2020年山东省德州市德城区中考数学一模试卷(解析版).pdf

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1、2020 年山东省德州市德城区中考数学一模试卷一、选择题（共12 小题）.1中国人最早使用负数，下列各数中是负数的是（）A|1|B（1）C（）0D（1）22下列运算正确的是（）A2aa2Ba6a2a3C（a2）3a6D（a）1a+13一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（）A长方体B正方体C圆锥D圆柱42019 年政府工作报告中指出，5 年来我国有约8001 万农业转移人口成为城镇居民用科学记数法表示数据8001 万，其结果是（）A80.01 106B0.8001108C8.001107D8.0011085在 ABC 中，已知 A、B 都是锐角，|sinA|+

2、（1tan B）20，那么 C 的度数为（）A75B90C105D1206不等式组所有整数解的和为（）A1B 1C0D27下列命题为假命题的是（）A若 ab，则 a2019b2019B若 ab，则C若 ab，则 a2abD若 ab，则 a2cb 2c8已知函数y axb 与 y的图象如图所示，则二次函数yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD9如图，某小区有一块长为18 米，宽为6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是（）Ax2+9x80Bx

3、29x80Cx29x+80D2x29x+8010如图，四边形ABCD 内接于 O，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交AD的延长线于点E，连接 AC若 ABC 105，BAC 25，则 E 的度数为（）A45B50C55D6011已知点 A 是双曲线y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边三角形ABC，点 C 在第四象限内，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y（x0）上运动，则k 的值是（）A3BC 3D12如图，在ABC 中，ABAC10，点 D 是边 BC 上一动点（不与B，C 重合），ADE B，DE 交 AC

4、 于点 E，且 cos 下列给出的结论中，正确的有（）ADE ACD；当 BD6 时，ABD 与 DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 12.5；0CE 6.4A1 个B2 个C3 个D4 个二、填空题（本大题共6 小题，共24 分）13关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数a 的范围为14如图，在半径AC 为 2，圆心角为90的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D，连接 CD，则图中阴影部分的面积是15如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，4），点B 的坐标是（6，2），在y轴和 x 轴上分别有两点P、Q，则 A，B，P，Q 四点组成的四边形的最

5、小周长为16某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45的传送带 AB，调整为坡度i1：的新传送带AC（如图所示）已知原传送带AB 的长是 4米那么新传送带AC 的长是米17对于 X、Y 定义一种新运算“*”：X*YaX+bY，其中 a、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算已知：3*5 15，4*728，那么 2*318在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 2 个正方形A1B1C1C，延长 C1B1交 x 轴于点 A2，作第 3 个正方形A2B2C2C1，

6、按这样的规律进行下去，第2020 个正方形的面积为三、解答题（本大题共7 小题，共78 分）19先化简，然后从1，0，1 中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值20中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分频数频率50 x 60100.0560 x 70200.1070 x 8030b80 x 90a0

7、.3090 x100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a，b；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90 分以上（包括90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000 名学生中成绩“优”等约有多少人？21已知：如图，在ABC 中，ADBC求作：在AD 上求作点 E，使得点E 到 AB 的距离 EF 等于 DE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作图的依据是；（2）在作图的基础上，若ABC 45，ABAC，DE 1，求 CD 的长22“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地

8、自行车相继投放市场顺风车行经营的A 型车去年6 月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400 元，若今年6 月份与去年6 月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份 A 型车销售总额将比去年6 月份销售总额增加 25%（1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划7月份新进一批A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B 两种型号车的进货和销售价格如表：A 型车B 型车进货价格（元/辆）11001400销售价格（元/辆）今年的销售价格240023

9、已知：如图，在ABC 中，ABAC，点 P 是底边 BC 上一点且满足PA PB，O 是PAB 的外接圆，过点P 作 PDAB 交 AC 于点 D（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 BC8，tanABC，求 O 的半径24如图，在矩形ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点P处，折痕为EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若 AEP 是等边三角形，连结BP，求证：APB EPC；（3）若矩形ABCD的边AB6，BC 4，求CPF的面积25已知，在以O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶

