2020届江苏省南通市如皋市高三下学期期初考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页2020届江苏省南通市如皋市高三下学期期初考试数学试题一、填空题1已知1i1i()z（i为虚数单位），则复数z的模为 _【答案】1【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解【详解】解：由(1)1i zi，得21(1)1(1)(1)iiziiii，|1z故答案为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法2已知集合1,2A，2,Ba a，若1AB，则实数a的值为 _【答案】1【解析】根据1ABI及集合元素的互异性，即可得出211aa，解出a即可【详解】解：1ABQI，Ba，2a，1A，2，21a，且1a，1a，故答

2、案为：1【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合元素的互异性，元素与集合的关系，考查了计算能力3已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600 名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取_名学生第 2 页 共 22 页【答案】50【解析】由题意，利用分层抽样的定义先求出高一年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求【详解】解：高一年级学生所占的比例为10005100080060012，高一年级需抽取51205012人，故答案为：50【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于简单题4从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽

3、取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为_【答案】13【解析】基本事件总数246nC，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数11122mC C，由此能求出同学甲被抽到且乙抽不到的概率【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，基本事件总数246nC，同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数11122mC C，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为2163mpn故答案为：13【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力5某程序框图如下图所示，当输入7x时，输出的y_第 3 页 共 22 页【答案】5【解析】根据题意，循环计算，即可得出结

4、果.【详解】解：由程序框图可知，当输入7x，40 x，是；10 x，是；x20，否；则22y+1=5，输出5y.故答案为：5.【点睛】本题考查循环程序框图的计算，求输出值，属于基础题6已知双曲线22213xyb的两条渐近线与直线3x围成正三角形，则双曲线的离心率为 _【答案】2 33【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线3x围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可【详解】解：双曲线22213xyb的两条渐近线与直线3x围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30 和150，第 4 页 共 22 页所以333b，所以1b，所以双曲线的离心率为：22 333cea.故答

5、案为：2 33【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查7已知变量x，y满足约束条件002xyxy，则2yx的最大值为 _【答案】2【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由变量x，y满足约束条件0,0,2,xyxy,作出可行域如图，化目标函数2zyx为2yxz，由图可得，当直线2yxz过点(0,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z 有最大值为2.故答案为：2【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法第 5 页 共 22 页8已知为锐角，且1cos6

6、3，则sin_【答案】2 616【解析】由已知条件，由同角三角函数关系，求出2 2sin63，利用凑角和两角差正弦公式，即可算出.【详解】解：因为为锐角，1cos63，则22 2sin1cos663，所以sinsin66sin.coscos.sin6666，2 231132322 616.故答案为：2 616.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，运用到同角三角函数关系以及两角和与差的正弦公式，同时考查计算能力.9已知正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，O为上底面中心设正四棱柱1111ABCDA B C D与正四棱锥1111OAB C D的侧面积分别为1S，2S，则21S

7、S_【答案】106【解析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积，则答案可求【详解】第 6 页 共 22 页解：如图，正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，则正四棱柱1111ABCDA B C D的侧面积分别为142324S，正四棱锥1111OA B C D的斜高为221310，正四棱锥1111OA B C D的侧面积2142104 102S，214 1010246SS，故答案为：106【点睛】本题考查多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题10已知等比数列na的前n项和为nS，且4321SS+，4322232

8、aaa，则1a_【答案】1【解析】根据题意，利用等比数列的通项公式化简求出公比q，即可算出1a.【详解】解：由于4321SS+，4322232aaa，且na为等比数列，则：12341232221aaaaaaa，即：41231aaaa，因为：4322232aaa，则：123322222232aaaaa，122aa，第 7 页 共 22 页即：212aqa，又因为：4322232aaa，则：321112232a qa qa q，11116862aaa.解得：122a，则：11a.故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，运用到等比数列的通项公式，考查计算能力.11已知圆22:420C

9、xyxy，过点(6,0)P的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且3PAPB，则直线l的斜率为 _【答案】815【解析】由题意设出直线l的参数方程为6cossinxtyt，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合3PAPB，得到 sin4cos4，与平方关系联立求得sin，cos的值，即可求得直线l的斜率【详解】解：设直线l的倾斜角为(0),，则直线l的参数方程为6cossinxtyt，代入22420 xyxy，得2(2sin8cos)120tt，设A，B对应的参数分别为1t，2t，则122sin8costt，1 212t t，由3PAPB，得123tt，1224ttt

10、，21 223t tt，22212221 22()16(2sin8cos)161233tttt tt，整理得：2(2sin8cos)64，由题可知，2，则 2sin8cos0，得 sin4cos4，第 8 页 共 22 页联立22sin4cos41sincos，解得8sin1715cos17，则8tan15，即直线l的斜率为815，故答案为：815【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线参数方程的用法，考查计算能力，是中档题12若2x，0y，且211xy，则1121xy最小值为 _【答案】2【解析】由已知可用x表示y，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解【详解】解：2xQ，0y

