2020届福建省福州市高三第三次质量检测(线下二模)数学(文)试卷.pdf

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1、文科数学试题（第1页共 15页）2020 年福州市高中毕业班第三次质量检测数 学（文 科）试 卷（完卷时间:120 分钟；满分:150 分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1 至 3 页，第卷4 至 5 页第 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集|8,UxxN,集合1,3,7A，则UAeA2,4,5,6B 0,2,4,5,6C 2,4,5,6,8D 0,2,4,5,6,82.已知纯虚数z 满足(1i)2iza，则实数 a 等于A2B1C1D23.曲线1exyx在1x处的切线方程为A ee0 xyB e+e

2、0 x yCe10 xyDe10 xy4.执行如图所示的程序框图，则输出的mA1 B2 C3 D4 5.已知等差数列na的前 n项和为nS，且2 0202 0202020aS，则na的公差为A2B2C 2 019D2 0196.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10 次四人测试成绩对应的条形图如下：文科数学试题（第2页共 15页）以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是A平均数相同B中位数相同C众数不完全相同D方差最大的是丁7.为了得到曲线cosyx，只需把曲线sin 26yx上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移A3个单位长度B12个单位

3、长度C3个单位长度D6个单位长度8.已知平面,两两垂直，直线,a b c 满足：,abc，则直线,a b c 可能满足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结论的编号是ABCD9.已知椭圆222:109xyCbb的右焦点为F，以 C 上点M为圆心的圆与x 轴相切于点F，并与y轴交于A，B两点若4FA FBu uu ru uu r，则 C 的焦距为A2B2C2 2D410.已知定义在R上的函数fx 满足4fxfx，函数2fx为偶函数，当0,2x时，fx3296+2xxxa.若2,0 x时，fx的最大值为12，则aA 3B2C12D3211.2019 年世界读书日，陈老师给全

4、班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在2020年世界读书日时交流读书心得经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息：甲同学还剩13的书本未阅读；乙同学还剩5 本未阅读；有14的书本甲、乙两同学都没阅读则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有A2 本B4 本C6 本D8 本12.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为A.8:3B.6:1C.3:1D.2:1文科数学试题（第3页共 15页）第卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题，每

5、个试题考生都必须作答第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13.已知向量1,2a，,1tb，若,a b 夹角的余弦值为55，则实数t的值为14.已知双曲线C 过点1,5，且渐近线方程为2yx，则 C 的离心率为15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以拆分为两个素数的和”，如 307+2313171119，30 有3 种拆分方式；633，6 只有 1 种拆分方式.现从大于4 且小于 16 的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为16.“熔喷布”是口罩生产的重要原

6、材料，1 吨熔喷布大约可供生产100 万只口罩2020 年，制造口罩的企业甲的熔喷布1 月份的需求量为100 吨，并且从2 月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年 1 月份的产能为100 吨，为满足市场需求，从2 月份到 k 月份28kkN且，每个月比上个月增加一条月产量为50 吨的生产线投入生产，从+1k月份到 9 月份不再增加新的生产线 计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990 吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加条熔喷布生产线（参考数据：81.12.14，91.12.36）三、解答题：

7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12 分）ABC的内角 ABC，的对边分别为abc，1a且3 cossinCcA（1）求C；（2）若3b，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积18.（本小题满分12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，某机构随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，观察这40位患者的睡眠改善情况这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：h），以整数部分当茎，文科数学试题（第4页共 15页）小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：A药B药8 7 3 5 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 0 5

8、2 1 0 0.1.2.3.4 5 7 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 7 2 3（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；（2）求这 40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m，并将日平均增加睡眠时间超过m 和不超过 m 的患者人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m服用A药服用B药（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为,A B 两种药的疗效有差异？附：22()()()()()n adbcKab cdac bd.20P Kk0.01 0.005 0.001 0k6.635 7.879 10.828 19.（本小题满分12 分）如图，在多面体P

9、ABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，90BAD，120PAD，1BC，2ABADPA（1）求多面体PABCD的体积；（2）已知E是棱PB的中点，在棱CD是否存在点F使得EFPD，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12 分）已知抛物线2:4Cyx，直线:2(0)lxmym与C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.（1）求直线OM斜率的最大值；（2）若点P在直线2x上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标.21.（本小题满分12 分）已知函数2()2lnf xxaxx.ADCBP文科数学试题（第5页共 15页）（1）求函数fx 的单调区间；（2）设函

10、数 fx 有两个极值点1212,x xxx，若12fxmx 恒成立，求实数 m 的取值范围请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.（本小题满分10 分）选修4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为33,xktyt（t为参数），直线2l的参数方程为33,xmykm（m 为参数）设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线1C（1）求1C的普通方程；（2）设 Q 为圆222:43Cxy上任意一点，求PQ 的最大值23.（本小题满分10 分）选修

11、45：不等式选讲已知0,0ab，2224abc（1）当1c时，求证：339abab；（2）求2224411abc的最小值2020 年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数

