2020年湖北省宜昌一中、龙泉中学高考(理科)数学(6月份)模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（6 月份）一、选择题（共12 小题）.1已知 a 是实数，z=?-?1+?是纯虚数，则z的虚部为（）A1B 1CiD i2已知集合Ax|x2+x20，集合?=?|1?，则 AB（）A?Bx|x1Cx|0 x1Dx|2x03“lnx lny”是“（13）x（12）y”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，在数学上，斐波拉契数列 an定义如下：a1a21，anan1+an2（n3，n N），随着 n 的增大，?+1越来越逼近黄金分割 5-120.618，故此

2、数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200 平方厘米，则该长方形的长大约是（）A20 厘米B19 厘米C18 厘米D17 厘米5设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若?2?4=13，则?3?6等于（）A316B13C516D7166函数 f（x）exx22x 的图象大致为（）ABCD7已知函数f（x）|sinx|（x0），方程f（x）kx 恰有三个根，记最大的根为，则(1+?2)?2?=（）A 2B12C1D28为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害

3、垃圾和其他垃圾某班按此四类由9 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2 位同学现从这 9 位同学中选派5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为（）A27B37C821D20219设抛物线y24x 的焦点为F，过点 F 的直线 l 与抛物线相交于A，B，点 A 在第一象限，且|AF|BF|=32，则|?|?|=（）A32B2C3D410某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A16B12C9D811已知函数f（x）满足 x2f（x）+2xf（x）1+lnx，f（e）=1?，当 x0

4、时，下列说法正确的是（）f（x）只有一个零点；f（x）有两个零点；f（x）有一个极小值点；f（x）有一个极大值点ABCD12已知梯形ABCD 满足 ABCD，BAD 45，以 A，D 为焦点的双曲线经过B，C两点若CD7AB，则双曲线的离心率为（）A3 24B334C3 54D3+54二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13在三角形ABC 中，|?|5，?=8，则?=14若（3?-1?）n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为15在数列 an，bn中，an+12（an+bn）+2?+?，bn+12（an+bn 2?+?，a1b11，设数列 cn满足 cn=1?+

5、1?，则数列 cn的前 10 项和 S1016四面体PABC 中，PA=?，PBPCABAC2，BC2?，动点Q 在 ABC的内部（含边界），设PAQ ，二面角PBCA 的平面角的大小为，APQ 和BCQ 的面积分别为S1和 S2，且满足?1?2=3?4?，则 S2的最大值为三、解答题：（本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2，2ccosA2ba（）求角C；（）如图，若点D 在边 AC 上，AD DB，DEAB，E 为垂足，且DE=?，求 BD的长18如图，在矩形ABCD 中，将 ACD 沿对

6、角线AC 折起，使点D 到达点 P 的位置，且平面 ABP平面 ABC（）求证：APPB；（）若直线PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为34，求二面角PACB 的余弦值19已知圆O：x2+y23，直线 PA 与圆 O 相切于点A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB|2|PA|（）求点P 的轨迹 E 的方程；（）过点（1，0）且与 x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于 P，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D，使得 x 轴是 PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由20某工厂的一台某型号机器有2 种工作状态：正常状态和故障状态若机器处于故障状态，则停机检修为了检查机器

7、工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000 个产品的质量指标值，得出如图1 所示频率分布直方图由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N（，2），其中 近似为这1000个产品的质量指标值的平均数?，2近似为这1000 个产品的质量指标值的方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）若产品的质量指标值全部在（3，+3）之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10 件测得的质量指标值：294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2 种检修

8、方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700 元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200 元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100 单常规检修在第i（i1，2，7）天检修的单数，得到如图2 所示柱状图，将第i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益200 元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：?.?，?.?，?.?21已知函数f（x）（x1）2alnx（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1 x2）

9、，且关于x 的方程 f（x）b（b R）恰有三个实数根x3，x4，x5（x3 x4x5），求证：2（x2x1）x5 x3请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=?（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2=41+?2?（）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（）直线l 上的点 P（m，0）为曲线 C 内的点，且直线l 与曲线 C 交于 A，B，且|PA|?|PB|2，求 m 的值选修 4-5：不

10、等式选讲23若对于实数x，y 有|12x|4，|3y+1|3（）求|?+?-16|的最大值M；（）在（）的条件下，若正实数a，b 满足1?+2?=?，证明：(?+?)(?+?)509参考答案一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确的答案填涂在答题卡上）1已知 a 是实数，z=?-?1+?是纯虚数，则z的虚部为（）A1B 1CiD i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0 且虚部不为0 求得 a，进一步求得 z 得答案解：z=?-?1+?=(?-?)(1-?)(1+?)(1-?)=?-12-?+12?是纯虚数

