2020届江苏省盐城中学高三下学期阶段检测数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 23 页2020 届江苏省盐城中学高三下学期阶段检测数学试题一、填空题1已知集合1,2A，2,3Ba a，若AB=1则实数a的值为 _【答案】1【解析】由题意1B，显然233a，所以1a，此时234a，满足题意，故答案为1点睛:（1）认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件（2）注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误（3）防范空集在解决有关,ABAB等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解2若复数z满足1

2、234zii（i是虚数单位），则复数 z的实部是 _.【答案】1【解析】通过复数方程，两边同乘1-2i，然后求出复数z 即可【详解】因为复数z 满足(1+2i)z=-3+4 i,所以(1-2 i)(1+2 i)z=(-3+4 i)(1-2 i)，即 5z=5+10i，所以 z=1+2i,实部为 1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。本题属于基础题。3一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 _第 2 页 共 23 页【答案】8【解析】分析：先判断6I是否成立，若成立，再计算IS，若不成立，结束循环，输出结果.详

3、解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8ISISIS，因为76，所以结束循环，输出8.S点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为_.【答案】345【解析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11(7791418)115x，乙的平均数为21(89101315)115x；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：2222221

4、34(811)(911)(1011)(1311)(1511)55s故答案为：345【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题5从 0、2 中选一个数字.从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为_.【答案】30.【解析】讨论选择的数字是0 和 2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从 0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A个；若从 0、2 中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A个，故一共有30 个第 3 页 共 23 页故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6已知双曲线

5、222210,0 xyabab的一条渐近线的倾斜角为45o，且过点3,1，则双曲线的焦距等于_.【答案】8【解析】根据题意得出1ba，然后将点3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a、b的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为byxa，由题意可得1ba，ba，所以，双曲线的标准方程为22221xyaa，将点3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911aa，得2 2ab，因此，双曲线的焦距为2222 48ab.故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a、b的值，考查运算求解能力，属于中等题.7若圆柱的底面直径和高都与球

6、的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S、2,S则有12:SS【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R，则2212:(222):43:2.SSRRRR【考点】球的表面积8已知函数221()log(1)1xaxf xxx，若(0)2ff，则实数a的值是 _【答案】2【解析】解方程(0)2f f即得 a的值.【详解】第 4 页 共 23 页0(0)223f(0)(3)log 2afff(0)2fflog 22a，因为0,a所以解得a2故答案为2【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9 已知函数()sin(2)(0)f xx图象

7、的一条对称轴是直线6x，则(2)f的值为 _【答案】12【解析】由函数()sin(2)(0)f xx图象的一条对称轴是直线6x可得()16f，结合0解得6，代入(2)f中计算即可得到答案.【详解】由题意，()16f，sin(2)16，即,32kkZ，,6kkZ，又0，所以6，故51(2)sin5sin62f.故答案为：12.【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.10已知na是首项为 2，公比为1q q的等比数列，且na的前n项和为nS，若2nS也为等比数列，则q_【答案】2 第 5 页 共 23 页【解析】先由na为等比数列可得222112nnqqSq，由

8、2nS为等比数列，可得2nS也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解.【详解】已知na是首项为2，公比为1q q的等比数列.所以1122221111nnnnaqqqSqqqq.222112nnqqSq2nS为等比数列,则2nS也为等比数列.所以2201q，即2q=.故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n项和的公式，属于中档题.11如图，在平面四边形ABCD中，2CAD，2AD，4ABBCCA，E、F分别为边BC、CD的中点，则AE AFu uu v uu u v_【答案】63【解析】以点A为坐标原点，CAu u u r、ADuuu r分别为x轴、y轴的正方

9、向建立平面直角坐标系xAy，计算出AEuuu r、AFuuu r的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AFu uu r uu u r的值.【详解】以点A为坐标原点，CAuu u r、ADuu u r分别为x轴、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy，第 6 页 共 23 页则点0,0A、2,1F、3,3E，2,1AFuuu r，3,3AEuu u r，因此，231363AE AFuu u r uu u r.故答案为：63.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12在平面直角坐标系xOy中，直线:50l kxyk与圆2

