2020届福建省泉州市2017级高三上学期单科质量检测数学(理)(答题全析—解答题部分).pdf

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1、市单科质检数学（理科）试题第 1 页（共11 页）保密启用前泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查理科数学20201注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回三、解答题：共70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步

2、骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（12 分）如图，四棱锥ABCDP的底面是正方形，PA平面ABCD，AEPD（1）证明：AE平面PCD；（2）若APAB，求二面角DPCB的余弦值【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，市单科质检数学（

3、理科）试题第 2 页（共11 页）所以PACD1分又底面ABCD是正方形，所以ADCD2 分又PAADA，所以CD平面PAD3 分又AE平面PAD，所以CDAE4 分又因为AEPD，CDPDD，,CD PD平面PCD，5 分所以AE平面PCD6 分（2）因为PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，所以PAAB，PAAD，ABAD，分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz（如图所示）7分设1PAAB，则A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），D0,1,0（），(0,0,1)P，1 1(0,)2 2E，1,0,1PB（），1,1,1PC（），

4、1 1(0,)2 2AE8分由（1）得1 1(0,)2 2AE为平面PCD的一个法向量9 分设平面PBC的一个法向量为111()mx,y,z由0,0,PB mPC m得111110,0,xzxyz令11x，解得11z，10y所以(1,0,1)m 10 分因此112cos,2122m AEm AEmAE11 分由图可知二面角BPCD的大小为钝角故二面角BPCD的余弦值为1212 分解法二：（1）同解法一6分（2）过点B作BF垂直于PC于点F，连接DF、BD因为PBPD，BCCD，PCPC，所以PBCPDC7 分因此易得090DFCBFC，BFDF8分所以BFD为二面角BPCD的平面角 9 分设1

5、PAAB，则2BD，63BFDF10 分市单科质检数学（理科）试题第 3 页（共11 页）在BDF中，由余弦定理，得222222266()()(2)133cos2262()3BFDFBDBFDBF DF故二面角BPCD的余弦值为1212 分18（12 分）记nS为数列na的前n项和已知0na，2634nnnSaa（1）求na的通项公式；（2）设2211nnnnnaaba a，求数列nb的前n项和nT【命题意图】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养

6、的关注【试题解析】解：（1）当1n时，2111634Saa，所以14a或1（不合，舍去）1分因为2634nnnSaa，所以当2n时，2111634nnnSaa，由得2211633nnnnnaaaaa，2分所以1130nnnnaaaa3分又0na，所以13nnaa4 分因此na是首项为4，公差为3的等差数列5 分故43131nann6分（2）由（1）得22313433231343134nnnbnnnn，9 分所以33333392()24771031344 34nnTnnnnn12 分19（12 分）ABC中，60B，2AB，ABC的面积为2 3（1）求AC；（2）若D为BC的中点，,E F分别为

7、,AB AC边上的点（不包括端点），且120EDF，求DEF面积的最小值市单科质检数学（理科）试题第 4 页（共11 页）【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）因为60B，2AB，所以1sin2ABCSAB BCB13222BC32BC，2分又2 3ABCS，所以4BC3 分由余弦定理，得2222cosACABBCAB BCB4 分22124224212，5 分所以2 3AC6分（2）设BDE，

8、0,60，则60CDF在BDE中，由正弦定理，得sinsinBDDEBEDB，7分即2sin(60)32DE，所以3sin(60)DE；8 分在CDF中，由正弦定理，得sinsinCDDFCFDC，由（1）可得30C，即21sin(90)2DF，所以1cosDF；9 分所以1sin2DEFSDE DFEDF34sin(60)cos232 3cos2sincos10分32sin2603，11分当15时，sin(260)1，min3()63 323DEFS故DEF面积的最小值为63 312分市单科质检数学（理科）试题第 5 页（共11 页）解法二：（1）同解法一6分（2）设CDF，0,60，则60