11、，?-12=?-?+12?，即 a1，z i则 z 的虚部为 1故选：B2已知集合Ax|x2+x20，集合?=?|1?，则 AB（）A?Bx|x1Cx|0 x1Dx|2x0【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：因为集合Ax|x2+x 20 x|2 x1，集合?=?|1?=x|x0 或 x1，所以 ABx|2x0，故选：D3“lnx lny”是“（13）x（12）y”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由lnxlny，结合对数式与指数式的性质可得（13）x（12）y，反之，举例说明不成立，再由充分必要条件的判断得答案解：由 lnxlny，得 xy0，

12、此时(13)?(13)?(12)?，反之，由(13)?(12)?成立，可以取x 1，y 2，不能推出lnx lny，“lnx lny”是“（13）x（12）y”的充分不必要条件故选：A4斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，在数学上，斐波拉契数列 an定义如下：a1a21，anan1+an2（n3，n N），随着 n 的增大，?+1越来越逼近黄金分割 5-120.618，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200 平方厘米，则该长方形的长大约是（）A20 厘米B19 厘米C18 厘米D17

13、 厘米【分析】因为由已知有?+1=5-12 0.618，又 an?an+1 200，得 0.618an+12200，进而解得 an+1解：由已知有?+1=5-120.618，得：an0.618an+1，由 an?an+1200，得 0.618an+12200，即 an+12 323.62，由于 172289，182 324，所以 an+118（厘米），故选：C5设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若?2?4=13，则?3?6等于（）A316B13C516D716【分析】设等差数列an的首项为a1，公差为 d，由?2?4=13得到首项与公差的关系，再把S3，S6用含有 d 的代数式表示，则答

14、案可求解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由?2?4=13，得 3（2a1+d）4a1+6d，即?=32?=?+?=92?+?=152?，?=?+6 5?2=182?+302?=48?2?3?6=152?482?=516故选：C6函数 f（x）exx22x 的图象大致为（）ABCD【分析】通过图象，判断函数yex与函数y x2+2x 的图象交点个数，进而求得函数f（x）的零点个数，结合选项即可得解解：作出函数yex与函数 yx2+2x 的图象如下图所示，由图象可知，函数yex与函数y x2+2x 的图象有3 个交点，则函数f（x）ex x22x 有 3个零点，观察选项可知，只有选项B 符

15、合题意故选：B7已知函数f（x）|sinx|（x0），方程f（x）kx 恰有三个根，记最大的根为，则(1+?2)?2?=（）A 2B12C1D2【分析】依题意，函数f（x）在 x处的切线为ykx，且?(?，3?2)，利用导数的几何意义可得?=-?=-?，再化简所求式子即可得解解：如图，要使方程f（x）kx 恰有三个根，且最大的根为，则函数f（x）在 x处的切线为y kx，显然?(?，3?2)，而?(?，3?2)，?(?)=-?，?(?)=-?，?=-?=-?，(1+?2)?2?=(1+?2)?2?=(1+?2)?2(-?)?(-?)?=(?+?)?=2k2+2（k）22（cos2+sin2）2

16、故选：D8为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2 位同学现从这 9 位同学中选派5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为（）A27B37C821D2021【分析】基本事件总数n=?=126，每个宣传小组至少选派1 人包含的基本事件个数：m=?=120，由此能求出每个宣传小组至少选派1 人的概率解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9 位同学组成四个宣传小

17、组，其中可回收物宣传小组有3 位同学，其余三个宣传小组各有2 位同学现从这 9位同学中选派5 人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=?=126，每个宣传小组至少选派1 人包含的基本事件个数：m=?=120，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为P=?=120126=2021故选：D9设抛物线y24x 的焦点为F，过点 F 的直线 l 与抛物线相交于A，B，点 A 在第一象限，且|AF|BF|=32，则|?|?|=（）A32B2C3D4【分析】过A，B 分别作准线的垂线，再过B 作 AA的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值解：设|BF|m，

18、则由|AF|BF|=32可得|AF|=32+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过 A，B 分别作准线的垂线交于A，B，过 B 作 AA的垂线交AA，OF 分别于 C，D 点，则 BFD BAC，所以?=?，即?32+2?=2-?32，解得：m=32，所以?=32+3232=2，故选：B10某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A16B12C9D8【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体如图所示：所以该三棱锥

