2020届高考数学例解棱锥.pdf

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1、2020届高考数学例解棱锥例 1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为60，求：1棱锥的高；2斜高；3侧棱长；4侧棱与底面所成角分析：此题涉及了正棱锥的假设干差不多量，能够把差不多量放置到直角三角形中，由量求未知量解：正六棱锥的底面周长为24正六棱锥的底面边长为4在正棱锥ABCDEFS-中，取BC中点H，连SH，BCSH，O是正六边形ABCDEF的中心连SO，那么SO底面ABCDEFBCOHSHO是侧面与底面所成二面角的平面角，即60SHO1在RtSOH中，3223BCOH，60SHO，660tanOHSO2同样在SOH中，斜高342OHSH，3RtSOH中，6SO，4BCOB1322

2、2OBSOSB4SO底面ABCDEF，SBO是侧棱与底面所成角，同样在SOB中，23tanBOSOSBO，23arctanSBO，讲明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度要紧在两上重要的直角三角形中，此题中的方法也可用于其它正棱锥中比如：正四棱锥底面边长为a，相邻两侧面所成二面角为120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用那个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先运算侧棱长为a23，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，运算出高为a21，斜高为a22典型例题二例 2 如下图，正四棱锥ABCDP-棱长均为13，M

3、，N分不是PA，BD上的点，且85：NDBNMAPM1求证：直线/MN平面PBC；2求直线MN与底面ABCD所成角的正弦分析：1 要证明/MN平面PBC，只需证明MN与平面PBC内某一条直线平行为此连AN并延长交BC于E，连PE可考虑证明PEMN/2假设能证明PEMN/，那么PEO即为直线MN与底面所成的角解：1连AN并延长交BC于E，再连PEADBE/，NDBNANEN：，又MAPMNDBN：，MAPMANEN：，MNPE/，又PE平面PBC，MN平面PBC，/MN平面PBC2设O为底面中心，连PO，EO，那么PO平面ABCD又PEMN/，那么PEO为直线MN与平面ABC所成的角由85：ND

4、BNADBE及13AD，得865BE，在PBE中，60PBE，13PB，865BE，由余弦定理，得891PE 在RtPOE中，2213PO，891PE，那么724sinPEPOPEP讲明：此题 2假设直截了当求MN与平面ABCD所成的角，运算就比较复杂，而平移为求PE与底面所成的角，运算就易得多可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法典型例题三例 3 斜三棱柱111-CBAABC的底面ABC是直角三角形，90C，侧棱与底面成60角，点1B在底面的射影D为BC的中点，cm2BC1求证11BCAB；2假设CBBA-1为30的二面角，求四棱锥11-BCCBA的体积分析：证11BCAB关键在于证出其中

5、一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高这两个咨询题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得解：如下图，1DB1平面ABC，AC底面ABC，DBAC1BCAC，AC平面BCB1，1BCAC1B在底面ABC上的射影D为BC的中点，侧棱与底面成60角，四边形11BBCC是菱形，11BCCB，1BC平面1ACB，11ABBC2过C作BBCE1，连结AEAC平面CCBB11，CE是AE在平面CCBB11上的射影，BBAE1，AEC是二面角CBBA-1的平面角，30AEC在RtBEC中，360sinBCEC，在RtACE中，由90ACE可得130tan3tanAECECAC2

6、3312121CEACSACE，ACEBACEBBCBAVVV-11EBSEBSACEACE31311EBEBSACE131131BBSACE22331333322111-BCBABCCBAVV体积单位讲明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明经常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿咨询题的始终当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能运算时，将几何体分割成两个体积之和运算也是一种常用的方法结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使咨询题得到简化典型例题四例 4 如图，在三棱锥ABCP-中，PA底面ABC，BCAC，D、G分不是PA和AB的中点，E为PB上一点

7、，且PBBE31，21：ABAP1求证：EG平面CDG；2求截面CDE分棱锥ABCP-所成两部分的体积之比分析：由PA底面ABC，能够判定平面PAB平面ABC，且 相 交 于AB，因 为G是AB的 中 点，且ACBC，因 此ABCG，因此有CG平面PAB，EGCG假设证EG平面CDG，只需EG与平面CDG中的另一条直线垂直就能够了为此，就要从的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系平面CDE把三棱锥ABCP-分成两部分，明显这两部分具有相同的高线CG因此，只要找到PDE和四边形ABED的面积之比，就能够确定两部分的体积之比了证明：1PA平面ABC，且PA平面PAB平面PAB平面ABC，且相交于