9、BDE在CDF中，由正弦定理，得sinsinCDDFCFDC，7 分由（1）可得30C，即21sin(30)2DF，所以1sin 30DF；8 分在BDE中，由正弦定理，得sinsinBDDEBEDB，即2sin(120)32DE，所以3sin(120)DE；9 分所以1sin2DEFSDE DFEDF334sin 30sin(120)313314cossincossin222210 分32sin 23，11 分当45时，sin 21，min3()63 323DEFS故DEF面积的最小值为63 312分20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，点3(3,)2A在E

10、上（1）求E的方程；（2）斜率不为0的直线l经过点1(,0)2B，且与E交于QP,两点，试问：是否存在定点C，使得QCBPCB？若存在，求C的坐标；若不存在，请说明理由【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注【试题解析】市单科质检数学（理科）试题第 6 页（共11 页）解法一：（1）因为椭圆E的离心率2212abea，所以2234ab，1 分点)23,3(A在椭圆上，所以143322b

11、a，2 分由解得42a，32b3 分故E的方程为13422yx 4分（2）假设存在定点C，使得PCBQCB由对称性可知，点C必在x轴上，故可设(,0)C m5 分因为PCBQCB，所以直线PC与直线QC的倾斜角互补，因此0PCQCkk6 分设直线l的方程为：21tyx，),(11yxP，),(22yxQ由221,2143xtyxy消去x，得04512)1612(22tyyt，7 分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0tttt，所以tR，122121216tyyt，122451216y yt，8分因为0QCPCkk，所以02211mxymxy，所以0)()(1221m

12、xymxy，即0)21()21(1221mtyymtyy9 分整理得121212()()02ty ymyy，所以0161212)21()161245(222ttmtt，即01612)12)(21(902ttmt10 分所以0)21(1290mtt，即0)21(1290tm，对tR恒成立，即0)1296(tm对tR恒成立，所以8m11分所以存在定点)0,8(C，使得QCBPCB12分解法二：（1）同解法一4分（2）若点C存在，当直线PQ垂直x轴时，点C必在x轴上，市单科质检数学（理科）试题第 7 页（共11 页）如果直线PQ不垂直x轴，由对称性可知，点C也必在x轴上 5 分假设存在点)0,(mC

13、，使得QCBPCB，即直线PC与直线QC的倾斜角互补，所以0QCPCkk 6分设直线l的方程为)21(xky，),(11yxP，),(22yxQ由221(),2143yk xxy消去x，得0124)34(2222kxkxk，7 分22222(4)4(43)(12)1801440kkkk，所以kR，2122443kxxk，34122221kkxx，8分因为0QCPCkk，所以02211mxymxy，所以0)()(1221mxymxy，9 分即122111()()()()022k xxmk xxm整理得0)(21(22121mxxmxxk，10 分所以0344)21(342422222mkkmkk

14、k，整理得0342432kmk，对任意的kR恒成立，11 分所以8m，故存在x轴上的定点)0,8(C，使得QCBPCB12分21（12 分）已知函数2()1 exf xxax（1）讨论()f x的单调性；（2）若函数2()1 e1xg xxmx在1,有两个零点，求m的取值范围【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养【试题解析

15、】2020届福建省泉州市 2017级高三上学期单科质量检测数学（理）（答题全析解答题部分）市单科质检数学（理科）试题第 8 页（共11 页）解：（1）因为2()1 exf xxax，所以2()21 exfxxaxa，1 分即()11 exfxxax由()0fx，得11xa，21x2 分当0a时，2()1e0 xfxx，当且仅当1x时，等号成立故()f x在,为增函数 3 分当0a时，11a，由()0fx得1xa或1x，由()0fx得11ax；所以()f x在,1a，1,+为增函数，在1,1a为减函数 4 分当0a时，11a，由()0fx得1xa或1x，由()0fx得11xa；所以()f x在,