12、。选择题和填空题不给中间分。文科数学试题（第6页共 15页）一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分60 分1D 2A 3 B 4 C 5 B 6 D 7A 8C 9 C 10 A 11C 12 D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分20 分13341452152516 5三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）因为1a且3c

13、ossinCcA，所以3 cossinaCcA，1 分根据正弦定理，得3sincossinsinACCA，3 分因为0,A，所以sin0A，所以 tan3C，4 分因为0,C，所以3C 5 分（2）由（1）知，3ACB，因为1a，3b，所以ABC的面积133 3sinsin2234ABCSabACB，7 分因为D是AB上的点，CD平分ACB，所以1sin12613sin26BCDACDa CDSaSbb CD，9 分因为ABCACDBCDSSS，10 分所以333 39344416ACDABCSS 12 分解法二：（1）根据正弦定理，得sinsinacAC，及1a得，所以sinsincAC，2

14、 分又因为3 cossinCcA，所以3 cossinCC，3 分所以 tan3C，4 分文科数学试题（第7页共 15页）因为0,C，所以3C 5 分（2）由（1）知，3ACB，因为1a，3b，所以ABC的面积133 3sinsin2234ABCSabACB，7 分因为D是AB上的点，CD平分ACB，所以ACD的面积13sin264ACDSb CDCD，8 分所以BCD的面积11sin264BCDSa CDCD，9 分因为ABCACDBCDSSS，10 分所以3144ABCSCDCDCD，所以3 34CD 11 分所以333 39 344416ACDSCD 12 分18【命题意图】本小题以“治

15、疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性与应用性【解析】(1)（以下理由任说一种都可得4 分）从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有45的叶集中在茎2和 3上，而B药疗效的试验结果有34的叶集中在茎0 和1上，由此可看出A药的疗效更好从茎叶图的分布情况可以看出，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于2，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于2，因此可知A药的疗效更好由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是

16、2.4+2.5=2.45h2，而服用B药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是1.4+1.5=1.45h2，因此A药的疗效更好由茎叶图可知，服用A药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎2上的最多，关于茎2B文科数学试题（第8页共 15页）大致呈对称分布；而服用B药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎1上的最多，关于茎1大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用A药的患者日平均增加睡眠时间比服用B药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此A药的疗效更好 4 分（2）由茎叶图可知，40组数据的中位数为=2.0m，6 分因此列联表如下：超过 m不超过 m服用A药146服用B药

17、515 8 分（3）由于2240(141565)10808.1206.63520201921133K，11 分所以有 99%的把握认为,A B 两种药的疗效有差异 12 分19【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）如图，作PHAD交DA的延长线于H，因为平面ABCD平面PAD，平面ABCDI平面PADAD，且PH平面PAD，所以PH平面ABCD，2 分所以PH为点P到平面 ABCD 的距

18、离 3 分因为120PAD，2PA，所以sin603PHPA，4 分又132ABCDSBCADAB四边形，5 分所以1133333PABCDABCDVPHS四边形 6 分（2）假设棱 CD 上存在点F，使得EFPD连接BD，取BD的中点M，在BPD中，因为,E M分别为,BP BD的中点，所以EMPD 8 分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以 EM 与EF重合因为点 F 在线段CD上，所以 FBDCDI，ADCBPPABCDABCDPADC1,52y x633k文科数学试题（第9页共 15页）又 BDCDDI，所以 F 是BD与CD的交点D，即 EF 就是ED，而ED与PD相

19、交，10分这与EFPD相矛盾，11 分所以假设不成立，故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分解法二：（1）因为平面ABCD平面PAD，且平面ABCD I 平面PADAD，,BAAD BA平面 ABCD，所以BA平面PAD，2 分依题意，113sin223222PADSADAPPAD，所以112 332333BPADPADVSAB 3 分在梯形 ABCD 中，由,2ADBC ADBC知2ABDBCDSS，4 分所以2PABDPBCDVV，5 分所以3332 332223PABCDPABDP BCDP ABDB PADVVVVV 6 分（2）假设棱CD上存在点F，使得EFPD，显然F与点D不同

20、，所以,P E F D 四点共面，记该平面为，8 分所以P，PE，FD，又 BPE，CFD，所以B，C，所以,P B C D 共面于，10 分这与 PABCD 为四棱锥相矛盾，11 分所以假设不成立，故棱CD上不存在点F使得EFPD 12 分20【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）设1122(,),(,)A x yB xy，由22,4xmyyx，消去 x 得，2480ymy，1 分216320,m且

21、12124,8yym y y 2 分ADCBPPABCDABCD文科数学试题（第10页共 15页）所以21212()444.xxm yym因为M为AB的中点，所以M的坐标为1212(,)22xxyy，即2(22,2)Mmm，3 分又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm，5 分（当且仅当1mm，即1m等号成立）所以直线OM的斜率的最大值为1.2 6 分（2）由（1）知，222212121212|22ABxxyymymyyy2221212121|1()4myymyyy y=2211632mm224 12mm，8 分由PMAB得2222|1()|22(2)|2(2)1PMm

