2019-2020学年重庆市南开中学高一下学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年重庆市南开中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12 小题）.1直线 xy+10 的倾斜角为（）A 45B 30C45D1352数列 an是各项都为正数的等比数列，a2a825，则 a5（）A10B6C5D43抛物线x2y2的准线方程是（）AyBxCyDx4在 ABC 中，AB5，sinA2sinC，cosB，则 ABC 的面积为（）A10B15C20D305与直线l1：x+y+30 和 l2：x+y+10 都相切的圆的直径为（）AB2C1D6曲线1 与曲线 1（k 9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等7实数 x，y 满足线性约束条件，则 zx2

2、y 的最小值为（）A 2B 1C0D18已知双曲线C：1（a0，b 0）的离心率为，A 为 C 上的点，F 为 C 的右焦点，且AF 垂直于 x 轴，若|AF|2，则 C 的方程为（）A 1B1C 1D19正数 m，n 满足 m+n 2，则+的最小值为（）ABCD210过抛物线y2 6x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于A，B 两点，线段AB 的中点 M 在直线 y1 上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（）AB4CD911在 ABC 中，BAC 的平分线交BC 于 D若 BAC，AB+AC4，则 AD 长度的最大值为（）AB2C3D312如图，F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）

3、的左右焦点，过F1向一条渐近线作垂线，分别交C 的左右两支于A，B 两点，且|AB|BF2|，则（）AB2C3+D+1二、填空题（共4 小题）.13已知向量（x1，x+1），（2，1），若，则实数x14若双曲线1 的一条渐近线方程为x+2y 0，则 k15数列 an中，a16，a29，且 an+1an是以 2 为公差的等差数列，则an16已知 M 为椭圆+1 上一动点，O 为坐标原点，A，B 两点在圆 C：（x1）2+y225 上，且满足+（1）记 AB 中点为 N，则 N 的轨迹方程为；（2）弦长|AB|的取值范围为三、解答题：本大题6 个小题，共70 分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出

4、必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17已知向量与向量的夹角为，且|1，（32）（1）求|；（2）若|2 m|，求 m18在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 acosC（2b c）cosA（1）求角 A；（2）若 a3，求 ABC 面积 S 的最大值19在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求 ABC 外接圆 E 的标准方程；（2）过 P（3，2）作直线l 交圆 E 于 M，N，若|MN|4，求直线l 的方程20已知等比数列an的各项都为正数，Sn为其前 n 项和，a38，S314（1）求数列 an的通项公式；（2

5、）记 Tn+，求使得Tn成立的正整数n 的最小值21已知 F 为抛物线C：y22px（p0）的焦点，过P（2，0）的直线l 交 C 于 A，B 两点，M（x0，y0）为 AB 的中点，且|FA|+|FB|2（x+1）（1）求抛物线C 的方程；（2）若 AB 的中垂线与C 的准线交于点N，且|AB|MN|，求直线l 的斜率22已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2为 E 的左、右焦点，动点 P 在直线 1：x 3 上，过 P 作 E 两条切线，切点分别为M，N 且|MF1|+|MF2|2（1）求椭圆 E 的方程；（2）如图，过F1，F2分别向 PM，PN 作垂线，垂足分别为A，B，C，

6、D（i）证明：|F1A|?|F2B|为定值；（ii）记 AF1C 和 BF2D 的面积分别为S1，S2求的取值范围参考答案一、选择题：本大题12 个小题，每小题5 分，共60 分每小题只有一个选项符合答案请涂写在机读卡上.1直线 xy+10 的倾斜角为（）A 45B 30C45D135【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数解：由直线x y+10 变形得：y x+1所以该直线的斜率k1，设直线的倾斜角为，即 tan 1，0，180），45故选：C2数

