2020届湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高三下学期4月联考数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 25 页2020届湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高三下学期4 月联考数学（理）试题一、单选题1 已知全集UR，集合2|3130Axxx，|31xBy y，则UABIe（）A131,3B(0,1C131,3D(0,1)【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A,利用指数函数的值域求出集合B,根据集合补集的定义和集合的交运算求解即可.【详解】依题意得，集合1303Axx,|31|1xBy yy y，由集合补集的定义知，|1UByye，由集合的交运算可得，(0,1UABe，故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交、补运算；考查运算求解能力；属于

2、基础题.2若复数z 满足(42)3zii，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义求解即可.【详解】依题意得，3(3)(42)126421142(42)(42)2022iiiiiziiii，故在复平面内复数z所对应的点为1 1,2 2，该点位于第一象限.第 2 页 共 25 页故选:A【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义；考查运算求解能力；属于基础题.3 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田 中有如下两个问题：三三 今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？三四 又有

3、宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译为：三三 现有扇形田，弧长30 步，直径长16 步.问这块田面积是多少？三四 又有一扇形田，弧长99 步，直径长51 步.问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A问题三三中扇形的面积为240平方步B问题三四中扇形的面积为50494平方步C问题 三三 中扇形的面积为60 平方步D问题 三四 中扇形的面积为50492平方步【答案】B【解析】根据题意，利用扇形的面积公式求解即可.【详解】依题意，问题三三 中扇形的面积为111630120222lr平方步，问题 三四 中扇形的面积为11515049992224lr平方步.故选：B【点睛】本题考查数学文

4、化和扇形的面积公式;考查运算求解能力；熟练掌握扇形的面积公式是求解本题的关键；属于基础题.4运行如图所示的程序框图，若输入的a的值为 2 时，输出的S的值为20，则判断框中可以填（）第 3 页 共 25 页A3?kB4?kC5?kD6?k【答案】C【解析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出20S时判断框中可以填的条件.【详解】运行该程序：第一次循环，2,2,2Sak；第二次循环6,2,3Sak；第三次循环，12,2,4Sak；第四次循环，20,2,5Sak，此时输出S的值，观察可知，仅选项C 符合题意.故选:C【点睛】本题主要考查含有当型循环结构的程序框图；考查学生的逻辑推理能

5、力和运算求解能力；熟练掌握含有循环结构的程序框图的运行方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.5已知正项数列na的首项为1，2na是公差为3 的等差数列，则使得6na成立的n的最小值为（）A11 B 12 C13 D14【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式求出数列na的通项公式，解关于n的不等式即可.【详解】依题意得，213(1)32nann，故32nan，第 4 页 共 25 页令326n，得3236n，解得383n，因为*nN，所以使得6na成立的n的最小值为13.故选:C【点睛】本题考查等差数列通项公式；考查运算求解能力；熟练掌握等差数列通项公式是求解本题的关键；属于基础题.6若

6、函数2()4mxf xn的大致图象如下图所示，则（）A0,01mnB0,1mnC0,01mnD0,1mn【答案】B【解析】利用0fx时，0 x和x时fx进行逐项排除即可.【详解】令()0f x，即 4mxn，则4logmxn，即41logxnm，由图可知，41log0nm，故0m时1n，0m时01n，排除 A、D；当0m时，易知4mxy是减函数，且当x时，0y则2()f xn，C 明显不合题意，排除C；故选：B【点睛】本题考查指数函数的性质和解析式较复杂的函数图象的判断；考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力；通过观察图象，选取合适的特殊值点进行排除是求解本题的关键；属于中档题、常考题

7、型.7在三棱柱111ABCA B C中，已知ABAC，1AA平面111A B C，则下列选项中，能使异面直线1BC与1AC相互垂直的条件为（）A145ACAoB45ACA第 5 页 共 25 页C四边形11ABB A为正方形D四边形11BCC B为正方形【答案】A【解析】根据题意作出图形，利用线面垂直的判定与性质进行求解即可.【详解】根据题意，作图如下：因为1AA平面111A B C，所以1AAAB，又ABAC，1AAACAI，所以AB平面11CC A，因为1AC平面11ACC A，所以1ABAC，当异面直线1BC与1AC相互垂直时，由1ABBCBI，可得1AC平面1ABC，因为1AC平面1A