10、2:100C xyx交于点,A B，M为弦AB的中点，则点M的横坐标的取值范围是_【答案】5(,52【解析】将直线l与圆C联立方程组消去y可得2222(1)10(1)250kxkxk，利用根与系数关系可得225(1)21ABMxxkxk，再根据直线l与圆C相交，利用判别式求出2k的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围【详解】由2250,100,kxykxyx消去y得2222(1)10(1)250kxkxk，所以2210(1)1ABkxxk，所以222225(1)5(1)21052111ABMxxkkxkkk，第 7 页 共 23 页因为直线l与圆C交于点 A，B 两点，所以22222100(

11、1)4(1)253001000-kkkk，所以213k，令21kt，41,)3t，所以105Mxt，其在41,)3t上单调递减，所以552Mx故答案为：5(,52【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题13已知ABC的面积为21，2 3AC，且431tantanAB，则tan A的值为_.【答案】21【解析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出sincos3bAAc，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出2sinsincosAAA的值，并利用弦化切的思想可求出tan A的值.【详解】设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则23b，434cos3

12、cos4cossin3sincos1tantansinsinsinsinABABABABABABQ，4cossin3sincossinsinABABAB，sinsincossin3 sincoscossin3sin3sinABABABABABC，由边角互化思想得sincos3bAAc，sincos3bAAc，ABC的面积为112 3sin2 3sincossin223ABCSbcAAAA22 sinsincos21AAA，221sinsincos2AAA，第 8 页 共 23 页即222222222222sinsincos21sinsincostantancoscossincos2sincos

13、tan1coscosAAAAAAAAAAAAAAAAA，整理得221 tan2 tan210AA，解得tan21A.故答案为：21.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14已知函数2ln2,05,04xxx xfxxx x的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y的对称点在30kxy的图象上，则实数k的取值范围是_【答案】3,1,4U【解析】求出直线30kxy关于直线2y对称的直线l的方程10kxy，然后将问题转化为直线l与函数yfx的图象有两个交点，构造函数1ln2,015,04xxxg xxxx，将

14、问题转化为直线yk与函数yg x的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k的取值范围.【详解】直线30kxy关于直线2y对称的直线l的方程为430kxy，即10kxy，对应的函数为1ykx.所以，直线l与函数yfx的图象有两个交点.对于一次函数1ykx，当0 x时，1y，且00f.则直线l与函数yfx的图象交点的横坐标不可能为0.当0 x时，令1kxfx，可得1fxkx，第 9 页 共 23 页此时，令1ln2,0115,04xxfxxg xxxxx.当0 x时，22111xgxxxx，当01x时，0gx；当1x时，0gx.此时，函数yg x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，函

15、数yg x的极小值为11g；当0 x时，222111xgxxx，当1x时，0gx；当10 x时，0gx.此时，函数yg x在区间,1上单调递增，在区间1,0上单调递减，函数yg x的极大值为314g.作出函数yk和函数yg x的图象如下图所示：由图象可知，当1k或34k时，即当34k或1k时，直线yk与函数yg x的图象有两个交点.因此，实数k的取值范围是3,1,4U.故答案为：3,1,4U.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，第 10 页 共 23 页属于中等题.二、解

16、答题15如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA平面ABCD.（1）求证：/PB平面 AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PA AD，求证：AE平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接BD交AC于O，可得知点O为BD的中点，利用中位线的性质得出/PB OE，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出/PB平面AEC；（2）证明出CD平面PAD，可得出AECD，由等腰三角形三线合一的思想得出AEPD，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE平面PCD.【详解】（1）连接BD交AC于O，因为ABCD是平行四边形，所以O是BD

