2020届河北省唐山市2017级高三上学期摸底考试数学(文)试卷及解析.pdf

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1、2020 届河北省唐山市 2017级高三上学期摸底考试数学（文）试卷祝考试顺利一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,1,2,3A,220Bx xx,则 ABI()A.0,1,2B.0,1C.3D.1【答案】D【解析】【分析】先化简集合220Bx xx,再由交集的概念,即可得出结果.【详解】因为22002Bx xxxx,又0,1,2,3A,所以1AB.故选 D 2.已知p,qR,1i 是关于x的方程20 xpxq的一个根,则p q（）A.4B.0C.2D.4【答案】A【解析】【分析】由 1i 是 关 于x的 方 程20 xpxq的 一 个 根,代 入 方

2、 程 化 简 得(2)=0pqpi,根据复数相等的充要条件,列出方程组,即可求解.【详解】依题意,复数1 i 是关于x的方程20 xpxq的一个根,可得21)(1)=0ipiq（,即：(2)=0pqpi,所以020pqp,解得22pq,所以4p q,故选 A.3.已知nS为等差数列na的前n项和,5152,150aS,则公差d()A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】根据题中条件,由15150S求出8a,进而可得出结果.【详解】因为nS为等差数列na的前n项和,5152,150aS,所以15815150Sa,即810a,因此85312daa,所以4d.故选 C 4.已知ln3

3、a,3log 10b,lg 3c,则a,b,c的大小关系为（）A.cbaB.acbC.bcaD.cab【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调性,分别求得,a b c的范围,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据对数的单调性,可得2lnln 3lnee,即12a,333log 9log 10log 27,即 23b,lg3lg101c,即1c,所以 cab,故选 D.5.函数21xfxx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式,得到()()fxf x,所以函数fx为偶函数,图象关于y对称,排除 B、C；再由函数的单调性,排除 A,即可得到答案.【详解】由题意

4、,函数21xfxx,可得22()11xxfxfxxx,即()()fxf x,所以函数fx为偶函数,图象关于y对称,排除 B、C；当0 x时,211xfxxxx,则21()1fxx0,所以函数在0（，）上递增,排除 A,故选D.6.双曲线22 C:2xy的右焦点为F,点P为 C 的一条渐近线上的点,O为坐标原点.若|POPF,则OPFS()A.14B.12C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程,以及右焦点坐标,再由|POPF,求出P点坐标,进而可求出三角形面积.【详解】因为双曲线方程为22C:2xy,所以其渐近线方程为yx,右焦点为(2,0)F,因为点P为 C的一条渐

5、近线上的点,不妨设点P在yx上,且点P在第一象限；又|POPF,所以POF 为等腰三角形,所以点P横坐标为 1,因此(1,1)P,所以112OPFpSOFy.故选 C 7.已知2sin2410,则sin()A.1225B.1225C.2425D.2425【答案】D【解析】【分析】先由题意得到1sincos225,再两边同时平方,根据同角三角函数基本关系,即可得出结果.【详解】因为2sin2410,所以222sincos222210,因此1sincos225,所以2sinco5s2122,即151sin2,所以24sin25故选 D 8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个

6、半圆和一个四分之一圆构成,两个阴影部分分别标记为A和 M.在此图内任取一点,此点取自 A区域的概率记为P A,取自 M 区域的概率记为P M,则（）A.P AP MB.P AP MC.P AP MD.P A与P M的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式,分别求得阴影部分的面积,得到阴影部分A的面积阴影部分 M 的面积,即可求解.【详解】由题意,设四分之一圆的半径为R,则半圆的半径为22R,阴影部分 A的面积为212R,空白部分的面积为221142RR,阴影部分 M的面积为：22221211122422RRRR,阴影部分 A的面积阴影部分 M 的面积,

7、所以 P AP M（）（）,故选 C.9.下图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图,若先后输入1900 x,2400 x,则输出的结果分别是（注：xMODy表示x除以y的余数）（）A.1900是闰年,2400是闰年B.1900是闰年,2400是平年C.1900是平年,2400是闰年D.1900是平年,2400是平年【答案】C【解析】【分析】由给定的条件分支结构的程序框图,根据判断条件,准确计算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,输入1900 x时,190040aMOD,19001000bMOD1900400cMOD3输出1900是平年,输入2400 x时,240040aMOD2400100