11、，且211xy，2xyx，则1111121222212222212xxxxyxxxxg，当且仅当1222xx即22x时取等号，此时取得最小值2故答案为：2.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值13已知ABCV中，2AB，1AC，平面ABC上一点D满足3BC ADuu u r uuu r，则第 9 页 共 22 页()BCBDCDuuu ruu u ruuu r_【答案】3【解析】可得出()2()()BCBDCDBC ADACABACABu uu ruuu ruu u ruu u r uu u ruuu ruu u ru uu ruu u rggg，然后根据2AB，1AC，3BC ADu

12、uu r u uu rg，进行数量积的运算即可求出答案【详解】解：2ABQ，1AC，3BC ADuuu r uuu rg，()()BCBDCDBCADABADACu uu ruu u ru uu ruuu ruu u ru uu ruuu ruuu rgg，2()BCADABACu uu ruuu ruu u ruuu rg，2()()BC ADACABABACu uu r u uu ruuu ruuu ruu u ruu u rgg，226()ACABuu u ruuu r，614，3，故答案为：3【点睛】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力14已知32(

13、)3f xxa xa，若存在1,1x，使得()0f x成立，则实数a的取值范围为 _【答案】1312,62【解析】根据题意，求导2222333fxxaxa，令0fx，求出极值点1xa，2xa，分类讨论求出fx的单调性，由于存在1,1x，使得()0f x成立，转化成在1,1x，max0fx成立即可，通过导数得到的单调性判断极值，进而求出最值，即可得出实数a的取值范围.【详解】解：由32()3f xxa xa，得2222333fxxaxa，令：0fx，即：220 xa，解得：1xa，2xa，第 10 页 共 22 页（1）当0a时，0fx，则xa或xa，0fx，则3ax，即：,xa，,a时，fx为

14、增函数，,xa a时，fx为减函数，由于存在1,1x，使得0fx成立，则要求1,1x，max0fx成立即可，且0fa，221faaa，221faaa，2131faa，2131faa，已知0a时，00f，0fa，当1a时，只需10f，则：2310aa，解得：1136a或1136a解得：1a；当01a时，只需0fa或10f即可，即2210aa或2310aa，解得：212a或13106a，（2）当0a时，0fx，,xa，,a时，fx为增函数，0fx，,xaa时，fx为减函数，则此时00fa，所以存在1,1x，使得()0f x成立，解得：0a.综上得：实数a的取值范围为1312,62.故答案为：131

15、2,62.【点睛】本题考查函数的存在性问题，通过导数判断函数的额单调性、极值、最值，考查分类讨第 11 页 共 22 页论思想和综合分析能力.二、解答题15已知2()4sinsincos242xf xxx（1）求函数的最小正周期；（2）求函数()26g xfx，0,2x的值域【答案】（1）最小正周期为2（2）0,3【解析】（1）利用三角函数的诱导公式结合辅助角公式进行转化求解即可（2）求出函数()g x的解析式，求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可【详解】解：（1）1cos24sincos22xfxxx，22sin1sin12sin2sin1xxxx，所以函数yfx的最小正周期为2，

16、（2）()(2)2sin2166g xfxx，0,2x，因为0,2x，所以52,666x，所以1sin 2,162x，所以函数yg x的值域为0,3.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性以及单调性与值域的关系是解决本题的关键16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PAD面ABCD，三角形PAD为正三角形第 12 页 共 22 页（1）若E，F为PB，CD中点，证明：EF面PAD；（2）若90PAB，证明：面PAD面PAB【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取PA的中点G，连接GD，GE 可得四边形GEFD为平行四边

17、形，/GDEF，即可证明/EF平面PAD（2）取AD的中点H，连接PH，只需证明PHAB，ABPA，即可证明AB平面PAD平面PAD平面PAB【详解】证明：（1）取PA的中点G，连接GD，GE，在PAB中，因为E，G分别为PB，PA中点，所以GEAB且12GEAB，因为底面ABCD为平行四边形，所以/DCAB，F为DC的中点，所以12DFAB，所以GEDFP且GEDF，所以四边形GEFD为平行四边形，所以GDEF，因为EF平面PAD，GD平面PAD，所以EF P平面PAD，（2）取AD的中点H，连接PH，因为侧面PAD为正三角形，所以PHAD，因为平面PAD平面ABCD，PH平面PAD，平面P

