2015届北师大版高三数学一轮课时作业42(含答案).pdf

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1、课时作业 42空间向量及其运算一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量a，b，c 共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数 x，y，z使得 pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0B1 C2 D3 解析：a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b 都共面，故错误；三个向量 a，b，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不

2、正确；只有当a，b，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为 pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案：A 2若a，b，c 为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b 解析：若 c、ab、ab 共面，则 c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则 a、b、c 为共面向量，此与 a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故 c，ab，ab 可构成空间向量的一组基底答案：C 3.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为()A0 B.12

3、C.32D.22解析：设OAa，OBb，OCc，由已知条件 a，b a，c3，且|b|c|，OA BCa(cb)a ca b12|a|c|12|a|b|0，cosOA，BC0.答案：A 4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与 B1M相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD12a12bc解析：B1MB1BBMA1A12(BABC)A1A12(B1A1A1D1)c12(ab)12a12bc.答案：A 5(2014 淄博模拟)已知空间四边形ABCD 中，M，G 分别为 BC，C

4、D 的中点，则 AB12(BDBC)等于()A.AGB.CGC.BCD.12BC解析：如图所示：12(BDBC)BG，ABBGAG.答案：A 6已在 O，A，B，C 为空间四个点，又 OA，OB，OC为空间的一组基底，则()AO，A，B，C 四点不共线BO，A，B，C 四点共面，但不共线CO，A，B，C 四点中任意三点不共线DO，A，B，C 四点不共面解析：OA，OB，OC为空间的一组基底，所以OA，OB，OC不共面，但 A，B，C 三种情况都有可能使 OA，OB，OC共面答案：D 7(2014 沈阳调研，4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M

5、 为 AC 与 BD 的交点，N 为 BB1的靠近 B 的三等分点，若 A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与 MN相等的向量是()A12a12b13cB.12a12b13cC.12a12b13cD12a12b23c解析：MNMBBN12D1B113BB112(A1B1A1D1)13A1A12a12b13c.答案：C 8如图，点 P 是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于 A 的一个顶点，则 AP AB的值为()A0 B1 C0 或 1 D任意实数解析：AP可为下列 7 个向量：AB，AC，AD，AA1，AB1，AC1，AD1，其中一个与 AB重合，AP AB|AB|21；AD，

6、AD1，AA1与AB垂直，这时 AP AB0；AC，AB1与AB的夹角为45，这时 AP AB21cos41，最后 AC1 AB31cos BAC13131，故选 C.答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)9在四面体 OABC 中，OAa，OBb，OCc，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则 OE_(用 a，b，c 表示)解析：OEOA12ADOA1212(ABAC)OA14(OBOAOCOA)12OA14OB14OC12a14b14c.答案：12a14b14c10已知 O 是空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA2xBO3yCO4z

7、DO，则 2x3y4z_.解析：A，B，C，D 四点共面，OAmOBnOCpOD，且 mnp1.由条件知 OA2xOB3yOC4zOD，(2x)(3y)(4z)1.2x3y4z1.答案：1 11 在空间四边形 ABCD 中，AB CDBC ADCA BD_.解析：设ABb，ACc，ADd，则CDdc，BDdb，BCcb.原式 b (dc)d(cb)c(db)0.答案：0 三、解答题(共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 AC1的

8、长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解：记ABa，ADb，AA1c，则|a|b|c|1，60，a bb cc a12.(1)|AC1|2(abc)2a2b2c22(a bb cc a)11121212126，|AC1|6.(2)BD1bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2a cb c1.cosBD1 AC|BD1|AC|66.AC与BD1夹角的余弦值为66.13.如图，已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GMGA13.求证：B、G、N 三点共线证明：设ABa，ACb，ADc，则BGB

9、AAGBA34AMa14(abc)34a14b14c，BNBAANBA13(ACAD)a13b13c43BG.BN BG，即 B、G、N 三点共线14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点 E，F，G 分别是 AB、AD、CD 的中点，计算：(1)EF BA；(2)EF DC；(3)EG 的长；(4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值解：设ABa，ACb，ADc.则|a|b|c|1，a，bb，c c，a60，(1)EF12BD12c12a，BAa，DCbc，EF BA(12c12a)(a)12a212a c14，(2)EF DC12(ca)(bc)12(b ca bc2a c)14；(3)EGEBBCCG12aba12c12b12a12b12c，|EG|214a214b214c212a b12b c12ca12，则|EG|22.(4)AG12b12c，CECAAEb12a，cosAG，CEAG CE|AG|CE|23，由于异面直线所成角的范围是(0 ，90，所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为23.