16、1，1,+a为增函数，在1,1a为减函数 5分综上，当0a时，()f x在,为增函数；当0a时，()f x在,1a，1,+为增函数，在1,1a为减函数；当0a时，()f x在,1，1,+a为增函数，在1,1a为减函数（2）因为2()1 e1xg xxmx，所以2()1exgxxm，当0m时，()0gx，()g x在1,为增函数，所以()g x在1,至多一个零点6 分当0m时，由（1）得()gx在1,为增函数因为(0)1gm，(0)0g（i）当=1m时，(0)0g，0 x时，()0gx，10 x时，()0g x；所以()g x在1,0为减函数，在0,为增函数，min()00g xg故()g x在

17、1,有且只有一个零点7分（ii）当1m时，(0)0g，2()10mg mmem，00,xm，使得00gx，且()g x在01,x为减函数，在0,x为增函数2020届福建省泉州市2017级高三上学期单科质量检测数学（理）（答题全析解答题部分）市单科质检数学（理科）试题第 9 页（共11 页）所以0()00g xg，又22221 e1110mg mmmmm，根据零点存在性定理，()g x在0,xm有且只有一个零点8 分又()g x在01,x上有且只有一个零点0故当1m时，()g x在1,有两个零点9分（iii）当01m时，(1)0gm，(0)0g，01,0 x，使得00gx，且()g x在01,x

18、为减函数，在0,x为增函数因为()g x在0,x有且只有一个零点0，若()g x在1,有两个零点，则()g x在01,x有且只有一个零点10 分又0()00g xg，所以10g即2110egm，所以21em，即当211em时，()g x在1,有两个零点11 分综上，m的取值范围为21,11,e12分（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在同一平面直角坐标系xOy中，经过伸缩变换2,xxyy后，曲线221:1Cxy变为曲线2C（1）求2C的参数方程；（2）设2,1A，P是2C上的动点，求OAP面积

19、的最大值，及此时P的坐标【命题意图】本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程及参数的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）由伸缩变换2,xxyy得到1,2.xxyy 1分将代入221xy，得到221+=12xy（），整理得2C：22+=14xy3 分2020届福建省泉州市2017级高三上学期单科质量检测数学（理）（答题全析解答题部分）市单科质检数学（理科）试题第 10 页（共11 页）所以

20、2C的参数方程为2cos,sinxy（为参数）5分（2）设2cos,sin02P，直线:20OA xy，6 分则P到直线OA的距离为2 2 cos2cos2sin455d，7分所以1112 25522225OAPSOA dd8分当且仅当3=4或7=4时，OAP的面积的最大值为2，9分此时P22,2或22,210 分解法二：（1）同解法一5分（2）直线:20OAxy，设直线l：20 xyc 6 分联立2220+y14xycx，消去y，得到222240 xcxc，7分令=0，得224840cc，解得2 2c8 分此时解得2,22xy或2,2,2xy即12(2,)2P或22(2,)2P9 分这时1P

21、，2P到直线OA的距离均为2 25，所以max1225225OAPS10 分23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数1()|f xxaxa（1）证明：()2f x；（2）当12a时，()f xxb，求b的取值范围【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑运算、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】2020届福建省泉州市 2017级高三上学期单科质量检测数学（理）（答题全析解答题部分）市单科质检数学（理科）试题第 11 页（共11

22、页）解法一：（1）1111()|2|2f xxaxaaaaaaa5分（2）312,22151()2=,2,22232,2,2xxf xxxxxx8分作出()f x的图象，如图：9分将522A（，）代入yxb得到12b，由图可得b的取值范围为1(,210分解法二：（1）同解法一5分（2）令()g xfxx，所以min()bg x6 分313,22151()2=,2,2223,2,2xxg xxxxxxxx8 分可得()g x在,2单调递减，在2，单调递增，所以min1=22g xg，9分所以b的取值范围为1,210分A2020届福建省泉州市 2017级高三上学期单科质量检测数学（理）（答题全析解答题部分）