8、AB在ABC中，BCAC，CG是AB边上的中线ABCGCG平面PABEG平面PAB，CGEG利用两个平面垂直的性质定理能够证明CG平面PAB在RtPAB和GEB中设xPA，那么xAB2，xPB3，xBE33，xBG2261322xxPBBG，61233xxABBEPBAGBE，PABGEB90PAB，90GEBPBEGPBDG/利用相似三角形的性质，得到90GEBDGEGGCGDG，EG平面CDG解：2APBPDPESPDEsin21APBPBPASPABsin21PAPD21，PBPE3213sin21sin21APBPEPDAPBPBPASSPDEPAB133131-PDEPABPDECP

9、ABCSCGSCGVV三棱锥三棱锥12-PDECPDECPABCVVV三棱锥三棱锥三棱锥截面CDE分棱锥ABCP-为两部分，三棱锥PDEC-与四棱锥ABEDC-的体积之比为 1：2典型例题五例 5 四棱锥ABCDP-，侧面PCD是边长为2 的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是面积为32的菱形，ADC为菱形的锐角 1 求证：CDPA；2 求二面角DABP-的大小；3求棱锥ABCDP-的侧面积与体积分 析：取CD中 点H，侧 面PCD底 面ABCD，从 而CDPA可利用三垂线定理转化为证明CDHA，线面垂直也为二面角DABP-平面角的落实制造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的专门性来解

10、决证明：1取CD中点H，连PH、AH，PCD是等边三角形，CDPH，面PCD底面ABCD，PH底面ABCD，等边PCD的边长为2，2CD菱形ABCD的边长为2，又菱形的面积是32，32sin22ADC，23sinADC，又ADC是锐角，60ADC，ADC是等边三角形，CDAH，PA在平面AC上射影为HA，CDPA解：2ABCD/，由 1HACD，PACD，AHAB，PAABPAH是二面角DABP-的平面角，在RtPHA中360sin2AHPH，45PHA，即二面角DABP-的大小为453由 2在RtPHA中，可得6PA，在RtPAB中，6PA，2AB，10PB，66221PABS，在PDA中，

11、2DAPD，6PA，可得215PADS，在PCD中，2BCPC，10PB，可得215PBCS，又正PCD边长为 2，32432PCDS，3156321526侧S，3PH，23323131PHSV菱形讲明：抓线面垂直关系是解决立体几何咨询题的关键，非专门棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个运算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等能够举一个类似的例子，四棱锥ABCDV-的高为1，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成45角，求棱锥的全面积那个地点由相交平面VDC与VDA都与底面垂直得到VD垂直

12、于底面，利用VD底面ABCD，一方面落实了棱锥的高为1VD，另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过运算可得，全面积为22332典型例题六例 6 三棱锥ABCP-中，PA、PB、PC与底面ABC所成角相等，90CAB，aPBABAC，D为BC中点，E点在PB上且/PC截面EAD，1求AE与底面ABC所成角；2求PC到平面EAD的距离分析：由PA、PB、PC与底面所成角相等可得P点在面ABC上射影为ABC的外心，由于ABC是直角三角形，能 够 得 到PD面ABC，/PC面EAD可 转 化 为DEPC/，E是PB中点，找出E到面ABC的垂线

13、落实EA与面ABC所成角C到面EAD的距离可从两方面得到，一方面直截了当找C到面EAD的垂线，另一方面，用等积法可求点到面的距离解：1PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，设P在面ABC上射影为O，那么有PCOPBDPAO，PAOPBOPCO，PCPBPA且OCOBOA，O是ABC的外心ABC是直角三角形，且O是斜边BC的中点，O点和D点重合，即PD面ABC，/PC截面EAD，过PC的平面PBC与平面EAD交于ED，EDPC/，D是BC中点，E是PB中点，取BD中点F，那么PDEF/，EF平面ABC，EAF为EA与底面ABC所成角aPBPAAB，aAE23，aACAB且90BAC，aBC2又

14、aPCPB，BPC也是等腰直角三角形，aBCPD2221，aEF42，在RtAEF中，662342sinaaEAF，66arcsinEAF，即AE与平面ABC所成角为66arcsin2方法一：PD平面ABC，ADPD又BCAD，AD平面PBC，PBAD由 1PBC是直角三角形，90BPC，PCPB，PCED，EDPB，PB平面EADaABPB，aPE21即PC到平面EAD的距离为a21方法二：PDAD，BCAD，AD平面PBC，DEAD，又aBCAD2221，aPBDE2121282212221aaaSADE，24121aSSABCACD，aPDEF4221，设C到面EAD的距离为h，EFSh