17、的中点，因为E为PD的中点，所以/OEPB，又因为 PB平面 AEC，OE平面 AEC，所以/PB平面 AEC；（2）因为PAAD且E是PD的中点，所以AEPD，第 11 页 共 23 页又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，因为四边形ABCD是矩形，所以CDAD，因为PA、AD平面PAD且PAADA，所以CD平面PAD，又因为AE平面PAD，所以CDAE，PDQ、CD平面PCD且PDCDD，所以AE平面PCD.【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b

18、，c，cosB45（）若c2a，求sinsinBC的值；（）若CB4，求 sinA 的值【答案】（1）3 510（2）31 250【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos45B及2ca得出 b,c关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法 1：在ABC中，因为cos45B，所以222425acbac.因为2ca，所以222()42522ccbcc，即22920bc，所以3 510bc.又由正弦定理得sinsinBbCc，所以sin3 5sin10BC.解法 2：因为4cos,(0,)5BB，所以23sin1cos5BB.因

19、为2ca，由正弦定理得sin2sinCA，所以68sin2sin()cossin55CBCCC，即sin2cosCC.又因为22sincos1,sin0CCC，解得2 5sin5C，所以sin3 5sin10BC.（2）因为cos45B，所以27cos22cos125BB.第 12 页 共 23 页又0B，所以23sin1cos5BB，所以3424sin22sincos25525BBB.因为4CB，即4CB，所以3()24ABCB，所以3332722431 2sinsin(2)sincos2cossin 2()44422522550ABBB试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基

20、本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系17 某国营企业集团公司现有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x（*xN）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500 xa万元(0)a，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x.（）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a的取值范围是多少？【答案】（）500 名（）(0,

21、5【解析】（1）根据题意可列出10 100010.2%10 1000 xx，进而解不等式即可求得x的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（）由题意，得10 10001 0.2%10 1000 xx，整理得25000 xx，解得0500 x，又0 x，0500 x，第 13 页 共 23 页最多调整出500 名员工从事第三产业.（）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500 xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为10 10001500

22、 xx万元.则由题意，知当0500 x时，恒有31010(1000)1500500 xxaxx，整理得10001250 xax在0500 x时恒成立.Q1000100024250250 xxxx，当且仅当1000250 xx，即500 x时等号成立，5a，又Q0a，05a，a的取值范围是(0,5.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18如图，已知椭圆C：222210 xyabab过点31,2，离心率为12，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率为0k k的直线l与椭圆C相交于M、N两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）记AFM、BFN 的面积分别为

23、1S、2S，若1265SS，求k的值；第 14 页 共 23 页（3）记直线AM、BN的斜率分别为1k、2k，求21kk的值.【答案】（1）22143xy；（2）136k；（3）3.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，根据题意得出关于a、b、c的方程组，求出a、b的值，即可得出椭圆C的标准方程；（2）设点11,Mx y、22,N xy，由1265SS，可得出25FMNFuuu u ruu u r，利用共线向量的坐标运算以及点M、N在椭圆C上，列方程组求出点N的坐标，然后利用斜率公式可求出k的值；（3）可得出直线l的方程为1yk x，将该直线方程与椭圆C的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并

24、代入韦达定理可计算出21kk的值.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，Q椭圆过点31,2，离心率为12，229141ab，12ca，解得2a，3b，因此，椭圆的方程为22143xy；（2）设点11,Mx y、22,N xy，1265SSQ，12162152AFyBFy，整理可得12365yy，即1225yy，25FMNFuuu u ruuu r.代入坐标，可得1212211525xxyy，即1212725525xxyy，又Q点M、N在椭圆C上，22222222722555143143xyxy，解得22543 138xy，直线l的斜率3 131385614k；第 15 页 共 23 页（3）Q直线

25、l的方程为1yk x，由221143yk xxy消去y得22223484120kxk xk，2122843kxxk，212241243kxxk，又2212122111212121222122yyxk xxkxykyxk xxx122112122222x xxxx xxx22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343kkkkxxxxkkkkkkkkxxxxkkkk，因此，213kk.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设