8、0bMOD24004000cMOD输出 2400是润年,故选 C10.将函数2fxsin x的图像上所有点向左平移4个单位长度,得到g x的图像,则下列说法正确的是()A.g x的最小正周期为 2B.,04是g x的一个对称中心C.34x是g x的一条对称轴D.g x在0,2上单调递增【答案】B【解析】【分析】先由题意得到g x的解析式,根据余弦函数的性质,即可得出结果.【详解】因为将函数2fxsin x的图像上所有点向左平移4个单位长度,得到g x的图像,所以sin 2cos22g xxx,所以g x的最小正周期为22T,A 错；由2,2xkkZ得,42kxkZ,因此g x的对称中心为,0,

9、42kkZ,B 正确；由2,xkkZ得,2kxkZ,因此g x的对称轴为,2kxkZ,C 错；由222,kxkkZ得,2kxkkZ,所以g x的单调递增区间为,2kkkZ,D 错.故选 B 11.已知nS为数列na的前n项和,32nnSa则数列nS()A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项【答案】A【解析】【分析】先由32nnSa,得到1132nnaS,两式作差,得到数列na是以12为公比的等比数列；求出nS,分别讨论n为奇数和n为偶数两种情况,即可得出结果.【详解】因为nS为数列na的前n项和,32nnSa,所以1132nnaS,两式作差,得13

10、nnnaaa,设112nnaa,数列na是以12为公比的等比数列；又1132Sa,所以11a,所以11112221211133233212nnnnS,当n为奇数时,11211211332332nnnS单调递减,有最大值112111332nnSS；且121123323nnS；当n为偶数时,11211211332332nnnS单调递增,有最小值1221113322nnSS；且121123323nnS；因此,数列nS有最大值 1；有最小值12.故选 A 12.已知三棱锥 DABC 四个顶点均在半径为R的球面上,且2ABBC,2AC,若该三棱锥体积的最大值为1,则这个球的表面积为（）A.50081B.

11、1009C.259D.4【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理可知ABBC,从而求得1ABCS；根据棱锥体积公式可知,若三棱锥体积最大,则可得点D到平面 ABC 的最大距离3DO,在 Rt OAO 中利用勾股定理构造关于球的半径的方程,解方程求得半径 R,代入球的表面积公式可求得结果.【详解】2ABBCQ,2AC222ABBCACABBC112ABCSAB BC如下图所示：若三棱锥 DABC 体积最大值为 1,则点D到平面 ABC最大距离：3d即：3DO设球的半径为 R,则在 Rt OAO 中：22213RR,解得：53R球的表面积：210049SR故选B二、填空题。13.已知|5,(2,1)

12、rrab,且/abrr,则向量ar的坐标是 _.【答案】(25,5)或(2 5,5)【解析】【分析】先设(,)ax yr,根据题中条件,列出方程组,求解,即可得出结果.【详解】设(,)ax yr,因为|5,(2,1)rrab,且/abrr,所以222025xyxy,解得2 55xy或2 55xy,因此向量ar的坐标是(25,5)或(2 5,5).故答案为(25,5)或(2 5,5)14.若,x y满足约束条件20210220 xyxyxy,则3zxy的最大值为 _.【答案】0【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域,结合图象,确定目标函数的最优解,代入目标函数,即可求解,得到答案.【详解】由

13、题意,作出约束条件20210220 xyxyxy所表示的平面区域,如图所示,目标函数3zxy 可化为直线3yxz,当直线3yxz过点 C时,此时目标函数取得最大值,又由20210 xyxy,解得1,3xy,即1,3C（）,所以目标函数的最大值为3 1 30z.15.已知直线330 xy过椭圆22221(0)xyabab的左焦点F,交椭圆于,A B两点,交y轴于点 C,2FAFCuu u ruuu r,则该椭圆的离心率是 _.【答案】33【解析】【分析】先由题意求出(3,0)F,再设(,)A x y,根据2FAFCuu u ru uu r,结合题意求出点(3,2)A,代入椭圆方程,求出,a b,

14、进而可得出结果.【详解】因为直线330 xy过椭圆22221(0)xyabab的左焦点F,所以(3,0)F,设(,)A x y,因为2FAFCuu u ru uu r,由题意可得(3)2 0(3)x,所以3x,又(,)A x y在直线330 xy上,所以2y,即(3,2)A,由题意可得222223341abcab,解得36ab,所以离心率为33cea.故答案为3316.已知函数()(ln)xf xeaxxax,若0fx恒成立,则a的取值范围是_.【答案】1,ee【解析】【分析】先由xye的图像与lnyx的图像可得,lnxex恒成立；原问题即可转化为直线yax介 于xye与lnyx之 间,作 出