19、体的外接球的球心为O，外接球的半径为OAr，则：?=(?-?)?+(?)?，解得?=94故 S=?94=?故选：C11已知函数f（x）满足 x2f（x）+2xf（x）1+lnx，f（e）=1?，当 x0 时，下列说法正确的是（）f（x）只有一个零点；f（x）有两个零点；f（x）有一个极小值点；f（x）有一个极大值点ABCD【分析】令 g（x）x2f（x），则 g（x）1+lnx，所以 g（x）x?lnx+C，即?(?)=?+?2，由 f（e）=?+?2=1?，解得C0，所以?(?)=?，求导得?(?)=1-?2，利用导数可求出函数f（x）的单调区间，进而得f（x）在 xe 处取得极大值f（e）

20、=1?，而这也是最大值，从而可对 和 作出判断；又f（1）0，且当 x e时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）只有一个零点为x1，从而可对 和 作出判断解：令 g（x）x2f（x），则 g（x）x2f（x）+2xf（x）1+lnx，g（x）x?lnx+C，即 x2f（x）x?lnx+C，?(?)=?+?2，f（e）=?+?2=1?，C0，?(?)=?，?(?)=1-?2，当 0 x e时，f（x）0，f（x）单调递增；当xe 时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）在 xe 处取得极大值f（e）=1?，而这也是最大值，即 错误，正确；又 f（1）0，且当 x e时，f（x）0 恒成立，f（

21、x）只有一个零点为x1，即 正确，错误正确的有 ，故选：B12已知梯形ABCD 满足 ABCD，BAD 45，以 A，D 为焦点的双曲线经过B，C两点若CD7AB，则双曲线的离心率为（）A3 24B3 34C3 54D3+54【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c 之间的关系即可得到结论解：如图：连接AC，BD；设双曲线的焦距AD 2c；实轴长为2a；则 BDABACAD 2a；设 ABm，则 CD7m，BD2a+m，AC2a+7m，依题意，BAD 45，ADC 135，在 ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2m2+4c22?；在 ACD 中，由余弦定理及题

22、设可得：（2a+7m）249m2+4c2+14?；整理得：?（c2a2）m（?a+c）；?（c2a2）7m（?ac）；两式相结合得：?a+c7（?ac）?6?a8c；双曲线的离心率为e=?=324；故选：A二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13在三角形ABC 中，|?|5，?=8，则?=17【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可解：在三角形ABC 中，|?|5，?=8，可得?(?+?)=?+?=25+?=8，则?=-17故答案为：1714若（3?-1?）n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为540【分析】依据各项系数之和为2n，列出方程求出n，利用二项展开

23、式的通项公式求出常数项解：若(?-1?)?的展开式中各项系数之和为2n64，解得 n6，则展开式的常数项为?(?)?(-1?)?=-540，故答案为：54015在数列 an，bn中，an+12（an+bn）+2?+?，bn+12（an+bn 2?+?，a1b11，设数列 cn满足 cn=1?+1?，则数列 cn的前 10 项和 S101023256【分析】首先求出?+?=?-?=?-?和?=?-?=?-?，进一步求出数列 cn的通项公式，最后求出数列的和解：数列 an，bn中，an+1 2（an+bn）+2?+?，bn+12（an+bn）2?+?，所以 +得：an+1+bn+14（an+bn）

24、，整理得?+1+?+1?+?=?（常数），所以数列 an+bn是以 a1+b12 为首项，4 为公比的等比数列所以?+?=?-?=?-?得：?+?+?=?(?+?)?-?(?+?)=?，所以?+1?+1?=?（常数），故数列anbn是以 a1b11 为首项，8 为公比的等比数列，所以?=?-?=?-?，由于数列 cn满足 cn=1?+1?=22?-18?-1=22n，所以?=2(1-1210)1-12=1023256，故答案为：102325616四面体PABC 中，PA=?，PBPCABAC2，BC2?，动点Q 在 ABC的内部（含边界），设PAQ ，二面角PBCA 的平面角的大小为，APQ