8、BC，所以11ACAC，所以四边形11ACC A为正方形，所以145ACA，反之亦然，即145ACA时，可得11BCA C成立.故选:A【点睛】本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理证明异面垂直；考查数形结合思想和逻辑推理能力；熟练掌握线面垂直的判定和性质是求解本题的关键；属于中档题.8已知非零实数,m n满足22|mmnn，则下列结论错误的是（）Aln|ln|mnB11|mnC|sin|sin|mmnnD22mn第 6 页 共 25 页【答案】C【解析】利用不等式的基本性质和对数函数的单调性及特殊值法进行判断即可.【详解】因为非零实数,m n满足22|mmnn，所以33|0mn，两边同时开

9、立方可得，|0mn，因为对数函数lnyx为0,上的增函数，所以 ln|ln|mn，11|mn，22mn，所以选项A、B、D 均正确；对于选项C，当2m，4n时，sinsin2244，所以选项C 错误.故选：C【点睛】本题考查不等式的基本性质和对数函数的单调性；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握不等式的基本性质和特殊值检验法是求解本题的关键；属于中档题.9若首项为23的数列na满足112(21)nnnnna aaa，则1232020aaaa（）A80804041B40784040C40404041D40394040【答案】C【解析】依题意得0na,由112(21)nnnnna aaa两边同

10、时除以1nna a，利用累加法求出1na的表达式，再利用裂项相消法对数列na进行求和即可.【详解】依题意得0na，由112(21)nnnnna aaa，等式两边同时除以1nna a可得11142nnnaa，则11142nnnaa，121146nnnaa，21116aa，第 7 页 共 25 页以上式子左右两边分别相加可得111(642)(1)2nnnaa，即211(21)(21)222nnnna，所以2(21)(21)nann112121nn，故1232020aaaaL1111113354039404114040140414041.故选:C【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法对

11、数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对递推式进行变形，利用累加法求出数列na的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.10已知函数()2sin 22cos2f xxx，则下列说法正确的是（）A函数()f x 在3,4上单调递减B将函数()f x 的图象向左平移58个单位长度后关于y轴对称C7788fxfxD当,2x时，()2,2f x【答案】C【解析】利用辅助角公式化简函数()f x 的表达式，利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质和函数sinyA x图象的平移变换公式求出函数的解析式即可判断.【详解】依题意得，()2sin22 cos22sin 24f xxxx，所以当3,4x时，57

12、2,444x，当562,444x，即37,48x时，函数()f x 递减，当672,444x，即7,8x时，函数()f x 递增，第 8 页 共 25 页所以函数()f x 在3,4上先减后增，故A 错误；将函数()f x 的图象向左平移58个单位长度后得到函数解析式为5()2sin 22sin(2)2sin244g xxxx，因为gxg x，其为奇函数，所以函数()g x的图象关于原点对称，故B 错误；因为7732sin 22sin28842f，所以78x是函数()f x 图象的一条对称轴，故C 正确；当,2x时，952,444x，则()2,2f x，故 D 错误.故选：C【点睛】本题考查s

13、inyA x图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型11在正方形ABCD中，已知2AB，(01)BEBCuuu ruu u r，(01)DFDCu uu ruu u r，|BEDFEFuu u ruuu ruuu r，若 AE AFxuu u ruuu r，则x的取值范围为（）A(,8(21)B(,8(21)C(,8(21)D(,8(21)【答案】A【解析】以A为坐标原点，线段,AB AD所在直线分别为,x y轴，建立平面直角坐标系，设(2,)Em，(,2)F n，由|BED

14、FEFuuu ruuu ruuu r得到关于,m n的表达式，利用平面向量数量积的坐标表示得到AE AFuu u r uuu r的表达式，利用基本不等式求出mn的取值范围即可求出AE AFuuu r uuu r的取值范围，进而可得x的取值范围.【详解】以A为坐标原点，线段,AB AD所在直线分别为,x y轴，建立平面直角坐标系如图：第 9 页 共 25 页设(2,)Em，(,2)F n，则2()AE AFmnuuu ruu u r由|BEDFEFuu u ruu u ruuu r，得22(2)(2)mnnm，化简可得42()mnmn，故242()2mnmn，即2(4)32mn，因为0,0mn，