10、点为A（1，4），且经过点B（2，3），与 x 轴分别交于C、D 两点（1）求直线 OB 以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图 1，点 M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作 x 轴的平行线与直线OB 交于点 N，求 MN 的最大值；（3）如图 2，过点 A 的直线交x 轴于点 E，且 AEy 轴，点 P 是抛物线上A、D 之间的一个动点，直线PC、PD 与 AE 分别交于F、G 两点当点P 运动时，EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共12 小题，共48 分）1中国人最早使用负数，下列各数中是负数的是（）A|1|B（

11、1）C（）0D（1）2【分析】直接利用去括号法则以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案解：A、|1|1，故此选项正确；B、（1）1，故此选项正错误；C、（）0，故此选项正错误；D、（1）21，故此选项正错误；故选：A2下列运算正确的是（）A2aa2Ba6a2a3C（a2）3a6D（a）1a+1【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的除法运算法则逐一判断即可解：A.2a 与 a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B a6a2a4，故本选项不合题意；C（a2）3a6，故本选项符合题意；D（a）1 a 1，故本选项不合题意故选：C3一个几何体的主视图和左视图都是正

12、方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（）A长方体B正方体C圆锥D圆柱【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案解：几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，故该几何体是一个柱体，又俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱故选：D42019 年政府工作报告中指出，5 年来我国有约8001 万农业转移人口成为城镇居民用科学记数法表示数据8001 万，其结果是（）A80.01 106B0.8001108C8.001107D8.001108【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n 为

13、整数确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于等于10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于1 时，n 是负数解：8001 万 8.001107故选：C5在 ABC 中，已知 A、B 都是锐角，|sinA|+（1tan B）20，那么 C 的度数为（）A75B90C105D120【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA，tanB1，进而得出A30，B45，即可得出答案解：|sinA|+（1 tanB）20，|sinA|0，（1 tanB）2 0，sinA，tan B1，A30，B 45，C 的度数为：180 30 4

14、5 105故选：C6不等式组所有整数解的和为（）A1B 1C0D2【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解即可解：解不等式 得：x 1，解不等式 得：x2，不等式组的解集是1x2，不等式组的整数解是1，0，1，不等式组的所有整数解的和是1+0+10，故选：C7下列命题为假命题的是（）A若 ab，则 a2019b2019B若 ab，则C若 ab，则 a2abD若 ab，则 a2cb 2c【分析】根据等式的性质、不等式的性质进行判断即可解：A、若 ab，则 a2019 b2019，是真命题；B、若 ab，则，是真命题；C、若 ab，当 a0 时，则a2ab；a0 时，a

15、2ab，是假命题；D、若 ab，则 a2cb 2c，是真命题；故选：C8已知函数y axb 与 y的图象如图所示，则二次函数yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a0、b0、c 0，由此即可得出：二次函数yax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴 x 0，与 y 轴的交点在 y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论解：观察函数图象可知：a0，b 0，c0，二次函数y ax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴 x0，与 y 轴的交点在y 轴正半轴故选：A9如图，某小区有一块长为18 米，宽为6 米的矩形空地

16、，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是（）Ax2+9x80Bx29x80Cx29x+80D2x29x+80【分析】设人行道的宽度为x 米，根据矩形绿地的面积之和为60 米2，列出一元二次方程解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（183x）（62x）60，化简整理得，x29x+80故选：C10如图，四边形ABCD 内接于 O，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交AD的延长线于点E，连接 AC若 ABC 105，BAC 25，则 E 的度数为（）A45B50C55D60【分析

17、】先根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数，再由圆周角定理得出DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论解：四边形ABCD 内接于 O，ABC 105，ADC 180 ABC180 105 75，BAC 25，DCE BAC25，E ADC DCE75 25 50故选：B11已知点 A 是双曲线y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边三角形ABC，点 C 在第四象限内，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y（x0）上运动，则k 的值是（）A3BC 3D【分析】根据反比例函数的性质得出OAOB，连接 OC，过点 A 作