25、和BCQ 的面积分别为S1和 S2，且满足?1?2=3?4?，则 S2的最大值为42?【分析】取BC 的中点M，由题意可得AM PM PA=?，所以 PMA 60，作 QHBC 于 M，所以?1?2=12?12?=3?4?=3?4?32=12sin，而 BC 2PA2?，可得 AQQH，即 Q 为三角形ABC 内的一条抛物线，当Q 在 AB 或 AC 上时，S2最大，求出S2的最大值解：取 BC 的中点 M，连接 AM，PM，因为 PBPC ABAC 可得 AM BC，PMBC，且 PA=?，PBPC ABAC2，BC2?，所以 AM PM PA=?，所以 PMA 60，作 QHBC 于 M，

26、所以?1?2=12?12?=3?4?=3?4?32=12sin，而 BC2PA2?，所以可得AQQH，所以 Q 的轨迹是 ABC 内的一条抛物线，当Q 在 AB 或 AC 上时，S2最大，此时 AQQH 2（?-1），S242?故答案为：42?三、解答题：（本大题共5 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2，2ccosA2ba（）求角C；（）如图，若点D 在边 AC 上，AD DB，DEAB，E 为垂足，且DE=?，求 BD的长【分析】（I）由正弦定理结合和差角公式进行化简可求cosC，进而可求C；（II

27、）由已知结合正弦定理可求AB，然后结合勾股定理即可求解解：（I）2ccosA 2ba由正弦定理可得，2sinCcosA2sinBsinA，所以 2sinCcosA 2sin（A+C）sinA 2sinAcosC+2sinCcosAsinA，因为 sinA0，故 cosC=12，C（0，），故 C=13?；（II）设 BD AD x，在 ABC 中，由正弦定理可得，2?=?，所以 AB=62?，在 Rt ADE 中，由勾股定理可得，?=(64)?+?，解可得 xBD=45518如图，在矩形ABCD 中，将 ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点 P 的位置，且平面 ABP平面 ABC（）求证

28、：APPB；（）若直线PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为34，求二面角PACB 的余弦值【分析】（）由四边形ABCD 是矩形，得 ABBC，推导出 BC平面 ABP，BCAP，从而 APPC，进而 AP平面 PBC，由此能证明APPB（）过P 作 POAB 于点 O，则 PO平面 ABC，以 OB 所在直线为x 轴，过 O 作 y轴平行于BC，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PACB的余弦值解：（）证明：由四边形ABCD 是矩形，得ABBC，根据平面ABP平面 ABC，平面 ABP平面 ABC AB，得 BC平面 ABP，则 BC AP，又 APPC，根据 BC

29、PCC，是 AP平面 PBC，PB?平面 PBC，APPB（）解：过P 作 POAB 于点 O，平面ABP平面 ABC，PO平面 ABC，以 OB 所在直线为x 轴，过 O 作 y 轴平行于BC，OP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（）知CB平面 ABP，CPB 是直线 PC 与平面 ABP 所成角，即 sinCPB=34，在 PBC 中，sinCBP=?=34，设 CB3，则 CP4，PB=?-?=?，PO平面 ABC，可取平面ABC 的一个法向量?=（0，0，1），由（）知，APPB，在直角三角形APB 中，POAB，AP 3，AB4，PB=?，AO=94，BO=74，PO=3

30、74，P（0，0，374），A（-94，0，0），C（74，3，0），?=（4，3，0），?=（94，?，3 74），设平面 PAC 的法向量?=（x，y，z），则由?=?+?=?=94?+374?=?，取 x 3，则 n（3，4，9 7），则 cos?，?=?|?|?|?|=979+16+817=916，二面角P ACB 的平面角是锐角，二面角PACB 的余弦值为91619已知圆O：x2+y23，直线 PA 与圆 O 相切于点A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB|2|PA|（）求点P 的轨迹 E 的方程；（）过点（1，0）且与 x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于 P，Q 两点，在x

31、 轴上是否存在定点D，使得 x 轴是 PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由【分析】（）设P（x，y），则|PA|2x2+y23，|PB|2x2，代入|PB|2|PA|即可得到点 P 的轨迹 E 的方程；（）设直线l 的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到?+?=-6?4+3?2，?=-94+3?2，代入 kPD+kQD 0，化简整理得?+(?-?)(?+?)=-18?4+3?2-6?(1-?0)4+3?2=?，解得：x0 4，所以存在定点D（4，0），使得 x 轴是PDQ 的角平分线解：（）设P（x，y），则|PA|2|PO|2 3x2+y23，|PB

32、|2x2，由|PB|2|PA|得：x24（x2+y23），化简得?24+?23=?(?)，点 P 的轨迹 E 的方程为：?24+?23=?(?)；（）设直线l 的方程为：xmy+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程?24+?23=?=?+?，整理得：（4+3m2）y2+6my 90，?+?=-6?4+3?2，?=-94+3?2，假设存在定点D（x0，0），使得x 轴是 PDQ 的角平分线，则kPD+kQD0，?1?1-?0+?2?2-?0=?，?1?1+1-?0+?2?2+1-?0=?，?1(?2+1-?0)+?2(?1+1-?0)(?1+1-?0)(?2+1-?0)=?，2?1?