26、而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19已知函数2ln2xfxaxax.（1）当1a时，求fx在1x处的切线方程；（2）当0a时，讨论fx的单调性；（3）若fx有两个极值点1x、212xxx，且不等式1212fxfxxx恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2230 xy；（2）见解析；（3）2ln 23,.【解析】（1）将1a代入函数yfx的解析式，求出该函数的导数，计算出1f和1f的值，然后利用点斜式可写出函数yfx在1x处的切线方程；第 16 页 共 23 页（2）求出函数yfx的定义域和导数2xaxafxx，计算出二次函数2yxaxa的判别式24aa，分0和两种情况讨论，

27、可得出函数yfx的单调区间；（3）由（2）得知4a，且方程0fx的两根分别为1x、2x，利用韦达定理得出1212xxax xa，由参变量分离法得出1212fxfxxx，结合韦达定理得出12121ln12fxfxaaxx，利用导数求出关于a的函数1ln12yaa在4,a上的值域，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当1a时，2ln2xxfxx，112f，11fxxx，11f，所以，函数yfx在1x处的切线方程为112yx，即2230 xy；（2）函数yfx定义域为0,，2axaxaaxxxfx，二次函数2yxaxa的判别式24aa.若240aa时，即当04a时，对任意的0 x，0fx，此时，

28、函数yfx单调递增区间为0,，无减区间；若240aa时，即当4a时，由20 xaxxafx，得2402aaax或2402aaax.当2402aaax，或242aaax时，0fx，当224422aaaaaax时，0fx，此时，函数yfx单调递增区间为240,2aaa，24,2aaa，单第 17 页 共 23 页调递减区间为2244,22aaaaaa；（3）由（2）知，4a，且1212xxax xa，不等式1212fxfxxx恒成立等价于121212fxfxfxfxxxa恒成立，又221211122211lnln22fxfxaxxxaxxx221212121lnln2axxa xxxx212121

29、2121ln22ax xa xxxxx x22211ln2ln22aaaaaaaaa.所以12121ln12fxfxaaxx，令1ln142yaaa，则1102ya，所以1ln12yaa在4,上单调递减，所以2ln 23y，所以2ln 23.因此，实数的取值范围是2ln 23,.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20已知无穷数列na的前n项中的最大项为nA，最小项为nB，设nnnbAB（1）若21nan，求数列nb的通项公式；（2）若212nnna

30、，求数列nb的前n项和nS；（3）若数列nb是等差数列，求证：数列na是等差数列.【答案】（1）2nbn（2）123971,42SSS，当4n时，19323842nnnnS（3）证明见解析【解析】（1）根据数列为递增数列得到答案.第 18 页 共 23 页（2）计算11322nnnnaa，2n时，数列单调递减，故4n时，32142nnnb，利用分组求和与错位相减法计算得到答案.（3）设数列nb的公差为d，则111nnnnnnbbAABBd，讨论0d，0d，0d三种情况，分别证明等差数列得到答案.【详解】（1）na是递增数列，所以121,1nnnAanBa，所以2nnnbABn.（2）由212n

31、nna得111212132222nnnnnnnnaa，当11,0nnnaa，即12aa；当12,0nnnaa，即234aaaL又1231411357,24816aaaa aa，所以123551,44bbb，当4n时，32142nnnb，所以123971,42sss，令212nnnc，对应的前n项和为nT，则21113.21.22.2nnTn，23111113.222212nnnT，两式相减化简整理得到：2332nnnT，当4n时，333331934238442nnnSnTTSnn.综上所述，123971,42sss，当4n时，19323842nnnns.（3）设数列nb的公差为d，则111nn

