当0d时，11122nnnnnnMMmmbb11022nnnnMmMm，1nnMM，1nnmm中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，1nnMM，1nnmm，数列na是常数数列，则数列na是等差数列.综上，若数列nb是等差数列，则数列na也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.