15、SACDADE，aaha42418222ah21，即PC到平面EAD的距离为a21典型例题七例 7如下图，在三棱锥ABCS中，SA底面ABC，BCAB，DE垂直平分SC，且分不交AC、SC于D、E，又ABSA，BCSB求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数分析：从查找二面角的平面角入手二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中差不多存在，只需要将其找出来解：SA平面ABC，BD平面ABC，BDSADE是SC的垂直平分线，SCDE，且E是SC的中点又BCSB，SCBE又EDEBE，SC平面BDE，BDSC又SSASC，BD平面SAC，CDBD，DEBD从而E

16、DC为二面角CBDE的平面角设aSA，那么aABSA平面ABC，ABSA，ACSA，从而aSBBC2又BCAB，aAC3在SACRt中，333tanaaACSASCA，30SCA，又SCDE，60EDC因此所求的二面角的度数为60讲明：此题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并 考 查了 空间 想像 能力和逻 辑推 理能 力 解答此 题 的关 键是 认定EDC是 二面 角CBDE的平面角 这需要具有一定的观看能力和判定能力，而且要给出严格的证明学生专门可能发觉不了EDC即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使咨询题复杂化 此题所给条件较多，因此恰当地选择

17、所需条件进行论证和运算也是解决此题的一个难点典型例题八例8P是ABC所 在 平 面 外 的 一 点，PA、PB、PC两 两 垂 直，3PCPBPA求P到平面ABC的距离分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解解法一：3PCPBPA，P在底面ABC内的射影O是ABC的外心又PA、PB、PC两两相互垂直，ABC是等边三角形，O是ABC的重心如图，在POA中，3PA，623233260sin32ABAO3)6(32222AOPAPO解法二：设P点到平面ABC的距离为hPA、PB、PC两两垂直，3PCPBPA，293332131PBCAV，23ACBCAB，329)23(432ABCS又ABCPP

18、BCAVV，h3293129，3hP到平面ABC的距离为3解法三：取BC的中点D，连PD、ADPCPB，ACAB，BCAD，BCPD，BC平面PAD，BC平面ABC，ABC.ABC平面于交作过平面平面平面平面POOADADPOPADPADABCPAD，PO确实是P到平面ABC的距离在PAD中，3PA，223PD，263232323ABAD又90APD，36232233sinADPDPAPADPAPO讲明：此题难度并不大然而那个地点所给出的三种方法专门典型方法一利用PCPBPA确定P在底面内射影为ABC的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位典型例题九例 9如下

19、图，在三棱锥ABCP中，底面为直角三角形，两直角边3AC，4BC三棱锥侧面与底面所成二面角都为60求此三棱锥的侧面积分析：此题可利用面积射影定理求解假设一棱锥各侧面与底面所成二面角都为，且底S，那么由面积射影定理知：cos底侧SS解法一：过P作底面ABC的垂线，垂足为I，过I在底面ABC内作AB的垂线，垂足为D，连结PD由三垂线定理知ABPD，PDI为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，即60PDI又可知I为ABCRt的内心3AC，4BC，5AB，从而12543ID在PIDRt中，由60PDI，得2PD，从而各侧面三角形的高均为2122)345(21PCAPBCPABSSSS侧解法二：P

20、CAPBCPABSSSS侧1221432160cos60cos60cos60cos底SSSSICAIBCIAB讲明：此题考查了三棱锥的有关概念与性质在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而那个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，因此常常通过研究那个辅助平面来解决咨询题解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理典型例题十例 10三棱锥ABCP中，ACAP，2PB将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形APPP321如下图(1)求证：侧棱ACPB；(2)求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，

21、BPAP11，BPCP22的关系不变，因此在三棱锥ABCP中有PAPB，PCPB故PACPB平面，从而ACPB(2)由(1)可知PACPB平面，在平面PAC内作ACPD于D，连BD，那么PDB即是所求二面角的平面角，且PBD为Rt，只需求出两条边即可而边长能够考虑在侧面展开图中求解证明：(1)见上述思路分析解：(2)作ACPD，那 么 由 三 垂 线 定 理 知ACBD，因 此PDB是 二 面 角BACP的平面角，即PDB再作3CPAE于E，那么4AE，且E是3CP的中点，设xACAPAP31，yEPCE3在ACERt中，2224yx且由CPCP32，得yyx2，解得23x，2y由AECPAC

22、DP33，得38232243DPPD由2PB，38PD，310BD，知54cosBDPD所求二面角的余弦值为54讲明：折与展是一对互逆的过程在处理这类咨询题时应充分注意折叠或展开前后各元素(要紧是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变一样来讲，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化这类咨询题常用的添辅助线方法是作棱的垂线典型例题十二例 12以下命题中，真命题的个数是(1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥(2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥(3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥(4)侧面与底面所成之角