7、列 an是各项都为正数的等比数列，a2a825，则 a5（）A10B6C5D4【分析】由题意可得：a5解：由题意可得：a55，故选：C3抛物线x2y2的准线方程是（）AyBxCyDx【分析】将抛物线方程转化成标准方程：抛物线的焦点在x 轴正半轴，即 2p，则，即可求得准线方程解：由抛物线的标准方程：y2x，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴，即 2p，则，抛物线的准线方程：x，故选：B4在 ABC 中，AB5，sinA2sinC，cosB，则 ABC 的面积为（）A10B15C20D30【分析】先根据正弦定理求得a2c10；再根据同角三角函数基本关系式求出sinB，进而求得结论解：在 ABC 中，

8、AB5，sinA2sinC，cosB，由正弦定理得：a 2c2 510；且 sinB；ABC 的面积为：acsinB51015；故选：B5与直线l1：x+y+30 和 l2：x+y+10 都相切的圆的直径为（）AB2C1D【分析】根据题意，分析可得直线l1l2，分析可得与直线l1：x+y+30 和 l2：x+y+10都相切的圆的直径为两平行线间的距离，求出两直线间的距离即可得答案解：根据题意，直线 l1：x+y+30 和 l2：x+y+10，两直线平行，其间的距离d，若圆与直线l1：x+y+30 和 l2：x+y+10 都相切，则该圆的直径为d；故选：A6曲线1 与曲线 1（k 9）的（）A长

9、轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断解：曲线1 表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为 8曲线1（k9）表示焦点在x 轴上，长轴长为 2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D 正确故选：D7实数 x，y 满足线性约束条件，则 zx2y 的最小值为（）A 2B 1C0D1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（4，2），化目标函数zx2y 为 y，由图可知，当直线y过 A 时，直线

10、在y 轴上的截距最大，z 有最小值为0故选：C8已知双曲线C：1（a0，b 0）的离心率为，A 为 C 上的点，F 为 C 的右焦点，且AF 垂直于 x 轴，若|AF|2，则 C 的方程为（）A 1B1C 1D1【分析】利用双曲线的离心率，结合通径，转化求解即可解：双曲线C：1（a0，b 0）的离心率为，A 为 C 上的点，F 为 C 的右焦点，且AF 垂直于 x 轴，若|AF|2，可得，解得 a b2，所求双曲线方程为：1故选：B9正数 m，n 满足 m+n 2，则+的最小值为（）ABCD2【分析】将已知变形为+1，得到+（+）（+），再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可解：正数m，

11、n 满足 m+n2，（m+1）+（n+2）5，+1，+（+）（+）+2，当且仅当m，n时“”成立，故选：B10过抛物线y2 6x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于A，B 两点，线段AB 的中点 M 在直线 y1 上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（）AB4CD9【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，设直线AB 的方程为x ty+，点 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为M，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得t，代入三角形面积公式求解解：由抛物线y26x，得焦点坐标为（，0），设直线 AB 的方程为xty+，点 A（x1，y1），B（x2，y2

12、），线段AB 的中点为M，联立，消去 x 得 y2 6ty90，y1+y2 6t，y1y2 9，由，得 t，SAOB|OF|?|y1y2|故选：A11在 ABC 中，BAC 的平分线交BC 于 D若 BAC，AB+AC4，则 AD 长度的最大值为（）AB2C3D3【分 析】设AD x，则D到 两 边AB，AC的 距 离 为x，经 计 算 可 知；然后再结合三角形的面积公式后、基本不等式可求得ABC 面积的最大值，则问题可解解：如图，设AD x，由已知得D 点到 AB，AC 两边的距离为，且AB+AC 4又，（当且仅当ABAC2 时，取等号），即 AD 的最大值为故选：A12如图，F1，F2分别

13、为双曲线C：1（a0，b0）的左右焦点，过F1向一条渐近线作垂线，分别交C 的左右两支于A，B 两点，且|AB|BF2|，则（）AB2C3+D+1【分析】在 AF1F2中利用余弦定理计算cosAF1F2，再根据直线垂直求出cosAF1F2，从而列方程得出a，b 的关系解：连接AF2，则|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，又|AB|BF2|，|AF1|2a，|AF2|4a，又|F1F2|2c，cosAF1F2，又直线 AB 与双曲线的一条渐近线为：yx 垂直，直线 AB 的斜率为tan AF1F2，cosAF1F2，即 c2 3a22ab，b22a22ab，故（）2 20，1+或1（