33、2+(1-?0)(?1+?2)(?1+1-?0)(?2+1-?0)=?，即?+(?-?)(?+?)=-18?4+3?2-6?(1-?0)4+3?2=?，解得：x04，所以存在定点D（4，0），使得x 轴是 PDQ 的角平分线20某工厂的一台某型号机器有2 种工作状态：正常状态和故障状态若机器处于故障状态，则停机检修为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000 个产品的质量指标值，得出如图1 所示频率分布直方图由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N（，2），其中 近似为这1000个产品的质量指标值的平均数?，2近似为这1000 个产品的质量指

34、标值的方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）若产品的质量指标值全部在（3，+3）之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10 件测得的质量指标值：294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2 种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700 元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200 元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100 单常规检修在第i（i1，2，

35、7）天检修的单数，得到如图2 所示柱状图，将第i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益200 元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：?.?，?.?，?.?【分析】（1）由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数?=70 和方差 s2188，所以 70，=?.?，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态；（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700+200900 元；方案二：设损失收益为X 元，则 X 的

36、可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，然后由图2 可得出每个X 的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和为200+732932 元，由于900932，故若机器出现故障，该选择加急检修方案解：（1）由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数?和方差 s2分别为?=400.04+500.08+600.24+700.30+80 0.20+900.10+1000.0470，s2（30）20.04+（20）20.08+（10）20.24+020.30+1020.20+2020.10+3020.04188，70，=?.?，3 28

37、.87，+3 111.13，产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），又抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故可判断该机器处于故障状态（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700+200900 元；方案二：设损失收益为X 元，则 X 的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，X 的分布列为：X200400600800100012001400P0.070.180.250.200.150.120.03数学期望E（X）200 0.07+400 0.18+600 0.25+800 0.20+1000 0.1

38、5+1200 0.12+14000.03732 元，故工厂需要支付检修费和损失收益之和为200+732932 元，900932，当机器出现故障时，选择加急检修更为适合21已知函数f（x）（x1）2alnx（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1 x2），且关于x 的方程 f（x）b（b R）恰有三个实数根x3，x4，x5（x3 x4x5），求证：2（x2x1）x5 x3【分析】（）求导得f（x）=2?2-2?-?，令 f（x）0，即 2x22xa0，4+8a，分两种情况 0，0，讨论 f（x）单调性（）证明：由题意得-12a 0，画出草图，知 0 x3x1

39、x4x2x5，0 x1x21，要证：2（x2x1）x5x3，即证：2（x2x1）（x5+x4）（x3+x4）；只需证：?+?+?，先证：x3+x42x1法一：即证x42x1x3，由（1）f（x）单调递减，只需证 f（x4）f（2x1x3），即证：f（x3）f（2x1x3），令g（x）f（x）f（2x1x），0 xx1，求导数，分析单调性，最值得g（x）g（x1）0，故 f（x）f（2x1x），在（0，x1）恒成立，f（x3）f（2x1x3）得证，同理可以证明：x3+x42x2，综上，2（x2x1）x5x3，得证法二：由题可得(?-?)?-?=?(?-?)?-?=?(?-?)?-?=?，即(?-

40、?)(?+?-?)=?(?-?)(?-?)(?+?-?)=?(?-?)，由 式得?4+?3-2=?4-?3?4-?3，先证?4-?3?4-?3?4+?32，令 h（t）lnt-2(?-1)?+1，（t1），先求导得h（t）在（1，+）上单调递增，从而h（t）h（1）0，取t=?4?51，故?4+?3-2?4+?32，即x4+x3 1-?+?=2x1，同 理 可 得?5+?4-2=?5-?4?5-?4?5+?42，即x5+x41+?+?=2x2，综上，2（x2 x1）x5x3，得证解：（）由题意得f（x）2（x1）-?=2?2-2?-?，令 f（x）0，即 2x22xa0，4+8a，当 a-12