23、相等的棱锥是正棱锥A3 个B2 个C1 个D0 个分析：有些同学错解的缘故在于未能专门好地明白得正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质能够由其定义结合有关知识推导得到对比定义，构造反例如下图，ABCS是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等在SB、SC上分不取异于B、C的点1B、1C，连1AB、1AC，那么三棱锥11CABS均满足命题(1)、(2)的条件，但明显不是正三棱锥，因此命题(1)、(2)为假命题命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命

24、题在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，因此命题(4)也是假命题综上可知应选D典型例题十三例 13.如图，三棱锥ABCP中，PCPBPA，P在底面ABC上的射影为O求证：O为ABC的外心证明：连结PO、OA、OB、OC，那么PO底面ABCPCPBPA斜线相等，COBOAO射影相等，O为ABC的外心讲明：(1)同理可证，假如三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心(2)上述两结论对一样棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心典型例题十四例 14

25、假如三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心如图，三棱锥ABCP，三侧面PAB、PAC、PBC与底面所成二面角都相等，P点在底面上的射影为O求证：O为ABC的内心证明：连结PO，那么PO平面ABC在底面上作ABOD、BCOE、ACOF，垂足分不为D、E、F连结PD、PE、PF由三垂线定理可得ABPD、BCPE、ACPFPDO、PEO、PFO分不为二面角CABP，ABCP，BACP的平面角又PFOPEOPDO，POPOPO，PDORtPEORtPFORt，OFOEOD，O为ABC的内心讲明：(1)同理可证，假如三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点

26、在底面上的射影为底面三角形的内心假设射影点在多边形内部的话(2)上述两结论对一样棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心射影在多边形内部(3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影能够在底面多边形的外部，也能够在多边形的一边上典型例题十五例 15假如三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心三棱锥ABCP的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，O为P在底面ABC上的射影求证：O为底面三角形ABC的垂心证明：如图，连结PO、AO、BOPBPA，PCPA，且PP

27、CPB，PA平面PBCBCPA又PO平面ABC，由三垂线定理的逆定理知，BCAO同理，ACBOO点为ABC的垂心讲明：同理可证：假如三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心典型例题十六例 16三棱锥ABCV的各面积分不为3VABS，4VBCS，5VACS，6ABCS，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角分析：第一找出二面角的平面角，转化到平面中去，然后利用条件列有关的等式解：如图，作VO平面ABC于O，连结AO、BO、CO侧面与底面所成的角都相等，设者为，O为底面ABC的内心，过O在底面ABC内作ABOD，BCOE，ACOF，

28、垂足分不为D、E、F；连结VD、VE、VF由三垂线定理可得ABVD，BCVE，ACVFVFOVEOVDOABODSAOB21，ABVDSVAB21，而cosVDOD，cosVDODSSVABAOB，cosVABAOBSS同理cosVBCBOCSS，cosVACAOCSS，cos)(VACVBCVABAOCBOCAOBSSSSSS，即cos侧底面SSABCcos)543(6，21cos，3侧面与底面所成的二面角为3讲明：(1)依照此题的推导过程不难得出如下结论：假如三棱锥的三个侧面与底面成等角，三棱锥的底面积为底S，侧面积为侧S，那么cos侧底SS(2)能够进一步证明：假如棱锥的各个侧面与底面成

29、等角，那么cos侧底SS典型例题十七例 17如图，正三棱锥ABCS的高hSO，斜高lSM求通过SO的中点平行于底面的截面CBA的面积分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积解：连结OM、OA在SOMRt中，22hlOM因为棱锥ABCS是正棱锥，因此点O是正三角形ABC的中心223260tan22hlOMAMAB，)(33)(34434322222hlhlABSABC据一样棱锥截面的性质，有4122hhSSABCCBA)(43322hlSCBA讲明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面典型例题十八例 18如图，棱锥ABCV的底面积是264cm，平行于底面的截面面积是

30、24cm，棱锥顶点V在截面和底面上的射影分不是1O、O，过OO1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积分析：顶点到截面的距离1h与原棱锥高h的关系，可由截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系能够求出，再运用一样棱锥截面性质能够求得各截面面积解：设棱锥的高为h，其顶点到截面之距11hVO，1OO的三等分点为2O、3O，由得644221hh，411hh，hh411hhhVOVOOO434111，而OOOOOO33221，那么hhOOOOOO41433133221241412hhhVO，hhhhVO434141413设过2O、3O的截面面积分不为2S、3S，底面面