14、舍）故选：D二、填空题：本大题4 个小题，每小题5 分，共 20 分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13已知向量（x1，x+1），（2，1），若，则实数x【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出x 的值解：向量（x1，x+1），（2，1），且，2（x+1）（x1）0，解得 x故答案为：14若双曲线1 的一条渐近线方程为x+2y 0，则 k7【分析】双曲线1 的一条渐近线方程为x+2y0，列出方程，能求出 k 的值解：在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 1 的一条渐近线方程为x+2y0，即渐近线方程为：yx，解得 k7故答案为：715数列 an中，a16，a29，

15、且 an+1an是以 2 为公差的等差数列，则ann2+5【分析】由 an+1an是以 2 为公差的等差数列，可得：an an12n1，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出解：an+1an是以 2 为公差的等差数列，anan1（a2a1）+2（n2）2n 1，ana1+（a2 a1）+（anan1）6+3+5+（2n 1）5+n2+5故答案为：n2+516已知 M 为椭圆+1 上一动点，O 为坐标原点，A，B 两点在圆 C：（x1）2+y225 上，且满足+（1）记 AB 中点为 N，则 N 的轨迹方程为；（2）弦长|AB|的取值范围为8，4【分析】（1）设 AB 中点 N（x，y）

16、，M（x0，y0），根据题意可以推出（+），（x，y）（x0，y0），即，代入椭圆方程即可得N 的轨迹方程（2）由（1）可设 N（2cos，sin），C（1，0），由两点之间的距离公式可得|CN|2，0，2，进而推出|AB|24（r2|CN|2）100 4|CN|2的取值范围解：（1）设 AB 中点 N（x，y），M（x0，y0），所以（+），又因为+所以，所以（+），所以（x，y）（x0，y0），所以，即，又点 M（x0，y0）在椭圆上，所以，所以，即（2）|AB|24（r2|CN|2）4（25|CN|2）1004|CN|2，由（1）可设 N（2cos，sin），C（1，0）所以|CN|2（

17、2cos 1）2+（sin 0）24cos2 4cos+1+3sin2，0，2 cos2 4cos+4（cos 2）2，0，2 所以|CN|2 1，9，所以 1004|CN|2 64，96，即|AB|8，4三、解答题：本大题6 个小题，共70 分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17已知向量与向量的夹角为，且|1，（32）（1）求|；（2）若|2 m|，求 m【分析】（1）由（32）得?（3 2）3 2 3|0由此能求出|（2）由|2 m|，得 7（）242m+，由此能求出m解：（1）向量与向量的夹角为，且|1，（32）?（3 2）3 2323|0解得|3

18、（2）|2 m|，7（）242m+43m+9m2，整理得 3m2 2m10，解得 m或 m118在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 acosC（2b c）cosA（1）求角 A；（2）若 a3，求 ABC 面积 S 的最大值【分析】（1）由正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据 sinB 的值不为0，得出 cosA 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）由 a 及 cosA 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc 的最大值，最后由bc 的最大值及sinA 的值，利用三角形的面积公式即

19、可求出三角形ABC 面积的最大值解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosC（2sinBsinC）cosA，即 sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA，sin（A+C）sinB2sinBcosA，B 为三角形的内角，即sinB0，cosA，又 A 为三角形的内角，则 A；（2）a 3，cosA，由余弦定理a2b2+c22bccosA，得：9b2+c2 bc2bc bc，bc9，SABCbcsinA，则 ABC 面积 S的最大值为19在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）（1）求 ABC 外接圆 E 的标准方程；（2）过 P