41、时，0，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，当-12a0 时，0，2x22xa0 的两根为x1=1-2?+12，x2=1+2?+12且 0 x1=1-2?+12x2，当 x（0，1-2?+12），（1+2?+12，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（1-2?+12，1+2?+12）时，f（x）0，f（x）单调递减，综上，当a-12时，函数f（x）在（0，+）上单调递增，当-12a0 时，当 x（0，1-2?+12），（1+2?+12，+）时，f（x）单调递增，当 x（1-2?+12，1+2?+12）时，f（x）单调递减，（）证明：由题意得-12a0，0 x3 x1x4x

42、2x5，0 x1x21，要证：2（x2x1）x5x3，即证：2（x2x1）（x5+x4）（x3+x4）；只需证：?+?+?先证：x3+x42x1法一：即证x42x1 x3，又由（1）知 f（x）在（x1，x2）上单调递减，只需证 f（x4）f（2x1 x3），而 f（x4）f（x3），即证：f（x3）f（2x1x3），令 g（x）f（x）f（2x1x），0 xx1，g（x）f（x）+f（2x1x）2x2-?+2（2x1x）2-?2?1-?，4（x11）-?-?2?1-?=4(?1-1)(2?1?-?2)-2?1?(2?1-?)又 2（x11）-?1=0，即 x11=?2?1，那么，g（x）=2

43、?1(2?1?-?2-?12)?(2?1-?)=-2?1(?-?1)2?(2?1-?)，而 0 xx1，且-12?，则 g（x）0，故 g（x）在（0，x1）单调递增，则g（x）g（x1）0，故 f（x）f（2x1 x），在（0，x1）恒成立，又 0 x3x1，则 f（x3）f（2x1 x3）得证，同理可以证明：x3+x4 2x2，综上，2（x2x1）x5x3，得证法二：由方程f（x）b 恰有三个实数根x3，x4，x5（x3x4x5），可得(?-?)?-?=?(?-?)?-?=?(?-?)?-?=?，即(?-?)(?+?-?)=?(?-?)(?-?)(?+?-?)=?(?-?)，由 式得?4+

44、?3-2=?4-?3?4-?3，先证?4-?3?4-?3?4+?32，令 h（t）lnt-2(?-1)?+1，（t1），h（t）=(?-1)2?(?+1)20，所以 h（t）在（1，+）上单调递增，从而h（t）h（1）0，取 t=?4?51，则有?4-?3?4-?3?4+?32，故?4+?3-2?4+?32，从而（x4+x3）2 2（x4+x3）2a，即（x4+x31）2 2a+1，即 x4+x31-?+?=2x1，同理可得?5+?4-2=?5-?4?5-?4?5+?42，即 x5+x41+?+?=2x2，综上，2（x2x1）x5x3，得证一、选择题22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参

45、数方程为?=?+?=?（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2=41+?2?（）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（）直线l 上的点 P（m，0）为曲线 C 内的点，且直线l 与曲线 C 交于 A，B，且|PA|?|PB|2，求 m 的值【分析】（）把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程；（）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解m 值【解答】（）曲线C

46、 的极坐标方程为2=41+?2?，2+2sin2 4，即 x2+2y24，得?24+?22=?曲线 C 的直角坐标方程为?24+?22=?直线 l 的参数方程为?=?+?=?（t 为参数），消去参数t，可得直线l 的普通方程为?-?-?=?；（）设直线l 的参数方程为?=?+12?=32?，代入椭圆方程，得74(?)?+?+?-?=?再设 A，B 对应的参数分别为t1，t2，则?=4(?2-4)7又点 P（m，0）为曲线C 内的点，m24，即 2m2由|PA|?|PB|t1t2|=4|?2-4|7=2，解得 m=22选修 4-5：不等式选讲23若对于实数x，y 有|12x|4，|3y+1|3（

47、）求|?+?-16|的最大值M；（）在（）的条件下，若正实数a，b 满足1?+2?=?，证明：(?+?)(?+?)509【分析】（）由|?+?-16|=|12(?-?)+13(?+?)|，利用绝对值的不等式放缩即可求得最大值；（）由（）知，1?+2?=?，得?+?=?，求解ab 的最小值，即可证明(?+?)(?+?)509【解答】（）解：|?+?-16|=|12(?-?)+13(?+?)|12|?-?|+13|?+?|12?+13?=?，当?=52?=23或?=-32?=-43时等号成立，|?+?-16|的最大值 M 为 3（）证明：由（）知，1?+2?=?，?+?=?，得?89(?+?)(?+?)=?+?+?+?=?+?89+?=509