18、 AEy 轴，垂足为E，过点 C 作 CF y 轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形即可得到结论解：双曲线y的图象关于原点对称，点 A 与点 B 关于原点对称，OAOB，连接 OC，如图所示，ABC 是等边三角形，OA OB，OCAB BAC 60，tan OAC，OCOA，过点 A 作 AE y 轴，垂足为E，过点 C 作 CF y 轴，垂足为F，AE OE，CF OF，OC OA，AEO OFC，AOE 90 FOC OCF，OFC AEO，相似比，面积比3，点 A 在第一象限，设点A 坐标为（a，b），点 A 在双曲线y上，SAEOab，SOFCFC?OF，设点 C 坐标为（

19、x，y），点 C 在双曲线y上，kxy，点 C 在第四象限，FC x，OF yFC?OFx?（y）xy 3，故选：C12如图，在ABC 中，ABAC10，点 D 是边 BC 上一动点（不与B，C 重合），ADE B，DE 交 AC 于点 E，且 cos 下列给出的结论中，正确的有（）ADE ACD；当 BD6 时，ABD 与 DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 12.5；0CE 6.4A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明 由 BD6，则 DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得 分两种情况讨论，通过三角

20、形相似即可求得 依据相似三角形对应边成比例即可求得解：ABAC，B C，又 ADE B ADE C，ADE ACD；故 正确，作 AGBC 于 G，AB AC10，ADE B，cos，BGABcosB，BC 2BG2ABcosB 21016，BD 6，DC10，AB DC，在 ABD 与 DCE 中，ABD DCE（ASA）故 正确，当 AED 90时，由 可知：ADE ACD，ADC AED，AED 90，ADC 90，即 AD BC，AB AC，BD CD，ADE B且 cos，AB10，BD 8当 CDE 90时，易 CDE BAD，CDE 90，BAD 90，B且 cos AB10，c

21、osB，BD 12.5故 正确 易证得 CDE BAD，由 可知 BC16，设 BD y，CEx，整理得：y216y+646410 x，即（y8）26410 x，0 x6.4故 正确正确的有 故选：D二、填空题（本大题共6 小题，共24 分）13关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数a 的范围为a【分析】由于关于x 的方程 ax2 x+10 有实数根，所以分两种情况：（1）当 a0 时，方程为一元二次方程，那么它的判别式的值是一个非负数，由此即可求出a 的取值范围；（2）当 a0 时，方程为x+1 0，此时一定有解解：（1）当 a0 时，方程为x+10，此时一定有解；（2）当 a0

22、时，方程ax2x+10 为一元二次方程，b24ac14a0，a所以根据两种情况得a 的取值范围是a故答案为：a14如图，在半径AC 为 2，圆心角为90的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D，连接 CD，则图中阴影部分的面积是 1【分析】已知BC 为直径，则CDB90，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB，CDDB，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与 ADC的面积之差解：在 RtACB 中，AB2，BC 是半圆的直径，CDB 90，在等腰 RtACB 中，CD 垂直平分AB，CDBD，D 为半圆的中点，S阴影部分S扇形ACBSADC 22（）2

23、1故答案为 115如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，4），点B 的坐标是（6，2），在y轴和 x 轴上分别有两点P、Q，则 A，B，P，Q 四点组成的四边形的最小周长为10+2【分析】作点A 关于 y 轴的对称点C，点 B 关于 x 轴的对称点D，连接 CD 交 y 轴于 P，交 x 轴于 Q，则此时，四边形APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论解：作点 A 关于 y 轴的对称点C，点 B 关于 x 轴的对称点D，连接 CD 交 y 轴于 P，交 x轴于 Q，则此时，四边形APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB+CD，点 A 的坐

24、标是（2，4），点 B 的坐标是（6，2），C（2，4），D（6，2），AB2，CD10，四边形APQB 的最小周长10+2，故答案为：10+216某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45的传送带 AB，调整为坡度i1：的新传送带AC（如图所示）已知原传送带AB 的长是 4米那么新传送带AC 的长是8米【分析】根据题意首先得出AD，BD 的长，再利用坡角的定义得出DC 的长，再结合勾股定理得出答案解：过点A 作 ADCB 延长线于点D，ABD 45，AD BD，AB 4，AD BDABsin45 44，坡度 i1：，则 DC4，故 AC8（m）故答案为：817对