32、nnnnbbAABBd，由题意11,nnnnAABB，10,nndAA，对任意*nN都成立，即11nnnnAaAa，na是递增数列.所以1,nnnAaBa，所以111nnnnnndAABBaa，所以na是公差为d的等差数列；当0d时，1nnBB对任意*nN都成立，进而11nnnnBaBa，第 19 页 共 23 页所以na是递减数列.1,nnnAa Ba，所以111nnnnnndAABBaa所以na是公差为d的等差数列；当0d时，110nnnnAABB，因为1nnAA与1nnBB中至少有一个为0，所以二者都为0，进而na为常数列，综上所述，数列na等差数列.【点睛】本题考查了数列的通项公式，前

33、n项和，证明等差数列，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21已知 a，b，c，dR，矩阵 A20ab的逆矩阵A111cd.若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到直线y2x 1，求曲线C 的方程【答案】2x5y10.【解析】根据AA11001解得 A1201，设 P(x，y)为曲线 C 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换作用下变为点P(x，y)，利用矩阵的线性变换，用,x y表示,xy，将,x y代入 y 2x1 并整理即可得到答案.【详解】由题意得，AA11001，即20ab11cd22adacbdb1001，所以 a1，b1，c2，d0，即矩阵 A1201，.设 P(x，y)为

34、曲线 C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P(x，y)，则xy1201xy，即2xxyyy由已知条件可知，P(x，y)满足 y2x1，整理得2x5y10，所以曲线C 的方程为2x5y 10.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.第 20 页 共 23 页22在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A，B的极坐标分别为42，52 24，曲线C的方程为r（0r）（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值【答案】（1）340 xy；（2）2 105【解析】

35、（1）求得0 4A，22B，问题得解（2）利用直线AB和曲线C相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r，列方程即可得解【详解】（1）分别将42A，52 24B，转化为直角坐标为0 4A，22B，所以直线AB的直角坐标方程为340 xy（2）曲线 C的方程为r（0r），其直角坐标方程为222xyr又直线 AB 和曲线 C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r.又圆心到直线AB 的距离为222 104531，即r的值为2 105【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题2

36、3某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是12.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望.【答案】(1)38；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2 次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望.详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为第 21 页 共 23 页；（2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X 0 1 2 3 P

37、所以，X的数学期望为点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单24如图，F是抛物线220ypx p的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于11,A x y、22,B xy两点，交抛物线的准线于点H，其中10y，124y y过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.第 22 页 共 23 页（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值【答案】（1）2p；（2）25 1

38、59.【解析】（1）设直线AB的方程为2pxty，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x，得到关于y的二次方程，利用韦达定理结合124y y可求出正数p的值；（2）由直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为10 xtyt，并设点33,Q xy，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB，求出点H的坐标，可得出点P的坐标，并可得出直线PF的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q的坐标，并分别计算出点P、Q到直线AB的距离1d、2d，利用三角形的面积公式可得出S关于t的表达式，设20kt，构造函数2fkS，利用导数求出函数yf k的最小值，即可得出S的最小值.

39、【详解】（1）设AB方程为2pxty，与22ypx联立，消去x整理得2220yptyp，所以2124y yp，得2p（舍去）或2p；（2）由（1）知抛物线方程为24yx，1,0F，准线方程为1x.因为直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为10 xtyt，33,Q xy，由214xtyyx得2440yty，124y y，124yyt，所以2212141ABtyyt，令1x，则2yt，所以21,Ht，212,Ptt，直线PF的方程为2112txyt，由221124txytyx得222140tyyt，所以324ty，32yt，代入24yx，得23xt，所以2,2Q tt.Q到直线AB的距离为212

40、11tdt，P到直线AB的距离为222211dttt，第 23 页 共 23 页所以四边形APBQ的面积5322122221112221tSAB ddtttt，令20tk，则5224 1kSk，令524 1kf kk，则432 132kkfkk.当203k时，0fk，函数yfk单调递减，当23k时，0fk，函数yf k单调递增.所以，当23k时，yfk有最小值5527，因此，四边形APBQ的面积S的最小值为25 159.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.