22、mmm，9 分因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分所以22222(2)12 312mmmm，所以223m，所以21m，解得1,m因为0,m所以1m，11 分则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx，所以2x时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分解法二：（1）设112200(,),(,),(,)A xyB xyM xy，因为M为AB的中点，且直线:2(0)lxmym，文科数学试题（第11页共 15页）所以0122=,yyy1212,xxmyy 1 分由2112224,4,yxyx得22121244,yyxx所以1212124,xxyyyy所以024,ym

23、即02ym 2 分所以200222,xmym即2(22,2)Mmm，3 分又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm，5 分（当且仅当1mm，即1m等号成立）所以直线OM的斜率的最大值为1.2 6 分（2）由22,4xmyyx，消去 x得，2480ymy，216320,m且12124,8yym y y 7 分222212121212|22ABxxyymymyyy2221212121|1()4myymyyy y=2211632mm224 12mm，8 分由（1）知，AB的中点M的坐标为2(22,2)mm，所以线段AB的垂直平分线方程为：2222ymm xm令2x，得线段AB

24、的垂直平分线与直线2x交点坐标为32,26,Pmm22222324242(2)1.mPMmmmm 9 分因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分所以22222(2)12 312mmmm，文科数学试题（第12页共 15页）所以223m，所以21m，解得1,m因为0,m所以1m，11 分则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx，所以2x时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分21【命题意图】本小题主要考查函数和导数及其应用、函数的单调性、函数的极值、以及不等式恒成立基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽

25、象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【解析】（1）因为2()2lnf xxaxx，所以222()0 xaxfxxx 1 分令2220p xxaxx，216a，当0,，即4a剟4时，0p x，即()0fx，所以函数fx单调递增区间为0,2 分当0，即4a或4a时，若4a，则0p x，即()0fx，所以函数fx单调递增区间为0,3 分若4a，令2220p xxax，得22121616,44aaaaxx由()0fx，即0p x 得10,xx或2xx；由()0fx，即0p x 得12xxx所以函数fx 的单调递增区间为120,xx，单调递减区间为12,x x 5 分综上，当 a

26、4时，函数fx 单调递增区间为0,；当 a4时，函数fx 的单调递增区间为120,xx；单调递减区间为12,x x 6 分(2)由（1）得222()0 xaxfxxx，文科数学试题（第13页共 15页）若 fx 有两个极值点，则12,x x是方程2220 xax的两个不等正实根，由（1）知4a则12122,12axxx x，则1201xx，8 分要使12fxmx 恒成立，只需12fxmx恒成立因为222311111111111221()2ln222ln22ln1f xxaxxxxxxxxxxxx，10 分令3()22 lnh ttttt，则2()32lnh ttt，当 01t时，0h t，()

27、h t 为减函数，所以()(1)3h th 11 分由题意，要使12fxmx 恒成立，只需满足3m所以实数 m 的取值范围,3 12 分22【命题意图】本小题以曲线的参数方程为载体，考查参数方程和普通方程的互化、椭圆参数方程的应用，圆与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性【解析】解法一：（1）消去参数t得1l 的普通方程为33xky，1 分消去参数 m 得2l 的普通方程为33k xy 2 分联立33,33xkyk xy消去 k 得2339xxy，4 分所以1C 的普通方程为2219xy（3x）5

28、分（2）依题意，圆心2C 的坐标为0,4，半径3r 6 分由（1）可知，1C 的参数方程为3cos,sinxy（为参数，且2 ,kkZ），7 分设3cos,sinP（2 ,kkZ），则22223cossin4PC229 1sinsin8sin1628sin8sin25，8 分当1sin2时，2PC取得最大值21188253 322，9 分文科数学试题（第14页共 15页）又2PQPCr，当且仅当2,P Q C 三点共线，且2C 在线段 PQ 上时，等号成立所以max3 334 3PQ 10 分解法二：（1）消去参数t得1l 的普通方程为33xky，1 分消去参数 m 得2l 的普通方程为33k

29、 xy 2 分由33,33xkyk xy得22233,12,1kxkkyk故P的轨迹1C 的参数方程为22233,12,1kxkkyk（k 为参数），4 分所以1C 的普通方程为2219xy（3x）5 分（2）同解法一 10 分23【命题意图】本小题考查不等式的证明、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性【解析】解法一：（1）依题意，当1c时，223ab，且0,0ab，则334334ababaaba bb 1 分22222332aba ba bab 3 分29ab ab 4 分9，故原不等式成立 5 分（2）22

30、222244111abcabc222222222222414144911ccababbacacb 6 分222222222222414144922211ccababbacacb25，7 分文科数学试题（第15页共 15页）因为22215abc，所以22244151abc，8 分当且仅当222222222222414144,11ccababbacacb，即2,0abc时等号成立，9 分所以2224411abc的最小值为5 10 分解法二：（1）依题意，当1c时，223ab，且0,0ab，则2229ab44222aba b 1 分333333222aaa bbbaba baba b233ababab ab 3 分33abab，4 分所以339abab 5 分（2）同解法一 10 分