15、故4(21)mn，当且仅当2(21)mn时等号成立，所以2()8(21)AE AFmnu uu ru uu r，故x的取值范围为(,8(21).故选:A【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和基本不等式求最值；考查运算求解能力和数形结合思想；建立合适的直角坐标系和基本不等式的灵活运用是求解本题的关键；属于难度大型试题.12过双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B，已知O为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为312a，则双曲线C的离心率为（）A2 33B31C4 33D2 33或 2【答案】D【解析

16、】分,A B在y轴同侧和,A B在y轴异侧两种情况进行求解：不妨设A在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出tanbAOFa的值，再由离心率第 10 页 共 25 页21bea求解即可.【详解】有两种情况：（1）若,A B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设OAB内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上，过点M分别作 MNOA 于N，MTAB于T，由FAOA得四边形MTAN为正方形，利用点到直线的距离公式可得，焦点F到渐近线byxa的距离为21bcaFAbba，又|OFc，所以|OAa，又31|2NAMNa，所以33|2NOa，所以|3tan|3bMNAOFaNO，从而可

17、得离心率22 313bea；（2）若,A B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，第 11 页 共 25 页易知|FAb，|OFc，|OAa，因为OAB的内切圆半径为|3122ABOAOBa，所以|23OBABaa，又因为222|OBABa，所以|3ABa，|2OBa，所以60BOA，60AOF，则tan603ba，从而可得离心率212bea.综上，双曲线C的离心率为2 33或 2.故选：D【点睛】本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.二、

18、填空题136212xx的展开式中，21x项的系数为 _.【答案】240【解析】写出二项展开式的通项公式，令x的幂指数为2，求出通项中的r即可求解.【详解】第 12 页 共 25 页依题意可得，6212xx的展开式的通项为1rT536626621C(2)C2(1)rrrrrrrxxx，令5322r，解得2r=，故21x项的系数为24262(1)15 16240C.故答案为：240【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；正确写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.14若直线9yxa 与曲线33yxx相切，则a_.【答案】16或 16【解析】设切点坐标

19、为00,xy，对33yxx进行求导，利用导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线方程即可求解.【详解】设切点坐标为00,xy，由题意知，233yx，由导数的几何意义知，切线斜率2033kx，即20339x，解得02x，所以切点为(2,2)或(2,2)，把切点(2,2)或(2,2)分别代入9yxa 中，可得16a或16a.故答案为：16或 16【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的斜率和切点坐标；考查运算求解能力；属于基础题.15某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为14，乙完成任务的概率为12，丙、丁完成任务的概率均为23，若四人完成任务与否相互独立，则至少2

20、 人完成任务的概率为_.第 13 页 共 25 页【答案】5372【解析】利用相互独立事件的概率公式和互为对立事件的概率和为1，求出4个人都没有完成任务的概率和4 个人中有3 个没有完成任务的概率即可.【详解】由题意知，由相互独立事件的概率公式得，4 个人都没有完成任务的概率为31111423324，4 个人中有3 个没有完成任务的概率为121111311131212C4233423342339，故至少2人完成任务的概率为1253124972.故答案为：5372【点睛】本题考查相互独立事件概率公式和互为对立事件的概率和为1；考查运算求解能力和逻辑思维能力；正难则反，间接法的运用是求解本题的关键

21、；属于中档题.16已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，直线12,l l，过点F且与抛物线C分别交于点,M N和点,P Q，弦MN和PQ的中点分别为,D E，若12ll，则下列结论正确的是（_）|MNPQ的最小值为32以,M N P Q四点为顶点的四边形的面积的最小值为128直线DE过定点(6,0)焦点F可以同时为弦MN和PQ的三等分点【答案】【解析】依题意得直线12,ll的斜率均存在，设11,Mx y，22,N xy，直线1:(2)lyk x，把直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义分别求出,MNPQ的表达式，利用基本不等式求最值即可判断；求出四边形MNPQ面积的表达式，利用基本不

22、等式求最值即可判断；表示出,D E坐标，进而得到直线DE的方程即可判断；假设点F为弦MN的三等分点，不妨设2NFFMuuu ruuuu r，利用平面向量的坐标表示进行求解，根据能否推出矛盾判断即可.第 14 页 共 25 页【详解】依题意得直线12,ll的斜率均存在，且(2,0)F，设11,Mx y，22,N xy，直线1:(2)lyk x，联立方程2(2)8yk xyx，整理可得22224840k xkxk，所以212248kxxk，则1228|48MNxxk，因为12ll，以1k代替k可得，2|88PQk，所以228|888161632MNPQkk，当且仅当1k时取等号，所以正确；因为12