15、 其 大 致 图 像,由 图 像 得 到 只 需OAOBkak；根据导数的方法求出OA,OB 所在直线斜率,进而可得出结果.【详解】由xye的图像与lnyx的图像可得,lnxex恒成立；所以若()(ln)0 xf xeaxxax恒成立,只需0ln0 xeaxxax,即直线yax介于xye与lnyx之间,作出其大致图像如下：由图像可得,只需OAOBkak；设11(,)A xy,由lnyx得1yx,所以111OAxxkyx,所以曲线lnyx在点11(,)A xy处的切线 OA的方程为1111ln()yxxxx,又该切线过点 O,所以11110ln(0)1xxx,解得1xe,所以1OAke；设22(

16、,)B xy,由xye得exy,所以22xOBxxkye,所以曲线xye在点22(,)B xy处的切线 OB 的方程为222()xxyeexx,又该切线过点 O,所以2220(0)xxeex,解得21x,所以OBke；所以1aee.故答案为1,ee三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对 AB，两位选手,随机调查了 20 个学生的评分,得到下面的茎叶图：所得分数低于 60分60 分到 79 分不低于 80 分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级（1）通过茎叶图比较 AB，两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出

17、具体值,得出结论即可）；（2）举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流,根据所得分数,估计 AB，两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大,并说明理由.【答案】(1)A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中,B选手所得分数比较分散(2)A选手直接晋级的概率更大 理由见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图中数据的分布特征,可直接得出结论；（2）用AC表示事件“A选手直接晋级”,BC表示事件“B选手直接晋级”,根据茎叶图中的数据,计算概率,即可得出结果.【详解】（1）通过茎叶图可以看出,A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中,B选手所得

18、分数比较分散（2）A选手直接晋级的概率更大用AC表示事件“A选手直接晋级”,BC表示事件“B选手直接晋级”由茎叶图得AP C的估计值为82(53)20205,BP C的估计值为7(52)2020,所以,A选手直接晋级的概率更大18.ABC的内角 ABC，的对边分别为 abc，,已知ABC 的面积21tan6SbA（1）证明：3 cosbcA；（2）若2 2,5ac,求 tanA.【答案】(1)证明见解析；(2)2【解析】【分析】（1）由三角形面积公式,结合题意,得到211sintan26SbcAbA,化简整理即可得出结论成立；（2）由（1）的结论,结合（2）中数据,得到2230bccosAco

19、s A,再由余弦定理得到228 45530cos Acos A=+,解方程,即可求出结果.【详解】（1）由211sintan26SbcAbA 得3 sintancAbA因为sintancosAAA,所以sin3 sincosbAcAA,又因为 0A,所以0sinA,因此3bccosA（2）由（1）得3 cos3 5 cosbcAA,所以2230bccosAcos A由余弦定理得2222abcbccosA,所以228 45530cos Acos A=+,解得21cos5A因此24sin5A,即2tan4A由（1）得0cosA ,所以0tanA ,故2tanA19.如图,在四棱锥 PABCD 中,

20、底面 ABCD是矩形,侧棱PD底面ABCD,2PDDC,点 E是 PC的中点.（1）求证：/PA平面 BED；（2）若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为30,求四棱锥 PABCD的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)83【解析】【分析】（1）连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理得到BC 平面 PCD,再得到DE平面 PBC,从而可得DBE即为直线 BD 与平面 PBC 所成的角,设 ADx,在 Rt DBE 中,列式求出2x,再由棱锥的体积公式,即可得出结果.【详解】（1）连接 AC 交 BD 于O,连接 OE

21、由题意可知,PEECAOOC，,/PAEO,又 PA平面 BED,EO平面 BED,/PA平面 BED（2）由PD底面 ABCD,得 PDBC,又由题意可知 CDBC,且PDCDDBC平面 PCD,则 BCDE 由 PEECPDDC，,则 PCDE,且 PCBCC,DE平面 PBC,所以DBE即为直线 BD 与平面 PBC 所成的角设 ADx,在 Rt DBE 中,22,4DEBDx,则1sin2DEDBEBD,解得2x四棱锥 PABCD体积1833ABCDVPDS矩形20.已知F为抛物线2 C:12xy的焦点,直线:4lykx与 C 相交于,A B两点。（1）O为坐标原点,求OA OBu u

