14年北京东城区高三数学一模(文)含答案.pdf

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1、东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测高三数学（文科）学校 _班级 _姓名 _考号 _ 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U=1，2，3，4，5，6，设集合P=1，2，3，4，Q3，4，5，则 P（CUQ）=A.1，2，3，4，6 B.1，2，3，4，5 C.1，2，5 D.1,2 2.在某

2、次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若 B 样本数据恰好是A 样本数据都加6 后所得数据，则A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3.已知 i 是虚数单位，若i1zi3,则z的共轭复数为A 1-2i B 2-4i C i222 D 1+2i 4设l是直线，a，是两个不同的平面,A.若la，l，则aB.若la，l，则aC.若 a，la，则lD.若 a,la，则l5 函数2sin(09)63xyx的最大值与最小值之差为A32B.4C.3D.3260a“是函数|)ax2(x|)x(f在区间(0,+)内单调

3、递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为2.若抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A.28 33xyB.216 33xyC.28xyD.216xy8已知cbaabcxxxxf,96)(23，且0)()()(cfbfaf，现给出如下结论：0)1()0(ff；0)1()0(ff；0)3()0(ff；0)3()0(ff.其中正确结论的序号是（）ABCD非选择题部分（共110 分）二、填空题:本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.

4、9.已知变量x、y满足条件1,0,290,xxyxy则xy的最大值是 _.10.经过圆2220 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线方程是11.曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为.12.在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则_;a513.已知平面向量(2,4)ar，2),1(b若()caa b br rrrr，则|cr_14.定义：曲线 C上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线C到直线 l 的距离，已知曲线 C1：y=x2+a到直线 l:y=x 的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x 的距离，则实数 a=_.三、解答题：本大题共6 小题，共

5、80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12 分）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bsinA=3acosB。（）求角B 的大小；（）若b=3，sinC=2sinA，求 ABC 的面积.16.（本题满分14 分）如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90 o（）证明:：AC=BC；（）证明：ABPC；（）若4PC，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC体积.17.（本题满分13 分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适

6、型100 150 z 标准型300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.()求 z 的值；()用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率；()用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率.18（本题满分14 分）设函数()(,)nnfxxbxcnNb cR（）设2

7、n，1,1bc，证明：()nfx在区间1,12内存在唯一的零点；（）设2n，若对任意12,x x 1,1，有2122|()()|4fxfx，求b的取值范围19.（本题满分14 分）已知椭圆221:14xCy，椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率（）求椭圆2C的方程；（）设O为坐标原点，点AB，分别在椭圆1C和2C上，2OBOAu uu ruuu r，求直线AB的方程20.（本题满分13 分）对于项数为m 的有穷数列数集na，记,max21kkaaab（k=1,2,m），即kb为kaaa,21中的最大值，并称数列nb是na的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是1,3,3,

8、5,5.（）若各项均为正整数的数列na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的na；（）设nb是na的控制数列，满足Cbakmk1（C 为常数，k=1,2,m）.求证：kkab（k=1,2,m）.东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测高三数学答案（文科）一、选择题：1.D;2.D;3.A;4.B;5.A;6.C;7.D;8.C.二、填空题:9.6;10.10 xy;11.31yx;12.ln52;13.28;14.49三、解答题：15.（本题满分12 分）（）QbsinA=3acosB，由正弦定理可得sinsin3 sincosBAAB，即得tan3B，3B.5 分（）QsinC

9、=2sinA，由正弦定理得2ca，由余弦定理2222cosbacacB，229422 cos3aaaa，解得3a，223ca.ABC 的面积=.233acsinB21 12 分16.（本题满分14 分）（）因为PAB是等边三角形，90PACPBC,所以Rt PBCRt PAC,可得ACBC.3 分（）如图，取AB中点D，连结PD,CD,则PDAB,CDAB,所以AB平面PDC,所以ABPC.7 分()作BEPC，垂足为E，连结AE因为Rt PBCRt PAC，所以AEPC，AEBE由已知，平面PAC平面PBC，故90AEB因为Rt AEBRt PEB，所以,AEBPEBCEB都是等腰直角三角形

10、。由已知4PC，得2AEBE，AEB的面积2S因为PC平面AEB，所以三棱锥PABC的体积1833VSPC 14 分17.（本题满分13 分）:().设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n,所以 n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400 3 分()设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样,所以40010005m,解得 m=2,即抽取了2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2 辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),

11、(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共 10 个,其中至少有1 辆舒适型轿车的基本事件有7 个基本事件:,(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所 以 从 中 任 取2 辆,至 少 有1 辆 舒 适 型 轿 车 的 概 率 为710.9 分()样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x,那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 这 6 个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75

12、.086.13 分18（本题满分14 分）（）当112()1nnbcnfxxx，时，1111()(1)()10()12222nnnnfffxQ，在（，）内存在零点又当11(,1)()102nnxfxnx时，11()1()122nnfxfx在（，）上是单调递增的，在（，）内存在唯一零点6 分（）当2n时，cbxxxf22)(对任意 1,1)(4)()(1,1,2221221在等价于都有xfxfxfxx上的最大值与最小值之差4M,据此分类讨论如下：（）122bb当，即时，22(1)(1)24Mffb，与题设矛盾（）-1-0022bb当，即时，222(1)()(1)422bbMff恒成立（）0-1-

13、202bb当，即时，222(-1)()(-1)422bbMff恒成立综上可知，22-b 14 分19.（本题满分14 分）（）由已知可设椭圆2C的方程为222124yxaa，其离心率为32，故2432aa，则4a故椭圆2C的方程为141622xy5 分（）设AB，两点的坐标分别为AABBxyxy，由2OBOAuuu ruuu r及（）知，OAB，三点共线且点AB，不在y轴上，因此可设直线AB的方程为kxy将kxy代入1422yx中，得44122xk，所以22414kxA，将kxy代入22+1164yx中，得22416kx，所以22164Bxk，又由2OBOAuuu ruuu r，得224ABxx，即224116416kk解得1k，故直线AB的方程为xy或xy14 分20.（本题满分13 分）（）数列na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.5 分（）因为,max21kkaaab，,max 1211kkkaaaab，所以kkbb1.因为Cbakmk1，Cbakmk1，所以011kmkmkkbbaa，即kkaa1.因此，kkab.13 分