18、AD I平面ABCDAD，所以PH平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以PHAB，因为90PAB，所以ABAP，第 13 页 共 22 页因为PHPAP，,PA PH平面PAD，所以AB平面PAD，因为AB平面PAB，所以平面PAD平面PAB.【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，还涉及平行四边形的证明、面面垂直的性质，考查空间想象能力和推理能力17过椭圆22182xy上一点(2,1)P作两条直线1l，2l与椭圆另交于A，B点，设它们的斜率分别为1k，2k（1）若11k，21k，求PAB的面积PABSV；（2）若OAOB，PAPB，求直线AB的方程【答案】（1）4825（2）20

19、xy【解析】（1）先通过点斜式分别写出直线1l，2l的方程，再通过曲直联立求出点A和B的坐标，从而求得直线AB的方程以及线段|AB的长，然后利用点到直线的距离公式求出PAB的高，从而求得其面积.（2）设AB的中点为H点，然后分类讨论，当直线AB过原点时，可得知直线AB的方程为 20 xy；当直线AB不过原点时，结合平面几何知识可得点P，H，O三点共线，然后设直线AB的方程为2(0)yxm m，1(A x，1)y，2(B x，2)y，0(H x，0)y，再通过曲直联立、韦达定理和中点坐标公式，得到1208217xxmx，120217yymy，所以直线OH斜率为18，所以直线OP的斜率与直线OH斜

20、率不相第 14 页 共 22 页等，即点P，H，O三点不共线，与前面的结论矛盾，最后得到直线AB的方程为20 xy【详解】解：（1）因为11k，21k，所以直线1l，2l方程分别为10 xy，30 xy，由221821xyyx，得：25840 xx，由此解得25x，75y，所以2 7,5 5A，同理可得：141,55B，所以直线AB的方程为510120 xy，所以222212147112482555525510PABS，（2）设AB的中点为H点，当直线AB过原点时，点H与点O重合，因为PAPB，所以POAB，所以直线AB的方程为 20 xy，当直线AB不过原点时设1(A x，1)y，2(B x

21、，2)y，00,H xy，在OABV中，因为OAOB，所以OHAB，在PAB中，因为PAPB，所以PHAB，所以点P，H，O三点共线，因为直线OP的斜率为12，所以直线AB的斜率为2，设直线AB的方程为20yxm m，由221822xyyxm，得：221716480 xmxm，第 15 页 共 22 页由韦达定理知，1221216174817mxxmx x，121222()217myyxxm，所以0817mx，017my，所以直线OH斜率为18，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等，点P，H，O三点不共线（与上面的结论矛盾），综上：所求直线AB的方程为 20 xy.【点睛】本题考查直线与椭圆

22、的位置关系，运用直线与椭圆联立，韦达定理，中点坐标公式、点到直线的距离公式等知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题18从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上

23、的字设OAB，五个正方形的面积和为S（1）求面积S关于的函数表达式，并求tan的范围；（2）求面积S最小值【答案】（1）228sincos4sincosS，的取值范围为00,，01tan3，00,2（2）9652【解析】(1)由题意可知小正方形的边长为1(sin)2sin2，大正方形的边长为第 16 页 共 22 页1(cossin)2cos2sin2，所以五个正方形的面积和为22224sin(cos2sin)8sincos4sincosS，又sincos2sin，所以1tan3，所以的取值范围为(0，0)，01tan3，0(0,)2；(2)法一：228sincos4sincosS965sin

24、 222其中7tan4，0,2，所以min9652S，此时sin 21，所以22，则22 tan4tan 21tan7，因为10tan3，解得765tan4，即可求出面积S最小值为；法二：由（1）可知222284tan18sincos4sincos1tanStan，令tant，则228411ttSt，设22841()1ttf tt，1(0,)3t，利用导数得到当7654t时，面积S最小值为9652【详解】解：（1）过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为1sin2

25、sin2，大正方形的边长为1cossin2cos2sin2，所以五个正方形的面积和为224sincos2sinS，228sincos4sincos，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以sincos2sin，1tan3，00,2，第 17 页 共 22 页所以的取值范围为00,，01tan3，答：面积S关于的函数表达式为228sincos4sincosS，的取值范围为00,，01tan3，00,2.（2）法一：228sincos4sincosS，1cos21cos282sin 222，972sin 2cos222，965sin 222，其中7tan4，0,2，所以min9652S，此

26、时sin 21，因为00,，所以0302222，所以22，所以14tan2tan2tan7，则22 tan4tan 21tan7，化简得：22tan7tan20，由此解得：765tan4，因为10tan3，所以765tan4，第 18 页 共 22 页答：面积S最小值为9652，法二：228sincos4sincosS，2222228sincos4sincos8tan4tan1sincostan1，令tant，则228t41t1tS，设228t41t1tft，10,3t，令2222 27201ttftt，得：765143t，t7650,47654765 1,43ft0 ft极小值Z所以7654