31、积为S那么222)21(hhSS，16412SS(2cm)223)43(hhSS，36641693S(2cm)两截面的面积分不为216cm和236cm讲明：此题还能够求得以V为顶点，分不以过1O的截面、过2O的截面、过3O的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为1694164361644321锥锥锥锥SSSS典型例题十九例 19正三棱锥底面边长和高差不多上4，它的一个内接三棱柱的三个侧面差不多上正方形求内接三棱柱的全面积分析：如下图三棱柱的上底面FED与正三棱锥的底面ABC相似，它们的相似比 等 于POPO 设 三 棱 柱 的 棱 长 为x，那 么 有444xx

32、，得 出2x，侧全SSSFED2解：设 三 棱 柱 的 棱 长 为x，由 于 三 棱 柱 的 上 底 面FEDABC，那 么 有PAPDABED，即444xx，2x，360sin212xSFED，1232xS三棱柱侧，12322三棱柱侧全SSSFED典型例题二十例 20如图(1)设正三棱锥ABCP的底面边长a，侧棱长为a2，过A作与PB、PC分不交于D和E的截面，当截面ADE的周长最小时，求截面的面积分析：因为截面ADE的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现假设沿侧棱PA将棱锥展开，那么截面ADE的周长为最小时，确实是线段AA的长，如图(2)所示解：将正三棱锥ABCP沿侧棱PA展开，当截面ADE的

33、周长为最小值时，其周长即是展开图中线段AA之长在侧面展开图中，CABCAB，且CBAABC四边形ABCA是等腰梯形，BCAA/，PABBDAPBC，BDAPBA，PBBABABD2BAPB，BDBA2aBDPBPD23，又PBPDBCDE，aDE43aEADEDAAA411在三棱锥中，取截面ADE的边DE的中点为H，AEAD，DEAH，aaaHDADAH855)83(2222，26455321aAHDESADE讲明：本例中，求侧面展开图中AA之长时运用了平面几何知识，过程较为简明假设在三角形PAA中，由aPAPA2，运算出APA的余弦后，再用余弦定理求AA之长，就苦恼得多了典型例题二十一例 2

34、1正三棱锥ABCP的底面边长为a，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D，且此截面与底面成30的二面角，求此正三棱锥的侧面积分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形解：如图，作PO底面ABC于OABCP为正三棱锥，O为底面正三角形ABC的中心，连结AO交BC于M，连结PM，那么BCAM，BCPM，BC平面APM，DMBC，AMD为截面DBC与底面ABC所成二面角的平面角，30AMDPA平面DBC，DMPA，60PAM正三角形ABC的边长为a，aAO33，aMO63在PAORt中，aaAOPO33360tan在POMRt中，aaaOMPOP

35、M639)63(2222，2439639321aaaS侧讲明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注意各多面体的概念，在多面体中第一画出所求元素，其次依照不同情形作出辅助线注意经常用到三垂线定理，然后加以解决典型例题二十二例 22棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为cm12，腰长为cm10，棱锥的侧面与底面所成的二面角差不多上45，求那个棱锥的侧面积三棱锥ABCV的底边是等腰三角形，cmACAB10，cmBC12，侧面VAB、VBC、VCA与底面ABC所成的二面角差不多上45求棱锥ABCV的侧面积解法 1：作点V在底面ABC上的射影O，如图，那么O

36、是底面ABC的内心，作ABOE于E点，连接VE，那 么ABVE 三 垂 线 定 理 ，故VEO是 侧 面 与 底 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角，45VEO，ABC内切圆半径3)101012(21610122122lSOE，其中)(21CABCABl，S是ABC的面积斜高232OEVE，248)(21CABCABVES侧即棱锥ABCV的侧面积为248cm解法 2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为45，故24822610122145cos22底侧SS讲明：(1)求棱锥侧面积，关键是求各个侧面三角形的高，即斜高，要熟悉三角形的面积公式如ahS21；CabSsin

37、21；lrS21，)(21cbal(2)在棱锥中，假设侧棱相等或侧棱与底面的夹角相等，那么该点在底面的射影是底面多边形的外心；假设斜高相等或侧面与底面的夹角相等，那么该点在底面的射影为底面多边形的内心典型例题二十三例 23 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 A1B 2C3D4 解：如图，在长方体1111DCBAABCD中，取四棱锥ABCDA1，那么此四棱锥的四个侧面差不多上直角三角形应选 D讲明：此题对给出的四棱锥没有带任何附加条件，只给出了摸索、探究的方向，即摸索、探究侧面为直角三角形的四棱锥应是如何样的模型，让人们展开充分的想象空间，让人们去摸索、探究咨询题，确实是一道好题，也是今后命题的方向，对培养学生的能力大有裨益