22、u r uuu r；（2）M 为 C 上一点,F为ABM的重心（三边中线的交点）,求 k。【答案】(1)-32；(2)612k或612【解析】【分析】（1）先设1122()()A xyB xy，,将l的方程代入抛物线 C 的方程,根据韦达定理,以及向量数量积的运算,即可得出结果；（2）先由题意得到3(0)F，,设33()M xy，,根据F为ABM的重心,得到12312309xxxyyy，,由（1）的结果表示出33，xy,再代入抛物线方程,即可求出结果.【详解】（1）设1122()()A xyB xy，,将 l 的方程代入 C 得：212480 xkx,所以121212,48xxk x x,即2

23、121221612x xy y,从而121232OA OBx xy yuu u r uu u r（2）依题意得3(0)F，,设33()M xy，,因为F为ABM的重心,所以12312309xxxyyy，,从而312(1)2xxxk,312)9(yyy2212912xx212122912xxx x21 12k因为33()M xy，在抛物线 C上,所以221212()(1 12)kk,即2124k故612k或61221.已知函数()sincosf xaxxbx,且曲线()yf x与直线2y相切于点,22,（1）求()f x；（2）若2()1f xmx,求实数m的取值范围.【答案】(1)()f xx

24、sinxcosx；(2)12m【解析】【分析】（1）先由题意得到222af,求出1a,再对函数求导,根据02f求出 b,从而可得到解析式；（2）先令22()()11g xmxf xmxxsinxcosx,先由题意确定0m,再由函数奇偶性的概念,易得到()g x 为偶函数,因此只需0 x时,()0g x；对函数()g x 求导,分别讨论12m,102m,两种情况,用导数的方法研究其单调性,最值等,即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：222af,解得1a(1)fxxcosxb sinx,由102fb得1b所以()f xxsinxcosx（2）令22()()11g xmxf xmxxsinxco

25、sx,由()0g x得224()0gm,所以0m显然()g x为偶函数,所以只需0 x时,()0g x2cos2co)s(g xmxxxxmx,当12m时,()0gx,即()g x 在0，上单调递增,所以()(0)0g xg,从而12m时,2(1)f xmx成立当102m,时,因为2ymcosx在0,2上单调递增,又0 x时,210ym；2x时,20ym,所以存在00,2x,使得020mcosx,因此0)(0 xx，时,20mcosx,)(0gx,即()g x 在0(0)x，上单调递减,所以0)(0 xx，时,()()=00g xg,与()0g x矛盾,因此102m,时不成立综上,满足题设的m

26、的取值范围是12m22.在极坐标系中,圆:4cosC.以极点 O为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线 l 经过点1,3 3M且倾斜角为.1 求圆 C的直角坐标方程和直线l 的参数方程；2 已知直线 l 与圆 C 交与 A,B,满足 A为MB的中点,求.【答案】（1）2224xy,13 3xtcosytsin,(t为参数,0a).（2）3【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,可求解圆 C 的直角坐标方程,根据直线参数方程的形式,即可求得直线的参数方程；2将直线 l 的方程代入圆 C 的方程,利用根与系数的关系,求得ABtt,ABt t g,由A为MB的中点,

27、得到2BAtt,求得,ABtt,即可求得ABtt g的表达式,利用三角函数的性质,即可求解.【详解】（1）由题意,圆:4Ccos,可得24 cos,因为222xy,cosx,所以224xyx,即2224xy,根据直线的参数方程的形式,可得直线 l:13 3xtcosytsin,(t为参数,0a).2 设,A B对应的参数分别为,ABtt,将直线 l 的方程代入 C,整理得26320()3ttsincos,所以63()ABttsincos,32ABtt g,又 A为MB的中点,所以2BAtt,因此(3)246Atsincossin,8sin6Bt,所以232sin326ABtt g,即2sin1

28、6,因为0a,所以7666,从而=62,即3.23.设函数()211f xxx.1画出()yfx的图像；2若()f xm xn,求mn的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义,可得分段函数fx的解析式,进而作出函数的图象；（2）由不等式fxm xn,可得0fn,解得2n,再由绝对值的三角不等式,求得当且仅当3m,且2n时,fxm xn成立,即可求解mn的最小值.【详解】（1）由题意,根据绝对值的定义,可得分段函数3,112,1213,2x xfxxxx x,所以()yfx的图象如图所示：（2）由 fxm xn,可得0fn,解得2n,又因为21|()31fxxxx,所以3m xnx.()若3m,()式明显成立；若3m,则当3nxm时,()式不成立,由图可知,当3m,且2n时,可得fxm xn,所以当且仅当3m,且2n时,fxm xn成立,因此mn的最小值为 5.