27、t时，面积S最小值为9652，答：面积S最小值为9652.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题19若函数()yf x的图像上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数()yf x图像上存在一对“偶点”（1）写出函数()sinfxx图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）（2）证明：函数()ln(2)2g xxx图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数()2()xh xemxmR图像上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围【答案】（1）,0,0（2）见解析（3）1,第 19 页 共 22 页【解析】（1）根据题意即正弦函数的

28、性质即可直接求解；（2）要证：函数数()2xh xemx图象上有且只有一对“偶点”，只需证：()()()yQ xg xgx在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；（3）由题意，问题可转化为函数()()yh xhx 只有一个零点，结合函数的性质及导数可求【详解】（1）函数()sinf xx图像上一对“偶点”的坐标为,0,0，（2）设ln2ln22Q xg xgxxxx，因为yQ x的定义域为2,2，且QxQ x，所以函数yQ x为奇函数，要证：函数()ln(2)2g xxx图像上有且只有一对“偶点”，只需证：yQ x在0,2上有且只有一个零点，令222204xQxx，得2x

29、，所以，函数Q x在0,2上为单调减函数，在2,2上为单调增函数，2ln 32 2220Q，4441122ln40Qeee，所以函数Q x在412,2e上有且只有一个零点，所以函数()ln(2)2g xxx图像上有且只有一对“偶点”，（3）设2xxF xh xhxeemx，00F，因为yF x的定义域为R，且FxF x，所以函数yF x为奇函数，因为函数()2()xh xemxmR图像上有且只有一对“偶点”，所以函数yF x在0,有且只有一个零点，第 20 页 共 22 页12xxFxeme，0,x，当1m时，因为220Fxm，所以函数yF x在0,上为单调增函数，所以00F xF，所以函数F

30、 x在0,无零点，当1m时，由212120 xxxxxemeFxemee，得：20ln1xmm，所以函数yF x在00,x上单调减函数，在0,x上单调增函数，所以000F xF，设lnHxxx，1xHxx，所以函数H x在0,1上单调增函数，在1,上单调减函数，所以110H xH，所以ln xx，所以2ln1ln22mmmm，设211xm xexx，设2xMxm xex，因为220 xMxee，所以函数Mx在1,单调增函数，所以120M xMe，所以函数m x在1,单调增函数，所以120m xme，所以当1x时，21xex，22222124140mmmFmememe，因为函数yF x在0,x上

31、单调增函数，所以函数F x在0,2xm上有且仅有一个1x，使得10F x，综上：m的取值范围为1,.【点睛】本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性第 21 页 共 22 页20已知数列na，nb，nc满足：2nnnbaa，1232nnnncaaa（1）若nb是等差数列，且公差1121dbaa，求数列nc的通项公式nc；（2）若nb、nc均是等差数列，且数列nc的公差136da，119c，求数列na的通项公式【答案】（1）231622ncnn（2）1nan【解析】（1）nb是等差数列，且公差11db，2nnnbaa，所以2nnaan，由1232

32、nnnncaaa，进而算出132nnccn，利用累加法，即可求出数列nc的通项公式nc；（2）因为nc是等差数列，且数列nc的公差6d，119c，所以1232613nnnncaaan，得出112332619nnnncaaan，根据题意，进而求出126nnbb，可得出nb的首项和公差，求得2nb，所以22nnaa，分类讨论n为奇数和偶数时，求出数列na的通项公式【详解】（1）因为nb是等差数列，且公差11db，2nnnbaa，所以2nnaan，所以311nnaan，32a，18c，因为1123123232nnnnnnnnccaaaaaa，即：1312232nnnnnnccaaaan，所以213

33、12cc，32322cc，1312nnccn，2n，上面1n式子相加得：第 22 页 共 22 页113121213222nn nccnnn，所以2316222ncnnn，当1n时也满足上面nc的通项，综上：数列nc的通项公式231622ncnn，（2）因为nc是等差数列，且数列nc的公差6d，119c，所以1232613nnnncaaan，112332619nnnncaaan，得：31226nnnnaaaa，即126nnbb，所以2126bb，3226bb，因为nb是等差数列，设等差数列nb的公差为d，所以1326bd，1356bd，由此解得：12b，0d，所以2nb，满足126nnbb，即22nnaa，因为11233219caaa，所以2232 2219a，所以23a，当*21nkkN时，212212kakk，所以1nan，当*2nk kN时，232121kakk，所以1nan，综上：数列na的通项公式1nan.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和递推关系的应用，还运用累加法求数列的通项公式，考查计算能力和转化思想.