25、于 X、Y 定义一种新运算“*”：X*YaX+bY，其中 a、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算已知：3*5 15，4*728，那么 2*32【分析】本题是一种新定义运算题目首先要根据运算的新规律，得出 3a+5b15 4a+7b28，（）即可得出答案解：X*YaX+bY，3*5 15，4*7 28，3a+5b15 4a+7b28 ，a+2b13 ，2a+3b2，而 2*32a+3b218在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 2 个正方形A1B1C1C，延长 C1B1交 x 轴于点

26、 A2，作第 3 个正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第2020 个正方形的面积为5（）4038【分析】根据相似三角形的判定原理，得出AA1B A1A2B1，继而得知BAA1B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律解：设正方形的面积分别为S1，S2，Sn，根据题意，得：AD BCC1A2C2B2，BAA1 B1A1A2 B2A2x（同位角相等）ABA1 A1B1A2 A2B2x90，BAA1 B1A1A2，在直角 ADO 中，根据勾股定理，得：AD，tanADO，tan BAA1tan ADO，BA1AB，CA1+，同

27、理，得：C1A2（+）（1+）由正方形的面积公式，得：S1（）2，S2（）2（1+）2，S3（）2（1+）4 5（）4，由此，可得Sn（）2（1+）2（n1）5（）2n2第 2020 个正方形的面积为5（）4038，故答案为：5（）4038三、解答题（本大题共7 小题，共78 分）19先化简，然后从1，0，1 中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 0代入计算即可求出值解：原式?，当 x0 时，原式120中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校

28、3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分频数频率50 x 60100.0560 x 70200.1070 x 8030b80 x 90a0.3090 x100800.40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a60，b0.15；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在80 x90分数段；（4）若成绩在90 分以上（包括90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000

29、名学生中成绩“优”等约有多少人？【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a 的值，用第三组频数除以数据总数可得b 的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可解：（1）样本容量是：100.05200，a 2000.30 60，b 302000.15；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 1

30、01 个数据都落在第四个分数段，所以这次比赛成绩的中位数会落在80 x90 分数段；（4）30000.401200（人）即该校参加这次比赛的3000 名学生中成绩“优”等的大约有1200 人故答案为60，0.15；80 x90；120021已知：如图，在ABC 中，ADBC求作：在AD 上求作点 E，使得点E 到 AB 的距离 EF 等于 DE（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作图的依据是到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（2）在作图的基础上，若ABC 45，ABAC，DE 1，求 CD 的长【分析】（1）作 ABC 的角平分线交AD 于 E，过点 E 作 EF AB 于

31、 F，线段 EF 即为所求（2）证明 AEF 是等腰直角三角形，求出AE 即可解决问题解：（1）如图线段EF 即为所求作图的依据是：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上（2）BE 平分边长，EDBC，EF AB，ED EF1，AD BC，ABC 45，AF EF1，AE，AD AE+DE+122“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的A 型车去年6 月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400 元，若今年6 月份与去年6 月份

32、卖出的A 型车数量相同，则今年6月份 A 型车销售总额将比去年6 月份销售总额增加 25%（1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划7月份新进一批A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B 两种型号车的进货和销售价格如表：A 型车B 型车进货价格（元/辆）11001400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400【分析】（1）设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题（2）设今年7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50 m）辆，获得

33、的总利润为y 元，先求出 m 的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题解：（1）设去年A 型车每辆x 元，那么今年每辆（x+400）元，根据题意得，解之得 x1600，经检验，x1600 是方程的解答：今年A 型车每辆2000 元（2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为y 元，根据题意得50m2m解之得 m，50m0，m50，16m50y（20001100）m+（24001400）（50 m）100m+50000，y 随 m 的增大而减小，当 m17 时，可以获得最大利润答：进货方案是A 型车 17 辆，B 型车 33 辆23已知：如图，在ABC

34、中，ABAC，点 P 是底边 BC 上一点且满足PA PB，O 是PAB 的外接圆，过点P 作 PDAB 交 AC 于点 D（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 BC8，tanABC，求 O 的半径【分析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OPAB，根据平行线可得：OPPD，所以 PD 是O 的切线；（2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，设O 的半径为r，根据勾股定理列方程可得 r 的值【解答】（1）证明：如图1，连接 OP，PA PB，OP AB，PD AB，OP PD，PD 是O 的切线；（2）如图 2，过 A 作 AH BC 于 H，连接 OA，OP，OP 交 AB 于