23、ll，所以四边形的面积2211|3221282SMNPQkk，当且仅当1k时取等号，所以正确；因为2442,Dkk，224,4Ekk，所以直线DE的方程为224224(4)kykk24424kxkk，即2(6)10k xky，恒过定点(6,0)，故 正确；若点F为弦MN的三等分点，不妨设2NFFMuu u ruuuu r，则22112,22,xyxy，所以21224xx，即1226xx，又124x x，解得1222xx（舍去），或1214xx，代入212248kxxk，得2 2k，与两直线垂直矛盾，故错误.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义及其几何性质、直线与抛物线相交的弦长和面积的求解、

24、基本不等式的运用、平面向量的坐标表示；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握相关第 15 页 共 25 页知识，并能灵活运用是求解本题的关键；属于综合性试题.三、解答题17在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，且22222cos1babCcbca，2 7a.（1）求ABC外接圆的面积；（2）若8bc，求ABC的面积.【答案】（1）283（2）3 3【解析】（1）利用余弦定理推论和正弦定理进行边化角，然后由两角和的正弦公式和正弦定理求解即可；（2）由（1）知3A，利用余弦定理求出cb的值，代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）依题意得，22222cos1babCcbca，故

25、2222coscos2cosabcCaCbcbcaA，则 2 coscoscosbAcAaC，所以 2sincossincossincossin()BAACCAAC，即2sincossinBAB，因为sin0B，所以1cos2A，因为(0,)A，所以3A，由正弦定理可得，2 7472sin332aRA，所以R为ABC外接圆的半径，2 73R，故ABC外接圆的面积2283SR.（2）由3A及余弦定理得，22222cos()3abcbcAbcbc，又2 7a，8bc，所以22(27)83bc，解得12bc，故1sin3 32ABCSbcA.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、求外接圆面积、两角

26、和的正弦公式及三角形的面积公式；考查运算求解能力和知识迁移能力；熟练掌握正余弦定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.第 16 页 共 25 页18如图，四棱锥SABCD 中，二面角SABD 为直二面角，E为线段SB的中点，3390DABCBAASBABS，1tan2ASD，4AB.（1）求证：平面DAE平面SBC；（2）求二面角CAED的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60【解析】（1）利用面面垂直的判定定理和性质定理及线面垂直的判定定理即可证明；（2）连接,CA CE，在平面 ABS 内作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，由（1）知SBuu r为平面DAE的一个法向量

27、，设平面CAE的法向量为(,)nx y zr，根据题意，求出向量nr，利用空间向量法求二面角的方法，则向量,SB nuu r r的夹角或其补角即为所求.【详解】（1）证明Q二面角 SABD 为直二面角，所以平面SAB平面ABCD，因为90DABo，ADAB，Q平面ABCD I平面 SAB=AB，AD平面ABCD，AD平面SAB，又BS平面SAB，ADBS，ASBABSQ，ASAB，又E为BS的中点，AEBS，又ADAEA，BS平面DAE，BSQ平面SBC，平面DAE平面SBC.（2）如图，第 17 页 共 25 页连接,CA CE，在平面 ABS 内作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz，1

28、tan2ASDQ，2AD，(0,0,0)A，(0,4,0)B，(0,4,2)C，(23,2,0)S，(3,1,0)E，(0,4,2)ACu uu r，(3,1,0)AEuu u r，设平面CAE的法向量为(,)nx y zr，0,0,n ACn AEu uu vvu uu vv即420,30,yzxy令1x，则3y，2 3z，(1,3,2 3)nr是平面CAE的一个法向量，SBQ平面DAE，平面DAE的一个法向量为(2 3,6,0)SBu ur，2 36 31cos,2|44 3n SBn SBnSBr uu rr u urruu r，由图可知二面角CAED的平面角为锐角，故二面角CAED的大

29、小为60.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定与性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.192019 年 11 月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4%，环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了2019 年 110 月份产品的生产数量x（单位：万件）以及销售总额y（单位：十万元）之间的关系如下表：x2.082.122.192.282.362.482.592.682.802.87y4.254.374