20、（3，2）作直线l 交圆 E 于 M，N，若|MN|4，求直线l 的方程【分析】（1）由题意知，圆心E 在直线 x1 与 BC 的中垂线上，写出BC 的中垂线方程，求得E 点坐标，进一步求得圆的半径，可得圆的方程；（2）由已知利用垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求解：（1）由题意知，圆心E 在直线 x1 与 BC 的中垂线上，B（3，0）、C（0，3），BC 的中垂线方程为yx，故圆心 E（1，1），半径r|AE|圆 E 的标准方程为（x1）2+（y1）25；（2）设直线 l：y 2k（x3），即 kxy3k+2 0由|MN|4，知圆心E 到直线 l

21、的距离为d再由点到直线的距离公式可得：，解得 k0 或 k直线 l 的方程为：y 2或 y20已知等比数列an的各项都为正数，Sn为其前 n 项和，a38，S314（1）求数列 an的通项公式；（2）记 Tn+，求使得Tn成立的正整数n 的最小值【分析】（1）直接根据等比数列的性质列方程，求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法求出数列的和，再利用Tn成立求出n 的最小值解：（1）等比数列 an的各项都为正数，设公比为q，则，解得所以（2）由于所 以Tn+1，由于 Tn，故，解得 n10即正整数n 的最小值为1021已知 F 为抛物线C：y22px（p0）的焦点，过P（2，0）的直线l 交 C

22、于 A，B 两点，M（x0，y0）为 AB 的中点，且|FA|+|FB|2（x+1）（1）求抛物线C 的方程；（2）若 AB 的中垂线与C 的准线交于点N，且|AB|MN|，求直线l 的斜率【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线定义推出|FA|+|FB|2x0+p 2（x0+1），解得 p2，进而可得抛物线C 的方程（2）设直线l：xmy+2，联立直线与抛物线消x 得关于y 的一元二次方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，计算出|AB|，|MN|，再由|AB|MN|解得 m，进而算出斜率解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可知：|FA|+|

23、FB|x1+x2+2x0+p2（x0+1）所以 p2，即抛物线C 的方程为y24x（2）设直线 l：x my+2，?y24my8 0?，所以 x0（y1+y2）+22m2+2，|AB|y1y2|4，|MN|x0+1|（2m2+3），由|AB|MN|得：4（2m2+3），解得 m22 或 m2（舍）所以直线l 的斜率为22已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2为 E 的左、右焦点，动点 P 在直线 1：x 3 上，过 P 作 E 两条切线，切点分别为M，N 且|MF1|+|MF2|2（1）求椭圆 E 的方程；（2）如图，过F1，F2分别向 PM，PN 作垂线，垂足分别为A，B，C，D（

24、i）证明：|F1A|?|F2B|为定值；（ii）记 AF1C 和 BF2D 的面积分别为S1，S2求的取值范围【分析】（1）由已知列关于a，b，c 的方程组，解得a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（2）（i）设 M（，sin），则写出PM 的方程，利用点到直线的距离公式写出|F1A|?|F2B|，化简即可证明为定值；（ii）设 P（3，t），过P 点的切线方程为：yk（x+3）+t，联立直线方程与椭圆方程，得关于x 的一元二次方程，由0 得 7k2+6kt+t210设 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2，则，结合（i）知，|AF1|?|BF2|1，|CF1|?|DF2|1，把转化为关于k 与 t 的代数式即可求得取值范围【解答】（1）解：由，解得故椭圆 E 的方程为；（2）（i）证明：设M（，sin），则 PM：，即|F1A|?|F2B|；（ii）解：设 P（3，t），过 P 点的切线方程为：yk（x+3）+t，联立，得（1+2k2）x2+4k（3k+t）x+2（3k+t）22 0由 0，得 2k2+1（3k+t）20，即 7k2+6kt+t210设 PM，PN 的斜率分别为k1，k2，则，由（i）知，|AF1|?|BF2|1，|CF1|?|DF2|1，1）