35、E，AB AC，BH BC4，Rt ABH 中，tanABC，AH 2，AB 2，BE，PE，设O 的半径为r，则 OAr，OEr，由勾股定理得：，r，答：O 的半径是24如图，在矩形ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点P处，折痕为EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若 AEP 是等边三角形，连结BP，求证：APB EPC；（3）若矩形 ABCD 的边 AB6，BC 4，求 CPF 的面积【分析】（1）由折叠的性质得到BE PE，EC 与 PB 垂直，根据E 为 AB 中点，得到AE

36、EBPE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到 APB 为 90，进而得到AF 与 EC 平行，再由AE 与 FC 平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）根据三角形AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由APEB，利用 AAS 即可得证；（3）过 P 作 PMCD，在直角三角形EBC 中，利用勾股定理求出EC 的长，利用面积法求出 BQ 的长，根据BP2BQ 求出 BP 的长，在直角三角形ABP 中，利用勾股定理求出 AP 的长，根据AF AP 求出 PF

37、的长，由PM 与 AD 平行，得到三角形PMF 与三角形 ADF 相似，由相似得比例求出PM 的长，再由FC AE3，求出三角形CPF 面积即可【解答】（1）证明：由折叠得到BEPE，ECPB，E 为 AB 的中点，AE EBPE，AP BP，AF EC，AE FC，四边形AECF 为平行四边形；（2）AEP 为等边三角形，BAP AEP60，APAEEPEB，PEC BEC，PEC BEC 60，BAP+ABP 90，ABP+BEQ 90，BAP BEQ，在 ABP 和 EBC 中，ABP EBC（AAS），EBC EPC，ABP EPC；（3）过 P 作 PMDC，交 DC 于点 M，在

38、Rt EBC 中，EB3，BC 4，根据勾股定理得：EC5，SEBCEB?BCEC?BQ，BQ，由折叠得：BP2BQ，在 Rt ABP 中，AB 6，BP，根据勾股定理得：AP，四边形AECF 为平行四边形，AF EC5，FC AE3，PF 5，PMAD，即，解得：PM，则 SPFCFC?PM325已知，在以O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，4），且经过点B（2，3），与 x 轴分别交于C、D 两点（1）求直线 OB 以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图 1，点 M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作 x 轴的平行线与直线OB 交于点 N，求 MN 的最大

39、值；（3）如图 2，过点 A 的直线交x 轴于点 E，且 AEy 轴，点 P 是抛物线上A、D 之间的一个动点，直线PC、PD 与 AE 分别交于F、G 两点当点P 运动时，EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）由 B 点坐标利用待定系数法可求直线OB 解析式，利用顶点式可求得抛物线解析式；（2）设 M（t，t2+2t3），MN s，则可表示出N 点坐标，由MN 的纵坐标相等可得到关于 s和 t 的关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）设 P（t，t2+2t3），则可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性质可用t分别表示出EF 和 EG

40、的长，则可求得其定值解：（1）设直线 OB 解析式为ykx，由题意可得3 2k，解得 k，直线 OB 解析式为yx，抛物线顶点坐标为（1，4），可设抛物线解析式为ya（x+1）24，抛物线经过B（2，3），3a 4，解得 a 1，抛物线为y x2+2x3；（2）设 M（t，t2+2t3），MN s，则 N 的横坐标为ts，纵坐标为，MN x 轴，t2+2t3，得 s，当 t时，MN 有最大值，最大值为；（3）EF+EG 8理由如下：如图 2，过点 P 作 PQy 轴交 x 轴于 Q，在 yx2+2x3 中，令 y0 可得 0 x2+2x3，解得 x 3 或 x1，C（3，0），D（1，0），设 P（t，t2+2t3），则 PQ t22t+3，CQt+3，DQ1t，PQ EF，CEF CQP，EF?PQ（t22t+3），同理 EGD QPD 得，EG?PQ，EF+EG（t2 2t+3）+2（t2 2t+3）（+）2（t22t+3）（）2（t22t+3）（）8，当点 P 运动时，EF+EG 为定值 8