30、.404.554.644.754.925.035.145.26第 18 页 共 25 页（1）计算,x y的值；（2）计算相关系数r，并通过r的大小说明y与x之间的相关程度；（3）求y与x的线性回归方程ybxa$，并推测当产量为3.2 万件时销售额为多少.（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程ybxa$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121niiiniixxyybxx$，aybx$；相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy.参考数据：10221100.85iixx，10221101.04iiyy，1.22b$.【答案】（1）2.445x，4.731y.（2）0.9

31、97；具有很强的相关性（3）1.221.75yx$，5.65【解析】（1）利用表中的数据代入,x y公式中求解即可；（2）利用（1）中,x y，结合表中的数据，代入题中相关系数公式中计算求解，然后与0.75进行比较即可；（3）由题知，1.22b$，利用回归方程经过样本中心点求出回归方程，把3.2x代入回归方程求解即可.【详解】（1）依题意，1012.44510iixx，1014.73110iiyy.（2）依题意，第 19 页 共 25 页101022111010102222111100.85?1.220.9971.0410iiiiiiiiiiixxxxyyrbxxyyyy，因为0.997 0.

32、75，所以y与x之间具有很强的相关性.（3）14.222.4451.75731aybx$，所以所求回归直线方程为1.221.75yx$，故当3.2x时，1.223.21.755.65y$.【点睛】本题考查相关系数和线性回归方程的求解；考查运算求解能力；利用回归方程经过样本中心点是求解本题的关键；属于基础题、常考题型.20已知斜率存在且不为0 的直线l过点(1,0)D，设直线l与椭圆22:142xyC交于,A B两点，椭圆C的左顶点为P.（1）若PAB的面积为3 308，求直线l的方程；（2）若直线,PA PB分别交直线3x于点,M N，且MRRNu uu ru uu r，记直线,AB RD的斜

33、率分别为,k k.探究：k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）610 xy或610 xy.（2）是，定值为56k k【解析】（1）设,AAA xy，,BBB xy，设直线:1lxmy，根据题意求出PD,由PABPDAPDBSSS求出AByy,联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出m即可；（2）设直线l的方程为：(1)yk x与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，设11,1A x k x，22,1B x k x，利用韦达定理求出1212,x xxx，利用点斜式求出直线,PA PB的方程，进而求出点,M N坐标，利用平面向量坐标表示求出,RRxy的表达式，代入斜

34、率公式求出直线RD的斜率即可求解.【详解】（1）设,AAA xy，,BBB xy,第 20 页 共 25 页因为(1,0)D，椭圆C的左顶点为(2,0)P，所以|3PD，故33 3028PABPDAPDBABSSSyy，故304AByy，设直线:1lxmy，代入椭圆C的方程中，整理得222230mymy，所以222ABmyym，232ABy ym，故2222412230424ABABABmmyyyyy ym，解得26m，6m，故直线l的方程为610 xy或610 xy.（2）由题意得，设直线l的方程为：(1)yk x，与椭圆方程联立可得22(1),1,42yk xxy，整理得222221424

35、0kxk xk，设11,1A x k x，22,1B x k x，则2122421kxxk+=+，21222421kx xk，又(2,0)P，所以直线PA的方程为111(2)2k xyxx，令3x，解得11513,2k xMx，同理可得，22513,2k xNx，设,RRR xy，所以121251513,3,22RRRRk xk xMRxyRNxyxxu uu ruuu r，因为MRRNuuu ruu u r，所以3Rx，1212511222Rkxxyxx，第 21 页 共 25 页将代入上式并化简可得53Ryk，所以直线RD的斜率为553316kkk，故56k k，为定值.【点睛】本题考查直

36、线与椭圆的位置关系、椭圆中的定点、定值问题及平面向量的坐标表示；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与椭圆位置关系中相关问题的求解方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.21已知函数2()84xf xexx.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x的不等式284sin4xexxmmx在0,)上恒成立，且0m，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,521)和(521,)，单调递减区间为(521,521).（2）1,)【解析】（1）对函数()f x 进行求导，利用导数判断函数()f x 的单调性即可；（2）令2e84()sin4xxxg xmmx，由(0)1

37、0gm，可得m1，利用分析法和放缩法的思想，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值证得当m1时，对任意0 x，都有()0g x即可.【详解】（1）依题意，xR，22()8428104xxfxexxxexx，令()0fx，即21040 xx，解得10845212x，故当(,521)x时，()0fx，当(521,521)x时，()0fx，当(521,)x时，()0fx，故函数()f x 的单调递增区间为(,521)和(521,)，单调递减区间为(521,521)，第 22 页 共 25 页（2）令2e84()sin4xxxg xmmx，由题意得，当0 x时，(0)10gm，则有m1，下面证当

38、m1时，对任意0 x，都有()0g x，由于xR时，1sin0 x，所以当m1时，21()e211sin4xg xxxx，故只需证明对任意0 x，都有21211sin04xexxx，令()sinh xxx，则1coshxx，所以0hx在0,)上恒成立，所以函数()sinh xxx在0,)上单调递增，所以当0 x时，()(0)0h xh，即sinxx，所以11sinxx，则2211211sin21144xxexxxexxx，令21()e2114xF xxxx，0 x，则215()e1142xFxxx.当0 x时，1xe，2151142xx，所以()0Fx，即函数()F x在0,)上单调递增，所以

39、当0 x时，()(0)0F xF，所以对任意0 x，都有21211sin04xexxx.所以当m1时，对任意0 x，都有284sin4xexxmmx，故实数m的取值范围为1,).【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、通过构造函数，利用分析法和放缩法的思想求解恒成立问题中参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用分析法进行一步步放缩是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.第 23 页 共 25 页22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22xtyt（t为参数），曲线1C的参数方程为1cossinxy（为参数），曲线1C与x轴交于,O A两点.以坐标原点O为极点，x轴正半

40、轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的普通方程及曲线1C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线22:4Cyx在第一象限交于点M，且线段MA的中点为N，点P在曲线1C上，求|PN的最小值.【答案】（1）240 xy；2cos（2）2 21【解析】（1）利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求解即可；（2）联立直线方程和曲线2C的方程求出点M坐标，利用中点坐标表示可得点N，结合（1）知，判断点N与圆1C的位置关系求出|PN的最小值即可.【详解】（1）由22xtyt可得 24xy，即240 xy，所以直线l的普通方程为240 xy.由1cossinxy可得22(1)1xy，即2220 xyx，

41、将cosx，222xy代入上式，可得22cos0，即2cos，所以曲线1C的极坐标方程为2cos.（2）由22404xyyx，可得12xy或44xy，因为点M位于第一象限，所以(4,4)M，由（1）可得(2,0)A，因为线段MA的中点为N，所以(3,2)N，由（1）可知曲线1C表示圆，其圆心为1(1,0)C，半径1r，所以221|(31)(20)2 2C Nr，因为点P在曲线1C上，所以min1|2 21PNC Nr.第 24 页 共 25 页【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、点与圆的位置关系；考查运算求解能力和逻辑思维能力；正确判断点N与圆1C的位置关系是求解本题

42、的关键；属于中档题、常考题型.23（1）已知,x y z均为正数，且1864xyz，求证：(82)(82)(82)27xyz；（2）已知实数,m n满足m1，12n，求证：222224142m nmnm nmn.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由,x y z均为正数，对代数式82,82,82xyz分别利用三个正数的基本不等式进行变形即可得证；（2）利用分析法证明不等式：通过提取公因式变形最终得到显然成立的不等式即得证.【详解】（1）证明：因为0 x，由三个正数的基本不等式可得，33828113 81 16xxxx，当且仅当18x=时取等号；同理可得3826yy，3826z

43、z，当且仅当11,88yz时取等号；故3(82)(82)(82)216xyzxyz，当且仅当18xyz时取等号，因为1864xyz，所以(82)(82)(82)27xyz，当且仅当18xyz时取等号.（2）证明：要证222224142m nmnm nmn，即证2222442210m nmnnm nm，即证24(1)(22)(1)10mnmmnn mm，即证2(1)42210mmnmnn，即证(1)2(21)(21)0mmnnn，即证(1)(21)(21)0mnmn，因为m1，12n，所以10m，210n，210mn，所以(1)(21)(21)0mnmn，所以222224142m nmnm nmn得证.【点睛】第 25 页 共 25 页本题考查利用三个正数的基本不等式求最值和利用分析法证明不等式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握基本不等式求最值需满足的条件和分析法证明不等式的步骤是求解本题的关键;属于中档题.